江蘇省南京市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試卷附答案

第19頁（共19頁）2022-2023學年南京市高二下學期期末試卷一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合，2，3，，，則A． B．， C．， D．（2,4）2．現(xiàn)有四個函數(shù)：①，②，③；④的圖象（部分）如圖，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數(shù)序號排序正確的一組是A．③②①④ B．④③②① C．②①③④ D．①②③④3．冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)值為A．2 B． C．2或 D．14．已知，，，則A． B． C． D．5．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為A．1 B． C． D．6．已知，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．7．已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，且，都有，則下列結論錯誤的為A．是偶函數(shù) B． C．的圖象關于對稱 D．8．若直線與曲線相切，直線與曲線相切．則的值為A． B．1 C． D．二．選擇題（共4小題，每小題5分，共20分）9．下列說法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件 B．“”是“”的必要不充分條件 C．“對任意一個無理數(shù)，也是無理數(shù)”是真命題 D．命題“，”的否定是“，”10．幾位同學在研究函數(shù)時，給出了下列四個結論，其中所有正確結論的序號是（）．A．的圖象關于軸對稱；B．在上單調遞減；C．的值域為；D．當時，有最大值；11．若對任意，恒成立，其中，是整數(shù)，則的可能取值為A． B． C． D．12．已知關于的方程有兩個不等的實根，，且，則下列說法正確的有A． B． C． D．三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．設集合，，則滿足的實數(shù)的值所成集合為．14．已知非負數(shù)，滿足，則的最小值是．15．若直線是曲線和的公切線，則實數(shù)的值是．16．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，有下列結論：①函數(shù)在上單調遞增；②函數(shù)的圖象與直線有且僅有2個不同的交點；③若關于的方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則這4個實數(shù)根之和為8；④記函數(shù)在，上的最大值為，則數(shù)列的前7項和為．其中所有正確結論的編號是．四．解答題（共6小題，共70分）17．（10分）已知命題：存在實數(shù)，使成立．（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題：任意實數(shù)，，使恒成立，如果命題“或”為假命題，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)在，的值域；（2）令，則，已知函數(shù)在區(qū)間，有零點，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)，其中實數(shù)a,b,c滿足2b=a+c．（1）若b=0，且在上單調遞增，求a的取值范圍；（2）若b-a=3，求函數(shù)的極值.21．（12分）歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果對于其定義域中任意給定的實數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為倒函數(shù)．（1）已知，判斷和是不是倒函數(shù)，并說明理由；（2）若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是嚴格增函數(shù)．記，證明：是的充要條件．22．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．

2022-2023學年南京市中華中學高二下學期期末試卷一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合，2，3，，，則A． B．， C．， D．（2,4）【解答】解：，2，3，，或，，．故選：．2．現(xiàn)有四個函數(shù)：①，②，③；④的圖象（部分）如圖，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數(shù)序號排序正確的一組是A．③②①④ B．④③②① C．②①③④ D．①②③④【解答】對于函數(shù)，有，所以為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，且時，，所以對應的是第個三函數(shù)圖象；對于函數(shù)，有，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)對應的是第二個函數(shù)圖象；對于函數(shù)，為冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，所以函數(shù)對應的圖象是第一個圖象；對于函數(shù)，當時，，所以函數(shù)對應的是第四個函數(shù)圖象；則按照圖象從左到右的順序對應的應該為③②①④.故選：A．3．冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)值為A．2 B． C．2或 D．1【解答】解：冪函數(shù)，，解得，或；又時為減函數(shù)，當時，，冪函數(shù)為，滿足題意；當時，，冪函數(shù)為，不滿足題意；綜上，，故選：．4．已知，，，則A． B． C． D．【解答】易知，，，而，故，又因為，，故，即，所以，故選：D．5．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為A．1 B． C． D．【解答】解：因為函數(shù)，，，所以，當，時，，，，，所以，所以在，上單調遞減，所以函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為．故選：．6．已知，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【解答】解：由可知，所以，所以錯誤；因為，但無法判定與1的大小，所以錯誤；當時，，故錯誤；因為，所以，故正確．故選：．7．已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，且，都有，則下列結論錯誤的為A．是偶函數(shù) B． C．的圖象關于對稱 D．【解答】解：根據題意，函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的圖象關于點對稱，同時關于直線對稱，則有，，則有，故有，則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，依次分析選項：對于，的圖象關于點對稱，同時關于直線對稱，則，即軸也是函數(shù)的對稱軸，則為偶函數(shù)，正確；對于，是周期為4的周期函數(shù)，則（3）（1），正確；對于，的圖象關于點對稱，為偶函數(shù)，所以的圖象關于點對稱，正確；對于，對任意的，，且，都有，則在區(qū)間上為增函數(shù)，為偶函數(shù)，則，的圖象關于直線對稱，，又由，故，錯誤；故選：．8．