第六章數(shù)值積分

第六章數(shù)值積分第一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五內(nèi)容提綱（Outline)求積公式的代數(shù)精度插值型求積公式復(fù)化求積法第二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

為什么要數(shù)值積分？在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)f(x)?有解析表達(dá)式；?

f(x)的原函數(shù)F(x)為初等函數(shù)．Whydowedonumericalintegral?第三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

問題?f(x)沒有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式e.g.?

f(x)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù)e.g.，它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù).x12345f(x)44.5688.5第四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

求定積分就得通過近似計(jì)算－數(shù)值積分求得積分近似值基本思想是對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行近似，給出數(shù)值積分，同時(shí)考慮近似精度。下面首先給出代數(shù)精確度的概念第五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.1代數(shù)精確度本章討論的是形如的定積分的數(shù)值計(jì)算，其中為權(quán)函數(shù)，要滿足5.4節(jié)中所提的條件.

第六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五一般把積分區(qū)間n個(gè)點(diǎn){xk}上的函數(shù)值f(xk)加權(quán)Ak的和作為積分I(f)的近似,即或記 (2)

第七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五上式中xk，Ak分別稱為求積節(jié)點(diǎn)、求積系數(shù).求積系數(shù)與被積函數(shù)f(x)無(wú)關(guān),而與求積節(jié)點(diǎn)、求積區(qū)間、權(quán)函數(shù)有關(guān)．稱公式(2)為n點(diǎn)求積公式，有時(shí)也稱為一個(gè)n點(diǎn)求積公式，為求積公式的誤差．用此公式)求積分近似值的計(jì)算稱為數(shù)值積分或數(shù)值微分．第八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論解決的問題有(i)確定求積系數(shù)Ak和求積節(jié)點(diǎn)n；(ii)求積公式的誤差估計(jì)和收斂性．用什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判定兩個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)相同的求積公式的“好”與“差”呢？通常用“代數(shù)精確度”的高低作為求積公式“好”與“差”的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)．在后面的討論中我們將看到，節(jié)點(diǎn)相同的求積公式，代數(shù)精確度越高，求出的積分近似值精確度一般越好．下面給出代數(shù)精確度的定義．第九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義１若對(duì)任意的，求積公式(2)的誤差都滿足，則稱該求積公式具有n次代數(shù)精確度．驗(yàn)證一個(gè)求積公式所具有的代數(shù)精確度用定義１是極不方便的，為此給出另一個(gè)定義．第十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義2若對(duì)函數(shù)，求積公式(2)精確成立，即而，則稱其具有n次代數(shù)精確度．因?yàn)楹瘮?shù)組是的一組基函數(shù)，所以兩個(gè)定義是等價(jià)的，但在具體應(yīng)用時(shí)，定義2比定義1要方便的多．第十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五例１驗(yàn)證求積公式

具有3次代數(shù)精確度．解：當(dāng)而

有第十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）當(dāng)

（2）當(dāng)（3）當(dāng)?shù)谑?yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）當(dāng)

故求積公式具有三次代數(shù)精確度．第十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.2插值型求積公式這一節(jié)所討論的求積公式，都是用在區(qū)間[a,b]上對(duì)被積函數(shù)f(x)作插值所得插值多項(xiàng)式Pn(x)代替被積函數(shù)f(x)導(dǎo)出的公式．這一類求積公式的求積節(jié)點(diǎn)

xk，就是對(duì)f(x)作插值時(shí)的插值節(jié)點(diǎn)，所以這類求積公式稱為插值型求積公式．為簡(jiǎn)便起見，這節(jié)討論節(jié)點(diǎn)分布為等距并且權(quán)函數(shù)時(shí)的插值型求積公式的構(gòu)造等問題．

