2023年高考數學一輪復習題型歸納與變式演練9-3求橢圓雙曲線離心率題型歸類（全國通用）（解析版）

專題9-3橢圓雙曲線離心率題型歸類

目錄

【題型一】.............................................................................2

【題型二】.............................................................................4

【題型三】.............................................................................7

【題型四】............................................................................II

【題型五】............................................................................13

【題型六】............................................................................15

【題型七】............................................................................18

【題型八】............................................................................21

【題型九】............................................................................24

【題型十】............................................................................27

真題再現..............................................................................34

模擬檢測..............................................................................39

綜述

1.離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求的離心率（或離心率的取值范圍），常見

有兩種方法：

①求出a,c,代入公式e=（；

②只需要根據一個條件得到關于。，b,c的齊次式，結合/轉化為公，

的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或層轉化為關于e的方程（不等式），

解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

2.橢圓離心率:

*魯11-俳20,1)

橢圓扁平程度:因為

越扁；e越小，橢圓越圓

3.雙曲線離心率:

eE(l,oo)

【題型一】定義與幾何性質求離心率

【典例分析】

設橢圓捺+￡=1的左右焦點分別為匕，取,焦距為2c,點。在橢圓的內部，點尸是

橢圓上的動點，且|PK|+|PQ|<5閨用恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（）

【答案】A

【分析】利用點。（c￡）在橢圓的內部，以及歸耳|+|尸。<5|耳國列不等式，化簡后求得橢

圓的離心率的取值范圍.

【詳解】因為點。在橢圓的內部，所以1+鳥<1①，而。2="+,2②,，由①②得

V.2）a-4b

因為|P￡|+|PQ|v5山段,而忸國+|尸闖=2a,所以2°-|尸閭+|PQ|<10c,即

\PQ\-\PF2\<iOc-2a,由三角形的性質可得閘-|明<|Q段V，因為P是桶圓C上的動

點，且|產制+儼。<5|耳國恒成立，所以|PQ|-|P用<|Q用=]<10c-2a,所以a<4c,即

e=￡>!，所以橢圓離心率的取值范圍是.

a4142J

故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.橢圓第一定義:\PFt\+\PF2\=2a

雙曲線第一定義：||P耳|-|PKII=2a

2.一般情況下，見到與一個焦點有關的長度，則利用第一定義轉化為與另一個焦點的距離。

|P6l=2a±|P8|（橢圓是減，雙曲線是結合左右兩支判斷加減）

【變式演練】

1.

若橢圓E的頂點和焦點中，存在不共線的三點恰為菱形的中心和頂點，則E的離心率等于

()

A.1B.@二1C.:或巫D.也或避二1

222222

【答案】D

【解析】由菱形對角線互相垂直可轉化為，在橢圓的頂點和焦點中找到不共線的三點能構成

一個直角三角形，結合橢圓的對稱性，只須考慮三種情況，作出圖形，從而求得橢圓的離心

率.

【詳解】依題意，由菱形對角線互相垂直可轉化為，在橢圓的頂點和焦點中找到不共線的三

點能構成一個直角三角形，結合橢圓的對稱性，只須考慮三種情況：

(1)如圖1,若以頂點。焦點8為菱形頂點，C為中心，則OCJ.BC,由勾股定理得，

22222222

(a+b)+a=(a+c),由力=a-c+ac-a=0，

兩邊同除以小,得e2+e-l=0,又因為0<e<l,可得e=苴二L

2

(2)如圖2,若以焦點A,8為菱形頂點，C為中心，則ACJ_5C,故NOC3=45，易得

Cy/2

e=—=—；

a2

(3)如圖3,若以焦點8為菱形的中心，C,E為頂點，則易得e=￡=也,故

a2

2.已知雙曲線C:=-《=im>0,b>0)的左焦點為F,虛軸的上端點為B,P為雙曲線右支上

a~Zr

的一個動點，若△P8F周長的最小值等于實軸長的4倍，則該雙曲線的離心率為()

A.岳B.y/2C.—D.—

25

【答案】A

【分析】由=2a確定"所周長的最小值，然后根據題意列出等式,

即可求出本題答案.

