2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何與空間向量第六節(jié)空間向量的應(yīng)用課件

第六節(jié)空間向量的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)86：利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系教材知識(shí)萃取1.直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量平面的法向量知識(shí)點(diǎn)86：利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示

知識(shí)點(diǎn)86：利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系思維拓展確定平面法向量的方法（1）直接法：觀察是否有垂直于平面的直線，若有，則此直線的方向向量就是平面的法向量.

知識(shí)點(diǎn)86：利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)86：利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系方法技巧1.利用空間向量證明平行問題的方法線線平行證明兩條直線的方向向量共線.線面平行（1）證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；（2）證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；（3）證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.面面平行（1）證明兩個(gè)平面的法向量平行；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行問題.知識(shí)點(diǎn)86：利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系2.利用空間向量證明垂直問題的方法線線垂直證明兩直線的方向向量垂直，即證它們的數(shù)量積為零．線面垂直（1）證明直線的方向向量與平面的法向量共線；（2）證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量都垂直．面面垂直（1）其中一個(gè)平面與另一個(gè)平面的法向量平行；（2）兩個(gè)平面的法向量垂直.注意

用向量法證明平行與垂直問題時(shí)，要注意解題的規(guī)范性.如證明線面平行時(shí)，需要說明一條直線在平面內(nèi)，另一條直線在平面外.教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式

答案1.AD選項(xiàng)正誤原因A√教材素材變式續(xù)表

故選AD.選項(xiàng)正誤原因B×因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)λ,a≠λn,所以l與α不垂直.C×因?yàn)閚1·n2=0+0+6=6≠0,所以n1,n2不垂直,所以α與β不垂直.D√教材素材變式

答案

教材素材變式3.如圖,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.教材素材變式答案

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教材素材變式方法總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)87：利用空間向量求空間距離教材知識(shí)萃取求點(diǎn)P到直線l的距離求點(diǎn)P到平面α的距離求直線l、平面β到平面α的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解.

知識(shí)點(diǎn)87：利用空間向量求空間距離方法技巧求點(diǎn)到平面的距離的常用方法幾何法找到點(diǎn)到平面的距離，通過解三角形求出距離，若點(diǎn)到平面的距離不易求，還可轉(zhuǎn)化為過已知點(diǎn)且與相關(guān)平面平行的直線上的其他點(diǎn)到平面的距離求解.等體積法利用已知的點(diǎn)和平面構(gòu)造四面體，利用四面體能夠以任何一個(gè)面作為底面去求體積的特征，把四面體的體積以不同面為底表示兩次，列出方程，解方程即可求出距離．知識(shí)點(diǎn)87：利用空間向量求空間距離向量法續(xù)表教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式

答案

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教材素材變式答案3.ABD

對(duì)于選項(xiàng)A,如圖1所示,連接AB1,交A1B于點(diǎn)E,連接DE,因?yàn)镈是AC的中點(diǎn),所以DE∥B1C,又DE?平面A1BD,B1C?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)锳B=BC,D是AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BD?平面ABC,所以BD⊥平面AA1C1C,又BD?平面A1BD,所以平面A1BD⊥平面AA1C1C,故B正確;教材素材變式

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知識(shí)點(diǎn)88：利用空間向量求線線角教材知識(shí)萃取

易錯(cuò)提醒

知識(shí)點(diǎn)88：利用空間向量求線線角方法技巧求異面直線所成角的方法幾何法將兩直線平移到同一平面內(nèi)，構(gòu)造三角形，利用勾股定理或解三角形求兩異面直線的夾角或其余弦值.向量法教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式

答案

教材素材變式2.已知a,b為空間中兩條互相垂直的直線,直角三角形ABC的直角邊AC所在的直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn),∠ABC=30°,當(dāng)直線AB與a所成的角為60°時(shí),直線AB與b所成的角為

.

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教材素材變式【多維探究】在本題中,將條件“N為線段CD1上的動(dòng)點(diǎn)”改為“N是側(cè)面CC1D1D內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn),且B1N∥平面A1BD”,則異面直線C1D,MN所成角的正弦值的最小值為

.(將正確答案對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)填在答題線上)

答案【多維探究】

C

過B1作平面α∥平面A1BD,因?yàn)辄c(diǎn)N是側(cè)面CC1D1D內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn),且B1N∥平面A1BD,所以N∈平面α,即N

在平面α與平面CC1D1D的交線上,連接B1D1,B1C,易得B1D1∥BD,B1C∥A1D,則B1D1∥平面A1BD,B1C∥平面A1BD,又B1D1∩B1C=B1,所以平面B1CD1∥平面A1BD,即平面B1CD1為α,則點(diǎn)N在線段CD1上.下面解法同第3題.教材素材變式4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.(1)求異面直線PB與CD所成角的大小;(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.答案

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知識(shí)點(diǎn)89：利用空間向量求線面角教材知識(shí)萃取

知識(shí)點(diǎn)89：利用空間向量求線面角

圖1知識(shí)點(diǎn)89：利用空間向量求線面角方法技巧求直線與平面所成角的方法幾何法利用直線與平面所成角的定義求解，具體步驟：（1）尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；（2）連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角；（3）通過解該角所在的三角形求解．注意

直線與平面平行或垂直的特殊情況.向量法教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式

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教材素材變式3.如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求CF與平面ABD所成的角的正弦值.教材素材變式答案

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教材素材變式求解線面角一般有兩個(gè)思路:一是建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量之間的夾角公式進(jìn)行計(jì)算;二是求出點(diǎn)到平面的距離(等積法或直接作線面垂直求距離),利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.方法總結(jié)教材素材變式

教材素材變式答案

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知識(shí)點(diǎn)90：利用空間向量求二面角教材知識(shí)萃取設(shè)平面α,β的法向量分別是n1,n2,平面α與平面β所成二面角的大小為θ,則知識(shí)點(diǎn)90：利用空間向量求二面角

知識(shí)點(diǎn)90：利用空間向量求二面角方法技巧求二面角常用的方法幾何法根據(jù)定義作出二面角的平面角求解.向量法教材素材變式多維變式，夯基礎(chǔ)教材素材變式

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教材素材變式求二面角的正弦值的易錯(cuò)點(diǎn):一是求平面的法向量出錯(cuò),應(yīng)注意點(diǎn)的坐標(biāo)的求解的準(zhǔn)確性;二是公式用錯(cuò),把線面角的向量公式與二面角的向量公式搞混,導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò);三是空間想象能力不足而失分,當(dāng)求出兩個(gè)法向量的夾角的余弦值時(shí),誤以為是所求二面角的余弦值,因忽視對(duì)二面角是銳角或鈍角的判斷,導(dǎo)致所得結(jié)果出錯(cuò).