第十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.2.1Newton-Cotes求積公式一、公式的推導(dǎo)設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，求積節(jié)點(diǎn)為，那么，令x=a+th，則t=(x-a)/h，且由可知．由Lagrange插值基函數(shù)有而，所以第十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五將n次Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(x)代替被積函數(shù)f(x)得

記稱為Cotes求積系數(shù)．它與(3)式中的求積系數(shù)Ak相差一個(gè)常數(shù)b-a即第十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求積公式．例如當(dāng)n=4,5時(shí)，Newton-Cotes公式分別為

n=0,1,2三種情形，在討論(3)式中的余項(xiàng)R(1,f)后再詳細(xì)討論．第十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、誤差估計(jì)求積公式(3)計(jì)算出的積分I(f)的近似值In+1(f)的誤差多大？若被積函數(shù)，記，對(duì)n次Lagrange插值余項(xiàng)求積，可得n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes求積公式的誤差估計(jì)式為(5)第十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五驗(yàn)證求積公式(3)的代數(shù)精確度，不用誤差估計(jì)的(4)式，而用直接對(duì)插值余項(xiàng)求積的形式，即(5)由(5)式，顯而易見，當(dāng)時(shí)，因可知，R(1,f)=0，所以我們所n+1點(diǎn)的求積公式(3)至少具有n次的代數(shù)精確度．進(jìn)一步可以證明，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求積公式(3)的代數(shù)精確度可以達(dá)到n+1次．第二十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、幾種常見的Newton-Cotes求積公式對(duì)n=0,1,2,按公式(3)可以得出下面三種常見的Newton-Cotes求積公式.1.n=0時(shí)的矩形求積公式分別以積分區(qū)間[a,b]的左、右端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，即x=a，b，(a+b)/2為求積節(jié)點(diǎn)得到：左矩形求積公式：右矩形求積公式：中矩形求積公式：三個(gè)求積公式的誤差估計(jì)，可將函數(shù)f(x)分別在處展開到含f(x)的一階導(dǎo)數(shù)的Taylor公式在區(qū)間[a,b]上積分推得．第二十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.n=1時(shí)的梯形求積公式按Cotes系數(shù)公式計(jì)算得故求積系數(shù)A0,A1為 ，梯形求積公式為記(6)式的幾何意義如圖7-2所示（見p327）容易驗(yàn)證公式(6)的代數(shù)精確度的次數(shù)為1.考慮梯形求積公式(6)的誤差估計(jì)R(1,f)．假定時(shí)，用推廣的積分中植定理，將過(a,f(a)),(b,f(b))點(diǎn)的線性插值的余項(xiàng)在[a,b]上積分，可得其中也稱為梯形求公式第二十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.n=2時(shí)的Simpson求積公式按Cotes系數(shù)公式可以計(jì)算出為此，，所以(8)公式(8)稱為Simpson求積公式．由7.1節(jié)例1可知Simpson求積公式(8)具有３次的代數(shù)精確度．Simpson求積公式(8)的誤差估計(jì)R(1,f)不能直接有插值余項(xiàng)利用推廣的積分中值定理在[a,b]上積分推出．原因是在[a,b]上要變號(hào)．第二十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.3Romberg積分

設(shè)是任意數(shù),是關(guān)于步長(zhǎng)h逼近的近似公式,它們的誤差估計(jì)式為(1)7.3.1Richardson外推法外推法是用精確度較低的近似公式組合成精確度較高的近似公式的一種方法.這里,k1,k2,k3,…是一組常數(shù).第二十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五我們希望找到一種簡(jiǎn)便的方法,用近似公式F(h)的組合,得到誤差階較高的近似公式,使(2)此時(shí),逼近F*的誤差為O(h2)類似地,用組合產(chǎn)生逼近F*的誤差為O(h3)的近似公式等.下面我們給出一種具體的組合方法.按(1)式,稱逼近的誤差為.把h的冪次稱為誤差的階,例如,稱為二階誤差第二十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五把(1)式改寫為(3)用h/2代替(3)式中的h,得(4)用2乘(4)式再減去(3)式,消去含h的項(xiàng),得(5)令,且記

