第十章矩 陣 位 移 法

第十章矩陣位移法第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)矩陣位移法的概念結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算的方法。桿系結(jié)構(gòu)的有限單元法矩陣力法矩陣位移法——柔度法——?jiǎng)偠确?直接剛度法)*｛

矩陣位移法是以位移法為力學(xué)原理，應(yīng)用矩陣?yán)碚?，以電子?jì)算機(jī)為工具的結(jié)構(gòu)分析方法。

有限單元法包含兩個(gè)基本環(huán)節(jié)：一是單元分析；一是整體分析。在矩陣位移法中：?jiǎn)卧治龅娜蝿?wù)是建立單元?jiǎng)偠确匠蹋纬蓡卧獎(jiǎng)偠染仃嚒懻撊我庾鴺?biāo)系中單元?jiǎng)偠确匠痰耐ㄓ眯问?；整體分析的任務(wù)是將單元及合成整體，由單元?jiǎng)偠染仃嚢凑談偠燃梢?guī)則形成整體剛度矩陣，建立整體結(jié)構(gòu)的位移法基本方程，從而求解。

直接由單元?jiǎng)偠染仃噷?dǎo)出整體剛度矩陣的集成規(guī)則，是矩陣位移法的核心內(nèi)容。返回下一張上一張小結(jié)第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五以圖示連續(xù)梁為例說明矩陣位移法的概念。

３.繪M圖。２．整體分析①建立位移法基本方程；

②求桿端彎矩；1.單元分析①確定基本未知量，②劃分單元桿；③列各桿端轉(zhuǎn)角位移方程返回下一張上一張小結(jié)第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.1.2直接剛度法

對(duì)于連續(xù)梁的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都視為有一個(gè)角位移未知數(shù)，并規(guī)定這些轉(zhuǎn)角均以順時(shí)針方向?yàn)檎?7.1.3轉(zhuǎn)角位移方程式中：Kij（i=1,2,3;j=1,2,3）稱為結(jié)點(diǎn)剛度系數(shù)。它表示當(dāng)θj=1時(shí)，在結(jié)點(diǎn)i處并在θi方向上所需加的結(jié)點(diǎn)力矩總和。返回下一張上一張小結(jié)第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五寫成矩陣形式為：簡(jiǎn)式為：式中：[K]為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣{Q}為結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角列陣{M}為結(jié)點(diǎn)力矩列陣返回下一張上一張小結(jié)第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.1.4形成單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?7-3：寫出圖示結(jié)構(gòu)的桿端力矩解：據(jù)轉(zhuǎn)角方程可得：

式中

上式寫成矩陣形式為返回下一張上一張小結(jié)第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.1.5形成總剛度矩陣?yán)?-4：寫出圖7-4所示結(jié)構(gòu)的剛度矩陣解：圖示結(jié)構(gòu)的剛度矩陣：

圖17-4返回下一張上一張小結(jié)第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.1.6引入支承條件，求結(jié)點(diǎn)位移已知上例支承條件=0，連同已獲得的[K]，以及各結(jié)點(diǎn)荷載值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：據(jù)矩陣運(yùn)算的基本法則，則得：解得：返回下一張上一張小結(jié)第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.1.7求單元桿端力例7-5：求圖7-5所示連續(xù)梁的桿端力解：由題可知桿1桿2注：以上用連續(xù)梁說明直接剛度的方法步驟,完全適用于其它類型結(jié)構(gòu)。其中，[K]的組成是直接剛度法的核心部分。返回下一張上一張小結(jié)第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五第二節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?/p>

17.2.1結(jié)構(gòu)離散化將桿系結(jié)構(gòu)分離有限個(gè)單元桿—離散化。原則：以桿元匯交點(diǎn)、荷載作用點(diǎn)、載面突變點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，盡量使相關(guān)結(jié)點(diǎn)，編碼和差值最小。矩陣位移法討論結(jié)點(diǎn)荷載問題，非結(jié)點(diǎn)荷載需另外處理。

圖7-617.2.2單元桿端力和桿端位移表示方法以i為原點(diǎn)，從i到j(luò)的方向?yàn)檩S的正向，并以軸的正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)900為軸的正向，這樣的坐標(biāo)系稱為單元局部坐標(biāo)系單元桿端力和桿端位移符號(hào)的上方加一橫“—”，表示局部坐標(biāo)的意思。下一張返回上一張小結(jié)第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五如圖，結(jié)點(diǎn)的桿端位移列向量為：結(jié)點(diǎn)的桿端力列向量為：注：這些桿端位移和桿端力的正向均規(guī)定與坐標(biāo)軸的正方向一致為正；其中轉(zhuǎn)角和彎矩以順時(shí)針為正。返回下一張上一張小結(jié)第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.2.3單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系式例17-7：計(jì)算如圖17-8所示結(jié)構(gòu)的各桿的桿端力解：返回下一張上一張小結(jié)第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五寫成矩陣形式為：簡(jiǎn)式為：返回下一張上一張小結(jié)第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.2.4單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦?）[K]e是對(duì)稱方陣單元?jiǎng)偠染仃囍械男袛?shù)等于單元桿端力向量的分量數(shù)，列數(shù)等于單元桿端位移向量的分量數(shù)。因?yàn)檫@兩個(gè)向量的分量數(shù)相等，所以[K]e是一個(gè)方陣。又因Kij=Kji，故單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣。2）[K]e是奇異矩陣矩陣[K]e相應(yīng)行列式的值為零，故知單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?。其逆矩陣不存在?7.2.5單元?jiǎng)偠染仃囍懈髟氐奈锢硪饬x

