新教材數(shù)學人教A版選擇性課件4212等差數(shù)列的性質(zhì)及應用

第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及應用

1.等差數(shù)列中項與序號的關系(1)兩項關系an=_________(m,n∈N*).(2)多項關系若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*),則an+am=_____.特別地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),則am+an=___.必備知識·素養(yǎng)奠基am+(n-m)das+at2ap【思考】(1)由an=am+(n-m)d(m,n∈N*),m≠n,如何求出公差d?其幾何意義是什么?提示:d=等差數(shù)列通項公式可變形為an=dn+(a1-d),其圖象為一條直線上孤立的一系列點,(n,an),(m,am)都是這條直線上的點.d=為直線的斜率.

(2)如何證明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq?提示:因為am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.所以am+an=2a1+(m+n-2)d.同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因為m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.2.等差數(shù)列的項的對稱性文字敘述在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和符號表示n為偶數(shù)n≥2a1+an=a2+an-1=…=n為奇數(shù)n≥3a1+an=a2+an-1=…=23.由等差數(shù)列構(gòu)成的新等差數(shù)列(1)條件{an},{bn}分別是公差為d1,d2的等差數(shù)列(2)結(jié)論數(shù)列結(jié)論{c+an}公差為d1的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd1的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an+an+k}公差為2d1的等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*){pan+qbn}公差為pd1+qd2的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))4.等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列{an}的公差為d,(1)當d>0時,數(shù)列{an}為_____數(shù)列.(2)當d<0時,數(shù)列{an}為_____數(shù)列.(3)當d=0時,數(shù)列{an}為___數(shù)列.遞增遞減常【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若{an}是等差數(shù)列,則{|an|}也是等差數(shù)列. ()(2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則a1,a3,a5,a7,a9也是等差數(shù)列. ()(3)在等差數(shù)列{an}中,若am+an=ap+aq,則m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N*).()(4)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N*,則am+an=ar. ()提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差數(shù)列,但其絕對值就不是等差數(shù)列.(2)√.若等差數(shù)列{an}公差為d,則a1,a3,a5,a7,a9也是等差數(shù)列,且其公差為2d.(3)×.若數(shù)列{an}是常數(shù)列,則m+n=p+q不一定成立.(4)×.如等差數(shù)列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.2.(2020·常州高二檢測)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,則a7=()【解析】選C.由題意,根據(jù)等差中項的性質(zhì),有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.3.等差數(shù)列{an}中,若a4=13,a6=25,則公差d等于 ()【解析】選B.因為{an}為等差數(shù)列,所以a6=a4+2d,即25=13+2d,解得d=6.4.若2,a,b,c,9成等差數(shù)列,則c-a=________.

【解析】設公差為d,則9=2+4d,所以d=.所以c-a=2d=.答案:

關鍵能力·素養(yǎng)形成類型一等差數(shù)列性質(zhì)的應用【典例】1.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于()2.已知{an},{bn}是兩個等差數(shù)列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值為 ()3.若{an}為等差數(shù)列,a15=8,a60=20,求a75.【思維·引】1.由已知條件可以求首項和公差,注意到a4+a6=2a5,可迅速求值;2.關鍵是注意到{an-bn}也是等差數(shù)列,3.思路一:直接列出關于首項、公差的方程組求解;思路二:根據(jù)a15,a30,a45,a60,a75為等差數(shù)列求解;思路三:利用性質(zhì)an=am+(n-m)d(m,n∈N*)求解.【解析】1.選B.由即得d=3.所以a5=2+4×3=14,所以a4+a5+a6=3a5=42.2.選B.由于{an},{bn}都是等差數(shù)列,所以{an-bn}也是等差數(shù)列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常數(shù)列,故a10-b10=6.3.方法一:設等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a15=a1+14d,a60=a1+59d,所以解得所以a75=a1+74d=+74×=24.方法二:因為{an}為等差數(shù)列,所以a15,a30,a45,a60,a75也為等差數(shù)列.設其公差為d,則a15為首項,a60為第4項,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.所以a75=a60+d=20+4=24.方法三:因為a60=a15+(60-15)d,所以d=所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.【內(nèi)化·悟】對于新構(gòu)成的等差數(shù)列,解題時要注意什么問題?提示:要注意判斷新構(gòu)成的等差數(shù)列的首項和公差.【類題·通】等差數(shù)列運算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件,列出關于a1,d的方程(組),確定a1,d,然后求其他量.(2)利用性質(zhì)巧解,觀察等差數(shù)列中項的序號,若滿足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),則am+an=ap+aq=2ar.特別提醒:遞增等差數(shù)列d>0,遞減等差數(shù)列d<0,解題時要注意數(shù)列的單調(diào)性對d取值的限制.【習練·破】1.在等差數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,則a3+a6+a9的值為 ()【解析】選A.設b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因為{an}是等差數(shù)列,所以b1,b2,b3也是等差數(shù)列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.2.已知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,若b3=-2,b10=12,則b8=________.