第二十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五那么(5)式可寫為(6)這里,逼近的誤差為再用h/2代替h,使(6)式變?yōu)?7)用4乘(7)式減去(6)式,消去含的項(xiàng),得(8)同樣記第二十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五(8)式可以寫為(9)這里逼近的誤差為還是用h/2代替h代入(9)式后,類似上述過程,可以得到誤差為的一般地,對(duì),有逼近的誤差為的遞推公式(10)也稱為關(guān)于步長(zhǎng)h的外推公式.表7-1列出了時(shí),按(10)式產(chǎn)生的計(jì)算次序,表中各列左邊黑體數(shù)字表示序號(hào).第二十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五表7-1例1設(shè)帶余項(xiàng)的差分公式為第二十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五(11)導(dǎo)出具有誤差為的外推公式.解令

用h/2代替h,得(12)為消去含的項(xiàng),用4乘(12)式減去(11)式,得第三十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五從而有(13)這里這時(shí),逼近的誤差為.重復(fù)用h/2代替h并消去含的項(xiàng),得到逼近的誤差為的外推公式為第三十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五注意(14)式中第二項(xiàng)的分母為而不是(10)式中的.這是由于(11)式中的余項(xiàng)為關(guān)于的冪次而不是關(guān)于h的冪次.7.3.2Romberg求積方法Romberg求積方法是以復(fù)化梯形公式為基礎(chǔ),應(yīng)用Richardson外推法導(dǎo)出的數(shù)值求積方法.回憶7.2.1節(jié)的復(fù)化梯形公式,分別把積分區(qū)第三十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五間[a，b]分為1,2,4等分的結(jié)果列入表7-2.表7-2

k

11

22

34第三十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五我們還可以進(jìn)一步推導(dǎo)出它們的遞推關(guān)系.由可以化為類似地,有一般地,把區(qū)間[a,b]逐次分半k-1次,區(qū)間長(zhǎng)度(步長(zhǎng))為,其中.為第三十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五敘述方便起見,記,那么,(15)或(16)從而有(17)其中.按外推法的思想,可以把(15)看成是關(guān)于第三十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五誤差為的一個(gè)近似公式.因此,復(fù)化梯形公式的誤差公式為(18)為消去項(xiàng),再取代替(18)式中的,得(19)第三十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五用4乘(19)式再減去(18)式,得(20)記(21)這是誤差為的外推公式.重復(fù)上述過程,將區(qū)間逐次分半k-1次后,可第三十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五以得到誤差為的外推公式(22)當(dāng)j=2時(shí)(23)當(dāng)K=2時(shí),有這是n=2的復(fù)化Simpson公式的.不難驗(yàn)證,對(duì)一般的k,,這里,是的復(fù)化第三十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Simpson公式.類似地,當(dāng)j=3時(shí),(24)在實(shí)際計(jì)算中,經(jīng)常直接應(yīng)用(23)式和形式與(24)式相類似的公式進(jìn)行計(jì)算.所謂Romberg求積方法,就是由上述兩部分組成.第一部分,對(duì)積分區(qū)間逐次分半k-1次,用復(fù)化梯形求積公式(16)計(jì)算,第二部分,用外推公式(22)計(jì)算第三十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五用Romberg求積方法計(jì)算的計(jì)算值的過程如下:首先,令k=1,區(qū)間長(zhǎng)度,用梯形求積公式計(jì)算(表7-3中第一行);區(qū)間分半,令K=2,區(qū)間長(zhǎng)度,先按(16)式計(jì)算,再按外推公式(22)式計(jì)算(表7-3中第二行);再區(qū)間分半,令k=3,區(qū)間長(zhǎng)度,先按(16)式計(jì)算,再按(22)式計(jì)算(表7-3中第三行)等等,逐次分半?yún)^(qū)間k次后的計(jì)算結(jié)果如表7-3所示(見下頁(yè)).第四十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