當(dāng)j位移分量為1而其位移分量為零時(shí)，所引起的i分量值。返回下一張上一張小結(jié)第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五

第四節(jié)結(jié)構(gòu)剛度矩陣由（17—14）式可知：將（17—21）及（17—25）式代入上式得：

另[T]T[]e[I]=[K]e則{F}e=[K]e{}e用結(jié)分點(diǎn)塊式表示為：注：1）為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)的桿端力和桿端位移。2）表示單元的j端三個(gè)位移分別產(chǎn)生單位位移時(shí)在i端各力分量分別產(chǎn)生的力。3）分別為單元在結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)中剛度。返回下一張上一張小結(jié)第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.3.1結(jié)構(gòu)總剛度矩陣形成總剛的步驟：1）確定結(jié)點(diǎn)數(shù)，對(duì)結(jié)點(diǎn)及單元桿進(jìn)行編號(hào)。2）計(jì)算結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中各單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒?）將各單元?jiǎng)偠染仃嚨母髯訅K，按“對(duì)號(hào)入座”送入結(jié)構(gòu)總剛度矩陣中。17.3.2結(jié)構(gòu)總剛度方程

方程式中：{F}—結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力列向量；

—結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量；[K]—結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣或叫結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。返回下一張上一張小結(jié)第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五

17.3.3支承條件的引入

結(jié)構(gòu)總剛度方程（D）又叫結(jié)構(gòu)原始剛度方程。其中[K]是奇異矩陣，不能求出確定的結(jié)點(diǎn)位移{}。為此求解結(jié)構(gòu)的未知結(jié)點(diǎn)位移時(shí)，引入結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移邊界條件（即支承條件），修改結(jié)構(gòu)總剛度矩陣。具體步驟如下：1）利用已知的結(jié)點(diǎn)力{F1}2）求未知的結(jié)點(diǎn)位移{}3）劃掉位移為零所對(duì)應(yīng)的行和列。返回下一張上一張小結(jié)第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五第四節(jié)坐標(biāo)變換矩陣?yán)?7-8：見圖17-9所示單元，寫出單元的桿端力向量。解：由投影關(guān)系得

圖17-9返回下一張上一張小結(jié)第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五寫成矩陣形式為：返回下一張上一張小結(jié)第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五縮寫成式中：[T]為坐標(biāo)變換矩陣[T]為上交矩陣，其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣。[T]=[T]T式中：[T]-1——與[T]相乘為1的矩陣；[T]T——把[T]中行和列各元素互換后形成的。因此，上式的逆轉(zhuǎn)換式為：同理得：返回下一張上一張小結(jié)第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五第五節(jié)非結(jié)點(diǎn)荷載的處理17.7.1結(jié)間荷載轉(zhuǎn)化為結(jié)點(diǎn)荷載的方法（如圖7—10）：1）在B、C結(jié)點(diǎn)加附加約束，使B、C兩點(diǎn)不能發(fā)生任何位移，然后施加結(jié)間荷載，如圖7-10（b）所示。2）在B、C兩點(diǎn)沒有附加約束的情況下，施加與上述固端剪力和固端彎矩大小相等方向相反的力和力矩，如圖7-10（c）所示。3）（a）=（b）+（c）4）等效結(jié)點(diǎn)荷載為匯交在每一結(jié)點(diǎn)的固端剪力的代數(shù)和以及固端彎矩代數(shù)和，但方向相反。圖7-10返回下一張上一張小結(jié)第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.7.2例：試計(jì)算圖17-11（a）所示剛架等效結(jié)點(diǎn)荷載。解：

圖17-11分別繪在結(jié)點(diǎn)上，如圖17—11（b）所示。返回下一張上一張小結(jié)第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五17.7.3例17-10:求圖17-12(a)所示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載解：分別繪在結(jié)上，如圖b所示。圖17-12返回下一張上一張小結(jié)第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五第六節(jié)矩陣位移法解題步驟具體步驟如下：1）將結(jié)構(gòu)劃分為若干個(gè)單元，并將各單元和結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。2）選擇結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系及局部坐標(biāo)系。3）計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)荷載，建立結(jié)點(diǎn)荷載列向量和結(jié)點(diǎn)位移列向量。4）計(jì)算結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中各單元?jiǎng)偠染仃嚨乃膫€(gè)子塊。5）將單元?jiǎng)偠染仃嚨乃膫€(gè)子塊，按下標(biāo)在結(jié)構(gòu)總剛度矩陣中“對(duì)號(hào)入座”，建立結(jié)構(gòu)總剛度矩陣和剛度方程。6）引入支承條件，劃掉和已知位移為零所對(duì)應(yīng)的行和列，計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移。7）計(jì)算局部坐標(biāo)中的桿端力。8）利用式（17—49）和（17—50）。

返回下一張上一張小結(jié)第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五第七節(jié)結(jié)構(gòu)分析的計(jì)算機(jī)方法簡(jiǎn)介17.9.1程序功能：

本程序只適用于各個(gè)桿件單元是等截面直桿，桿件之間是剛性連續(xù)，支座是固定端；承受的荷載是結(jié)點(diǎn)荷載。17.9.2源程序說明：1）結(jié)點(diǎn)編號(hào)，先編可動(dòng)結(jié)點(diǎn)，后編固定結(jié)點(diǎn)。2）局部坐標(biāo)由小號(hào)結(jié)點(diǎn)碼到大號(hào)結(jié)點(diǎn)碼為軸正向，逆時(shí)針轉(zhuǎn)90為軸正向。

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