海南省2024年普通高等學(xué)校數(shù)學(xué)招生全國統(tǒng)一考試模擬附解析

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測試本試卷共22題，共150分，考試時(shí)間120分鐘，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺.不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)，其中，為實(shí)數(shù)，則（）A.， B.，C.， D.，3.為客觀反映建設(shè)創(chuàng)新型國家進(jìn)程中我國創(chuàng)新能力的發(fā)展情況，國家統(tǒng)計(jì)局社科文司《中國創(chuàng)新指數(shù)（CII）研究》課題組研究設(shè)計(jì)了評(píng)價(jià)我國創(chuàng)新能力的指標(biāo)體系和指數(shù)編制方法.中國創(chuàng)新指數(shù)（ChinaInnovationIndex，CII）中有4個(gè)分指數(shù)（創(chuàng)新環(huán)境指數(shù)、創(chuàng)新投人指數(shù)、創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù)、創(chuàng)新成效指數(shù)），下面是2005—2021年中國創(chuàng)新指數(shù)及分領(lǐng)域指數(shù)圖，由圖可知指數(shù)與年份正相關(guān)，則對(duì)4個(gè)分領(lǐng)域指數(shù)，在建立年份值與指數(shù)值的回歸模型中，相關(guān)系數(shù)最大的指數(shù)類型是（）A.創(chuàng)新環(huán)境指數(shù) B.創(chuàng)新投人指數(shù) C.創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù) D.創(chuàng)新成效指數(shù)4.已知，若，，則（）A. B. C. D.5.展開式中的系數(shù)為（）A.270 B.240 C.210 D.1806.下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)是（）A. B. C. D.7.已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.8.已知，，是球的球面上三點(diǎn)，，，，若異面直線與所成角的余弦值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為4C.的最小值為2 D.的最大值為410.設(shè)為拋物線：（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C.直線的斜率為 D.的面積為11.已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞增12.已知函數(shù)（），則（）A.若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增B.若在上有最小值，則在上有最大值C.過原點(diǎn)有且僅有一條直線與的圖象相切D.若函數(shù)存在大于1的極值點(diǎn)，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，不共線，，，寫出一個(gè)符合條件的向量的坐標(biāo)：______.14.已知，則______.15.工人甲將一底面半徑為4、高為4的圓柱型鋼料，車削成一下底面半徑為4、高為4的圓臺(tái)型鋼坯.經(jīng)測量，車削下來的鋼料體積占圓柱型鋼料體積的，則圓臺(tái)型鋼壞所對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的母線長為______.16.已知圓：的圖象在第四象限，直線：，：.若上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，使得為等邊三角形，則被圓截得的弦長的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，.（1）若，證明：；（2）若邊上的高為，求的周長.18.（12分）已知數(shù)列中，，是與9的等差中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求實(shí)數(shù)的最小值.19.（12分）在以視覺為主導(dǎo)的社交媒體時(shí)代，人們常借助具有美顏功能的產(chǎn)品對(duì)自我形象進(jìn)行美化.移動(dòng)端的美顏拍攝類APP主要有兩類：類是以自拍人像、美顏美妝為核心功能的APP；類是圖片編輯、精修等圖片美化類APP.某機(jī)構(gòu)為調(diào)查市民對(duì)上述，兩類APP的使用情況，隨機(jī)調(diào)查了部分市民.已知被調(diào)查的市民中使用過類APP的占60%，使用過B類APP的占50%，設(shè)個(gè)人對(duì)美顏拍攝類APP類型的選擇及各人的選擇之間相互獨(dú)立.（1）從樣本人群中任選1人，求該人使用過美顏拍攝類APP的概率；（2）從樣本人群中任選5人，記為5人中使用過美顏拍攝類APP的人數(shù)，設(shè)的數(shù)學(xué)期望為，求；（3）在單獨(dú)使用過，兩類APP的樣本人群中，按類型分甲、乙兩組，并在各組中隨機(jī)抽取8人，甲組對(duì)類APP，乙組對(duì)類APP分別評(píng)分如下：甲組評(píng)分9486929687939082乙組評(píng)分8583859175908380記甲、乙兩組評(píng)分的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，試判斷哪組評(píng)價(jià)更合理.（設(shè)（），越小，則認(rèn)為對(duì)應(yīng)組評(píng)價(jià)更合理.）參考數(shù)據(jù)：，.20.（12分）如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面.（1）求；（2）求二面角的正弦值.21.（12分）已知函數(shù)（）有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：.22.（12分）已知雙曲線：（，）的離心率為2，右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于.（1）求雙曲線的方程.（2）點(diǎn)，在上，且，直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測試參考答案1.B【命題意圖】本題考查集合的基本運(yùn)算，要求考生能用集合表示簡單不等式的解集，理解兩個(gè)集合交集的含義，能求兩個(gè)集合的交集.【解題分析】由題意得，.2.A【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及運(yùn)算，要求考生理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.【解題分析】，，.3.D【命題意圖】本題考查成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，要求考生了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.【解題分析】由題圖易知4個(gè)分領(lǐng)域指數(shù)的起始位置相同，其中創(chuàng)新投入指數(shù)，創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù)從2014年起，指數(shù)增幅大，變化趨勢明顯大于另兩類指數(shù)；從2011年起，創(chuàng)新環(huán)境指數(shù)的波動(dòng)幅度比創(chuàng)新成效指數(shù)的波動(dòng)幅度大，創(chuàng)新成效指數(shù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)更趨近于某一條直線，故其對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)最大.（也可通過直尺度量比較）4.D【命題意圖】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小，要求考生理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.【解題分析】，，，，故選D.5.A【命題意圖】本題考查二項(xiàng)式，要求考生會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.【解題分析】展開式的通項(xiàng)公式為，則原展開式中的系數(shù)為.6.B【命題意圖】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，要求考生了解函數(shù)奇偶性的概念與幾何意義，能比較函數(shù)圖像的變化規(guī)律，并能簡單應(yīng)用.