表7-3

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:…….表7-3中的計(jì)算按行(k的序號(hào))進(jìn)行,每行第1個(gè)元素用復(fù)化梯形公式(16)計(jì)算,其他元素均按(22)式用與的組合得到.在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)實(shí)際問題對(duì)計(jì)第四十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五算精確度的要求來(lái)確定區(qū)間逐次分半的次數(shù).常用不等式(25)作為達(dá)到精確度要求的判斷準(zhǔn)則,這里,是給定的一個(gè)小的正數(shù).例2用Romberg求積方法計(jì)算(26)的近似值,給定解首先令區(qū)間長(zhǎng)度,用梯形求積公式計(jì)算第四十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五區(qū)間[0,1]分半,令區(qū)間長(zhǎng)度,按16式計(jì)算再按(23)式計(jì)算這時(shí)未達(dá)到精確度要求.為此,再將區(qū)間分半,令區(qū)間長(zhǎng)度按(16)式計(jì)算第四十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五按j=2和j=3的外推公式(23)和(24),分別用和的組合得到以及用和的組合得到,即以及這時(shí),已滿足不等式(25)的要求.作為積分(26)式的近似,其誤差為.第四十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五下面給出用Romberg求積方法計(jì)算近似值的計(jì)算步驟,用二維數(shù)組T的元素存放表7-3中的.輸入:積分區(qū)間端點(diǎn)令,計(jì)算令令,計(jì)算forj=2,3,…,k5.1計(jì)算endfor(j)第四十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五if,thengoto8endif7令k=k+1,,goto48輸出9end第四十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.5Gauss求積公式7.5.1引言求積公式(1)當(dāng)求積系數(shù)、求積節(jié)點(diǎn)都可以自由選取時(shí),其代數(shù)精確度最高可以達(dá)到多少次?下面的引理可以回答上述問題.

第四十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五引理1當(dāng)求積系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)都可以自由選取時(shí),n點(diǎn)的求積公式(1)的代數(shù)精確度最高可以達(dá)到2n-1次.證假設(shè)求積公式(1)具有m次代數(shù)精確度,即對(duì)任意的m次代數(shù)多項(xiàng)式求積公式(1)的精確成立.于是成立等式即

若記(2)第四十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五則(2)式成為(3)由于系數(shù)的任意性,故使(3)式成為恒等式的充要條件是(4)(4)式的待定系數(shù)有2n個(gè),所以確定待定系數(shù)的第四十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五獨(dú)立條件至多給出2n個(gè),從而可知m至多為2n-1.

定義1n點(diǎn)的求積公式(1)具有2n-1次代數(shù)精確度(或稱為具有最高的代數(shù)精確度)時(shí),稱為Gauss型求積公式.Gauss型求積公式的求積節(jié)點(diǎn),稱為Gauss點(diǎn),它們可以通過求區(qū)間[a,b]上帶權(quán)的n次正交多項(xiàng)式的n個(gè)根獲得.所以先介紹正交多項(xiàng)式及其性質(zhì).然后討論Gauss型求積公式的構(gòu)造,等等.第五十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.5.2正交多項(xiàng)式及其性質(zhì)定義2若(1),則稱函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上正交.(2),則稱函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)正交.

(3)代數(shù)多項(xiàng)式序列(下標(biāo)k為多項(xiàng)式的次數(shù),表示k次多項(xiàng)式),在區(qū)間[a,b]上滿足當(dāng)mn當(dāng)m=n則稱多項(xiàng)式序列為區(qū)間[a,b]上帶權(quán)第五十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五的正交多項(xiàng)式序列.

定義3若n次記多項(xiàng)式中含項(xiàng)的系數(shù)為,則稱為的首次系數(shù);時(shí),稱為首次系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式.正交多項(xiàng)式有如下性質(zhì):

性質(zhì)1若是區(qū)間[a,b]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列,則它們線行無(wú)關(guān).