【解析】方法一:因為{bn}為等差數(shù)列,所以可設其公差為d,則d=所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.方法二:由

得b8=×5+b3=2×5+(-2)=8.答案:8【加練·固】在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80.求通項an.【解析】因為a1+a5=2a3,所以

解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,因為d=,所以d=3或-3,所以an=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.類型二等差數(shù)列中對稱設項法的應用【典例】(2019·龍巖高二檢測)設三個數(shù)成單調(diào)遞減的等差數(shù)列,三個數(shù)的和為12,三個數(shù)的積為48,求這三個數(shù).【思維·引】三個數(shù)成等差數(shù)列,可設這三個數(shù)為a+d,a,a-d.【解析】設這三數(shù)為a+d,a,a-d,則a-d+a+a+d=12,①(a-d)·a·(a+d)=48,②,由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),所以這三個數(shù)為6,4,2.【素養(yǎng)·探】在解等差數(shù)列中對稱設項法的應用有關的問題時,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算,通過研究等差數(shù)列的各項之間的關系,巧設未知數(shù),解方程組求解.將本例的條件“遞減”改為“遞增”,“三個數(shù)的和為12,三個數(shù)的積為48”改為“三個數(shù)的和為21,三個數(shù)的積為231”,試求這三個數(shù).【解析】設這三個數(shù)分別為a-d,a,a+d,由題意,得即解得因為等差數(shù)列是遞增數(shù)列,所以d=4.所以這三個數(shù)為3,7,11.【類題·通】設等差數(shù)列的三個技巧(1)對于連續(xù)奇數(shù)項的等差數(shù)列,可設為:…,x-d,x,x+d,…,此時公差為d.(2)對于連續(xù)偶數(shù)項的等差數(shù)列,通?？稍O為:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此時公差為2d.(3)等差數(shù)列的通項可設為an=pn+q.【習練·破】已知四個數(shù)依次成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列,四個數(shù)的平方和為94,首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18,求此等差數(shù)列.【解析】設四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則又遞增數(shù)列d>0,所以解得a=±,d=,此等差數(shù)列為-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.類型三等差數(shù)列的應用角度1與其他知識的綜合應用【典例】(2020·濮陽高二檢測)已知各項都為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中,a5=3,則a3a7的最大值為________.

【思維·引】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、均值不等式取最值.【解析】依題意,等差數(shù)列{an}各項都為正數(shù),所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤=(a5)2=9.當且僅當a3=a7=3時等號成立.答案:9角度2實際應用【典例】(2020·濰坊高二檢測)《周髀算經(jīng)》中有一個問題,從冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列,若冬至、立春、春分的日影子長的和是尺,芒種的日影子長為尺,則冬至的日影子長為 ()尺尺尺尺【思維·引】將條件用首項a1,公差d表示,求出a1后即可.【解析】選C.設此等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.【內(nèi)化·悟】解決數(shù)列實際應用問題,要關注哪些問題?提示:(1)認真領會題意,根據(jù)題目條件,尋找有用的信息.若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時,則這組數(shù)成等差數(shù)列.(2)合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關鍵,在解題過程中,一定要分清首項、項數(shù)等關鍵的問題.【類題·通】1.解決數(shù)列綜合問題的方法策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項.(2)利用通項公式,得到一個以首項a1和公差d為未知數(shù)的方程或不等式.(3)利用函數(shù)或不等式的有關方法解決.2.解決等差數(shù)列實際應用問題的步驟特別提醒:在利用數(shù)列方法解決實際問題時,一定要弄清首項、項數(shù)等關鍵問題.【習練·破】1.若關于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4個根可組成首項為的等差數(shù)列,則a+b的值為 ()【解析】選D.判斷各個根對應數(shù)列的項數(shù).因為每個方程的兩個根的和都為1,故必有一個方程的根為不妨設方程x2-x+a=0的根為為等差數(shù)列的首項,為等差數(shù)列4項中的某一項,由x2-x+b=0的兩根和為1,且兩根為等差數(shù)列中的后3項中的兩項,知只有為第4項,才能滿足中間兩項之和為1的條件,所以四根的排列順序為所以a+b=2.古代中國數(shù)學輝煌燦爛,在《張邱建算經(jīng)》中記載:“今有十等人,大官甲等十人官賜金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更給.問:各得金幾何及未到三人復應得金幾何?”則該問題中未到三人共得金________斤.

【解析】設十人得金按等級依次設為a1,a2,…,a10,則a1,a2,…,a10成等差數(shù)列,且設等差數(shù)列a1,a2,…,a10的公差為d,則解得d=-,所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=.答案:【加練·固】方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動點,若函數(shù)f(x)=有唯一不動點,且x1=1000,xn+1=,n=1,2,3,…,則x2004等于 ()A.2004 B. C. D.2003【解析】選B.令f(x)=x,則=x,因為ax2+(2a-1)x=0有唯一不動點,則2a-1=0,即a=,所以f(x)=xn+1=即xn+1-xn=(常數(shù)).所以{xn}是首項為1000,公差為的等差數(shù)列.所以x2004=1000+2003×課堂檢測·素養(yǎng)達標1.在等差數(shù)列{an}中,已知a3=10,a8=-20,則公差d等于 ()【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6.2.由公差d≠0的等差數(shù)列a1,a2,…,an組成一個新的數(shù)列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列說法正確的是 ()A.新數(shù)列不是等差數(shù)列B.新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C.新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列D.新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列【解析】選C.因為(an+1+an+