【解題分析】由圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，排除C；當(dāng)時(shí)，，排除A；當(dāng)時(shí)，，排除D.故選B.7.C【命題意圖】本題考查橢圓的離心率，要求考生掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì).【解題分析】作軸，垂足為，在中，，設(shè)，由題意知，由余弦定理得，由橢圓定義知，則離心率.8.A【命題意圖】本題考查立體幾何體初步，要求考生認(rèn)識(shí)柱、錐、球的結(jié)構(gòu)特征及表面積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題.【解題分析】由題意知，在中，，，，外接圓的圓心是的中點(diǎn)，易知平面.設(shè)，長方體如圖所示，易知，且，四邊形是平行四邊形，則，為異面直線與所成角（或補(bǔ)角），易知，，則在等腰中，，解得，則球的半徑，球的表面積為.9.AC【命題意圖】本題考查基本不等式的應(yīng)用，要求考生能用基本不等式解決簡單的最值問題.【解題分析】，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，選項(xiàng)B不正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)D不正確.10.【命題意圖】本題考查拋物線，要求考生了解拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì).【解題分析】由題意得，解得，的方程為，焦點(diǎn)，由拋物線定義及，得，，的面積，故選ABD.11.AD【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要求考生了解的實(shí)際意義，能借助圖象理解參數(shù)，，的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.【解題分析】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.當(dāng)時(shí)，，，則，，，有極大值，無極小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，，有極小值，滿足題意.（或通過求對(duì)稱中心定的值.），，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)不正確；，不是偶函數(shù)，C項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，D項(xiàng)正確.12.BC【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，要求考生能利用導(dǎo)數(shù)求三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極值與最值，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系.【解題分析】當(dāng)，時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，A項(xiàng)不正確；函數(shù)是奇函數(shù)，即函數(shù)滿足，B項(xiàng)正確；，設(shè)切點(diǎn)，切線方程為，切線過點(diǎn)，得，該方程有且僅有一解，C項(xiàng)正確；若函數(shù)有極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的根，則，設(shè)兩根分別為，，則，若，則，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，D項(xiàng)不正確.13.（答案不唯一）【命題意圖】本題考查平面向量，要求考生會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量垂直、共線的關(guān)系.【解題分析】由題意得，，則，設(shè)，得，且，滿足條件的向量的坐標(biāo)可以為（答案不唯一）.14.【命題意圖】本題考查三角恒等變換，要求考生理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，能運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡單的恒等變換.【解題分析】，解得，.15.5【命題意圖】本題考查旋轉(zhuǎn)體，要求考生認(rèn)識(shí)圓柱與圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并了解圓柱和圓臺(tái)體積的計(jì)算方法.【解題分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，由題意得，解得，則圓臺(tái)的母線長.16.【命題意圖】本題考查直線與圓，要求考生能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系.【解題分析】由題意知，，直線：，直線與圓相離，圓心到直線的距離，由題意易知，則，，則，圓心到直線的距離，被圓截得的弦長為.17.【命題意圖】本題考查解三角形，要求考生掌握三角恒等變換及正、余弦定理.【解題分析】由正弦定理得，則，.…………1分（1）由，得，，，…………2分，…………3分，，，…………4分函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.…………5分（2）由題意得的面積，…………6分又，則，…………7分由余弦定理，得，…………8分得，…………9分的周長為.…………10分18.【命題意圖】本題考查數(shù)列，要求考生理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的關(guān)系，能解決相應(yīng)的問題.【解題分析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，得，…………1分當(dāng)時(shí)，，又，得，…………2分易知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比的等比數(shù)列，…………3分，即，解得或（舍去），…………5分故.…………6分（2）由（1）知，…………7分由題意得，設(shè)，…………8分，…………9分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，…………10分的最大值為.…………11分故的最小值為.…………12分19.【命題意圖】本題考查統(tǒng)計(jì)與概率，要求考生了解相互獨(dú)立事件，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，并能解決簡單的實(shí)際問題.【解題分析】（1）設(shè)事件表示“使用過類APP”，事件表示“使用過類APP”，由題意知，.…………2分任選一人，該人使用過美顏拍攝類APP的概率.…………4分（2）由題意知，…………5分則的數(shù)學(xué)期望.…………6分.…………8分（3），.…………9分，，…………10分，…………11分故甲組對(duì)類APP的評(píng)價(jià)更合理.…………12分20.【命題意圖】本題考查空間向量與立體幾何，要求考生了解空間中的平行和垂直的關(guān)系，能用向量方法解決簡單夾角問題，體會(huì)向量方法在研究兒何問題中的作用.【解題分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，.在菱形中，，易知是正三角形，，…………1分平面，.…………2分，平面，.…………3分，，平面，…………4分，，，…………5分四邊形是正方形，，.…………6分（2）取的中點(diǎn)，連接.，易知是正三角形，，.平面，，，兩兩相互垂直.…………8分如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.…………9分設(shè)平面的法向量為，，，，即，令，則，…………10分設(shè)平面的法向量為，，，即，令，則，…………11分，二面角的正弦值為.…………12分21.【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求考生了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系.【解析分析】（1）當(dāng)時(shí)，，若，則.…………1分設(shè)（），.…………2分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.…………4分（當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)解；…………5分當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解.綜上，.…………6分（2）由題意知，，由（1）設(shè)，…………7分得，即，設(shè)，…………8分得，即，則.…………9分設(shè)（或設(shè)，解略），，設(shè)，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，…………10分則當(dāng)時(shí)