證對(duì)任意的,若,在式子兩邊同乘,并從a到b積分,由的正交性定義1中的(3)可知必有第五十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五.故正交多項(xiàng)式序列線性無(wú)關(guān).由性質(zhì)1可知,若為[a,b]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列,則序列可以作為空間的一組基函數(shù),即中的任一元素可由它們線性表出:其中為組合系數(shù).性質(zhì)2若為[a,b]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列,且,則第五十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)(2)事實(shí)上,由性質(zhì)1,.由的正交性定義容易證得(1).證(2)也是類似的.為方便起見,記下面,不加證明地給出正交多項(xiàng)式如下的性質(zhì):

性質(zhì)3[a,b]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式序列相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系為其中,,第五十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五為的首項(xiàng)系數(shù),即為性質(zhì)4[a,b]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式序列中任意相鄰兩個(gè)正交多項(xiàng)式和的根相間.若記,的根分別為,則所謂與的根相同,即是指這兩個(gè)正交多項(xiàng)式的根有如下的關(guān)系.第五十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

性質(zhì)5(1)區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式序列與對(duì)應(yīng)元素之間只相差一個(gè)比例常數(shù).(2)區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)首項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式序列唯一.常見的正交多項(xiàng)式有Legendre(勒讓德)多項(xiàng)式、Hermite多項(xiàng)式、Chebyshev多項(xiàng)式以及Jacobi多項(xiàng)式,Chebyshev多項(xiàng)式在5.2節(jié)已第五十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五詳細(xì)討論,這里主要介紹Legendre多項(xiàng)式一、Legendre多項(xiàng)式

隱式表達(dá)式顯式表達(dá)式

第五十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí).Legendre多項(xiàng)式的主要性質(zhì)有(1)n次Legendre多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)

當(dāng)x=1,當(dāng)x=-1.(3)正交性為:為區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式序列,且有第五十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)mn當(dāng)m=n(4)Legendre多項(xiàng)式相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系為二、Legendre多項(xiàng)式將隱式表達(dá)式第五十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五將隱式表達(dá)式中n階導(dǎo)數(shù)用乘積導(dǎo)數(shù)的Leibniz公式可得顯式表達(dá)式Legendre多項(xiàng)式的主要性質(zhì)有(1)n次Legendre多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)(2)正交性為:為區(qū)間上帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式序列,且有第六十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式序列,且有(3)Hermite多項(xiàng)式相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系為四、Jacobi多項(xiàng)式Jacobi多項(xiàng)式是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式,其中第六十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五(3)Legendre多項(xiàng)式相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系為三、Hermite多項(xiàng)式表達(dá)式

Hermite多項(xiàng)式的主要性質(zhì)有(1)n次Hermite多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)(2)正交性為:為區(qū)間上帶第六十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五有的書籍文獻(xiàn)把Jacobi多項(xiàng)式記為即n次Jacobi多項(xiàng)式表示為其中或.兩種系數(shù)推出兩種Jacobi多項(xiàng)式.詳細(xì)的情形請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[27].第六十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.5.3Gauss型求積公式由7.5.1中的引理1和定義1可知n點(diǎn)的求積公式(1)若具有最高的代數(shù)精確度,或具有2n-1次的代數(shù)精確度成為Gauss型求積公式.到底求積公式(1)的求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)如何選取,才能使之成為Gauss型求積公式?