若直線與曲線相切，直線與曲線相切．則的值為A． B．1 C． D．【解答】解：的導數(shù)為，的導數(shù)為，設與曲線相切的切點為，直線與曲線相切的切點為，所以，，即，，，即，又，即，可得，考慮為方程的根，為方程的根，分別畫出，和，的圖像，可得和的交點與和的交點關于直線對稱，則，即．故選：．9．下列說法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件 B．“”是“”的必要不充分條件 C．“對任意一個無理數(shù)，也是無理數(shù)”是真命題 D．命題“，”的否定是“，”【解答】解：對于，若，則，若，因為，所以，所以“”是“”的充分不必要條件，故正確；對于，“”是“”的既不充分也不必要條件，故錯誤；對于：取為無理數(shù)，則為有理數(shù)，故錯誤；對于：命題“，”的否定是“，”故正確．故選：．10．幾位同學在研究函數(shù)時，給出了下列四個結論，其中所有正確結論的序號是（）．A．的圖象關于軸對稱；B．在上單調遞減；C．的值域為；D．當時，有最大值；【解答】解：根據題意，依次判斷4個結論：對于A，的定義域為，且，則是偶函數(shù)，其的圖象關于軸對稱，故正確；對于B，當時，，在上單調遞減，故正確；對于C，，，故的值域不是，故錯誤；對于D，當時，，則在，上單調遞增，又是偶函數(shù)，故在上單調遞減，故在上的有最大值，故正確．故答案為：ABD．11．若對任意，恒成立，其中，是整數(shù)，則的可能取值為A． B． C． D．【解答】解：當時，由可得對任意，恒成立，即對任意，恒成立，此時不存在；當時，由對任意，恒成立，可設，，作出，的圖象如下，由題意可知，再由，是整數(shù)可得或或，所以的可能取值為或或．故選：．12．已知關于的方程有兩個不等的實根，，且，則下列說法正確的有A． B． C． D．【解答】解：方程，可化為，因為方程有兩個不等的實根，，所以與有兩個不同的交點，令，則，令，可得，當時，，函數(shù)在單調遞減，當時，，函數(shù)在單調遞增，，當時，，且，當時，，當時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，故，當時，，，根據以上信息，可得函數(shù)的大致圖象如下：，且，故正確．因為，構造，，，在上單調遞增，，，即，由在單調遞增所以，故正確．對于，由，，所以，又，所以，則，所以，故錯誤．對于，由，可得，所以，正確．故選：．13．設集合，，則滿足的實數(shù)的值所成集合為，，．【解答】解：，又當，無解，故，滿足條件若，則，或，即，或故滿足條件的實數(shù)，，故答案為，，14．已知非負數(shù)，滿足，則的最小值是4．【解答】解：由，可得，當且僅當，即，時取等號．故答案為：4．15．若直線是曲線和的公切線，則實數(shù)的值是0．【解答】解：設直線與曲線、分別相切于點、，對函數(shù)求導得，則，曲線在點處的切線方程為，即，對函數(shù)求導得，則，曲線在點處的切線方程為，即，所以，，化簡可得．故答案為：0．16．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，有下列結論：①函數(shù)在上單調遞增；②函數(shù)的圖象與直線有且僅有2個不同的交點；③若關于的方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則這4個實數(shù)根之和為8；④記函數(shù)在，上的最大值為，則數(shù)列的前7項和為．其中所有正確結論的編號是①④．【解答】解：當時，，此時不滿足方程，若，則，即，若，則，即，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：對于①，由圖可知，函數(shù)在上單調遞增，由奇函數(shù)性質可知，函數(shù)在上單調遞增，故①正確；對于②，可知函數(shù)在時的圖象與直線有1個交點，結合函數(shù)的奇偶性可知，的圖象與直線有3個不同的交點，故②錯誤；對于③，設，則關于的方程等價于，解得或，當時，即對應一個交點為，方程恰有4個不同的根，可分為兩種情況：（1），即對應3個交點，且，，此時4個實數(shù)根的和為8，（2），即對應3個交點，且，，此時4個實數(shù)根的和為4，故③錯誤；對于④，函數(shù)在，上的最大值為（2），即，由函數(shù)解析式及性質可知，數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的前7項和為，故④正確．故答案為：①④．四．解答題（共6小題，共70分）17．已知命題：存在實數(shù)，使成立．（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題：任意實數(shù)，，使恒成立，如果命題“或”為假命題，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）：存在實數(shù)，使成立△或，實數(shù)的取值范圍為，，；（2）：任意實數(shù)，，使恒成立，，，，，命題“或”為假命題，假假，，，，，實數(shù)的取值范圍．18．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）根據題意，因為在定義域為上是奇函數(shù)，所以，即；（2）因是奇函數(shù)，從而不等式：等價于，因為減函數(shù)，由上式推得：．即對一切有：，從而判別式，即的取值范圍是．19．已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)在，的值域；（2）令，則，已知函數(shù)在區(qū)間，有零點，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）因為，所以，由二次函數(shù)的性質可知，當，時，函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為（4），函數(shù)的最小值為（1），則函數(shù)的值域為，．（2），令，由于，，則，，則問題等價為在，上有零點，即在，上有解，即在，上有解，即，令，則，，則，則在，上遞增，則當時，，當時，，，即，即實數(shù)的取值范圍是．20．（12分）已知函數(shù)，其中實數(shù)a,b,c滿足2b=a+c．（1）若b=0，且在上單調遞增，求a的取值范圍；（2）若b-a=3，求函數(shù)的極值.【解答】解：（1）因為，所以，可得，故，因為在上單調遞增，所以在上恒成立，可得，故，所以.（2）因為，所以，所以（說明：消元并化簡正確即可給分，也可以寫成，或）則，令，解得，，可得：x0—0單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為21．歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果對于其定義域中任意給定的實數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為倒函數(shù)．（1）已知，判斷和是不是倒函數(shù)，并說明理由；（2）若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是嚴格增函數(shù)．記，證明：是的充要條件．【解答】解：對于函數(shù)，如果對于其定義域中任意給定的實數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為倒函數(shù)，（1）對于，定義域為，顯然定義域中任意實數(shù)有成立，又，是倒函數(shù)，對于，定義域為，故當時，不符合倒函數(shù)的定義，不是倒函數(shù)；（2）若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是嚴格增函數(shù)，記，由題設，，又是上的倒函數(shù)，，故，充分性：當時，且，又在上是嚴格增函數(shù)，，，故成立；必要性：