定理7.5.1求積公式(1)中的n個(gè)求積節(jié)點(diǎn),取在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)的n次正交多項(xiàng)式的n個(gè)根成為Gauss型求積公式.證設(shè).[a,b]上帶權(quán)函數(shù)的第六十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五n次正交多項(xiàng)式的n個(gè)根記為,記的首項(xiàng)系數(shù)為.由定義2有因此,(5)其中.在(5)式兩邊同乘,并從a到b積分.由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)可知,含項(xiàng)的積分為零,所以(6)注意到當(dāng)作為插值節(jié)點(diǎn)時(shí)建立的n點(diǎn)插值第六十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五求積公式至少具有n-1次代數(shù)精確度,而,所以(7)又由(5)式可知,即(8)綜合(6),(7),(8)式可知,當(dāng)時(shí),求積公式(1)成立.第六十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五用n點(diǎn)Gauss求積公式(9)之值近似積分值有下面的誤差估計(jì).

定理7.5.2若,則Gauss型求積公式(1)的誤差估計(jì)為其中證明略.在稍后討論Gauss積分值數(shù)列的收斂性第六十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五等問題時(shí),需要用到Gauss型求積公式的求積系數(shù)大于零的結(jié)論.這里用下面的定理給出.

定理7.5.3Gauss型求積公式的求積系數(shù)大于零.

證令,這里為區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)的n次正交多項(xiàng)式的n個(gè)根.顯然第六十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五由于,所以對(duì)求積公式(1)精確成立,即因?yàn)樗栽?.2節(jié),我們討論了復(fù)化梯形求積公式和復(fù)化Simpson求積公式的收斂性.那么Gauss第六十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五型求積公式被積函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足什么條件才收斂呢?Gauss型求積公式的收斂性問題由下面的定理給出.

定理7.5.4若,則Gauss型求積公式所求積分值序列收斂于積分值,即

證因?yàn)?由Weierstrass定理對(duì)任意的,存在,使得第七十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五(10)對(duì)任意的成立.由于公式(1)為Gauss型求積公式時(shí)具有2n-1次代數(shù)精確度,取N>(m+1)/2,故當(dāng)n>N時(shí),即m<2N-1<2n-1時(shí),有(11)成立,于是由(11)式可知.而由(10)式,有第七十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五和,從而因?yàn)?記第七十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五故即第七十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五7.5.4Gauss型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用定理7.5.1實(shí)際上給出了構(gòu)造Gauss型求積公式的一種方法.這種方法,當(dāng)給定了積分區(qū)間[a,b]和權(quán)函數(shù)以后,構(gòu)造n個(gè)點(diǎn)的Gauss型求積公式,先求出區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)的n次正交多項(xiàng)式,然后用多項(xiàng)式求根的方法求出的n個(gè)根,從而獲得了求積節(jié)點(diǎn)為了求得求積系數(shù),將n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)代入方程組(4)中的前n個(gè)方程并加以求解,即解線性代數(shù)方程組第七十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五求得求積系數(shù),完成Gauss型求積公式的構(gòu)造.表7-5為Gauss-Legendre求積公式的求積系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)的一個(gè)表.而表7-6和表7-7則分別是Gauss-Legendre和Gauss-Hermit-te求積公式的求積系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)的一第七十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五個(gè)表.有些數(shù)值分析的書籍還給出了Gauss-Chebyshev求積公式的求積節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù).表見P366.需要指出的是,不同求積公式的求積系數(shù)與求積節(jié)點(diǎn),積分區(qū)間和權(quán)函數(shù)是不同的.Gauss-Lagendre求積公式的積分區(qū)間為[-1,1],權(quán)函數(shù).而Gauss-Legendre求積公式的積分區(qū)間為,權(quán)函數(shù).Gauss-Hermitte求積公式的積分區(qū)間為,權(quán)函數(shù)Gauss-Chebyshev求積公式的積分區(qū)間為[-1,1]第七十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五權(quán)函數(shù)這里需要指出的另一點(diǎn)是Gauss-Chebyshev求積公式的求積系數(shù)是相同的.例如,n點(diǎn)的Gauss-Chebyshev求積公式,它的n個(gè)求積系數(shù)都是,即.而n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)則為正是因?yàn)镚aus