【詳解】設雙曲線的右焦點為E,由題可得，BF=BE=4^因為PB+PENBE,當

且僅當反P,E在同一直線上取等號，則有

22

C居BF=BF+PB+PF^BF+PB+PE+2a>BF+BE+2a=2-Jb+c+2a，所以APBF周長

的最小值為2\份2+(?+2，由題意得，2db2+/+2〃=2ax4,解得e=0.

TT

3.過雙曲線的一個焦點工作垂直于實軸的直線，交雙曲線于P,Qj是另一焦點，若NP6Q=g,

則雙曲線的離心率e等于（）

A.V2-1B.&C.72+1D.應+2

【答案】B

【分析】根據對稱性知AMK是以點鳥為直角頂點，且/2片巴=2,可得儼娟=2|尸閭，

利用雙曲線的定義得出|颶|=2凡再利用銳角三角函數的定義可求出雙曲線的離心率e的

值.

TT

【詳解】由雙曲線的對稱性可知，APK乃是以點尸2為直角頂點，且N尸耳凡=w，則

6

回|=2|明，

由雙曲線的定義可得歸用-1尸閭=|「周=2"，

在也中，tan/P耳月=色-=半=￡,.?.e=￡=6,故選B.

F{F22C3a

【題型二】利用點差法求離心率

【典例分析】

已知橢圓「+營=1（。>6>0）,P（0,2）,0（0-2）,過點P的直線人與橢圓交于A,B,過

點。的直線乙與橢圓交于C,D,且滿足〃/，設AB和C。的中點分別為M,N,若四邊

形PMQV為矩形，且面積為46，則該橢圓的離心率為（）.

A.-B.-C.—D.無

3333

【答案】D

【分析】畫出圖像，由面積和勾股定理列式可得|PM卜2,|MQ|=26，在&PMQ中，有長

度關系可得N3PO=NPO"=60。，從而得A.和心再利用點差法得原屋后”=-￡?,從

（T

而可求得離心率.

【詳解】如圖，不妨設/,，4兩條直線的斜率大于零時，連結QM,

\PM\-\MQ\^4>/3

由題意知,對+|晡=16,解得|PM|=2,阿|=2凡

\PM\=2,\MQ\=,在,.PMQ中，因為|OM|=|「根=|PO|=2,所以ZBPO=ZPOM=60°,

2

y1

--

[482

故此時如=tan30°=3,jtow=tanl50°=--.設A（%,y）,8（七,%），則，*

2=1-

1y2

33巷-

b2

兩式相減得（西一超iM+（5-及.）0+M=0,即4.江匹=_與，即

a~b-x—/Xj+x2a

，“OM——W—2，

3a

因此離心率e2=g=l_q=2,所以e』，故選D.

a2a233

【變式演練】

1.已知直線y=-x+l與橢圓二+3=1（。>。>0）相交于43兩點，且線段A3的中點

a-b-

在直線x—2y=（）上，則此橢圓的離心率為

62121

【答案】半試題分析：直線丁=一％+1與X—2y=0的交點為M（WQ）,點M（wq）即

x2y2

為A8中點，設y=-x+l與三+與=1的交點分別為4（冷%）,8（9,為），所以

a'b~

42

%+々=§，％+%=§。將點4（王，必）,3（%,當）代入橢圓方程，兩式相減整理可得

（%二為）。+，2）=_與,即%2.=—寫，由直線方程y=—x+l可知

（%—%2），（芭+%）。-%一/a

kAB==~\,所以1=竺，即〃=_LQ2。因為。2=02+。2,所以/=2/,即

X,-x2a2

a=y/2c,,\e=-=-o

a2

2.已知雙曲線￡：二-4=1（“>0,6>0）斜率為-g的直線與舊的左右兩支分別交于八，8兩

ab8

點，p點的坐標為（-1,2）,直線AP交E于另一點C,直線8P交￡于另一點。，如圖1.若

直線CQ的斜率為則E的離心率為（）

O

【分析】設線段AB的中點M*M，坨），代入雙曲線的方程中可得

?“：，兩式相減得手孑=[,可得W=-竺為①，設ca，%），。^，%），線

五_生=]"LX?8礦

勖2

段C。的中點陽/，打），同理得W=-終-4②，由3〃=七力，得P,M,N三點共線，從

a

而求得4c2=5/,由此可求得雙曲線的離心率.

【詳解】設4司,兇）,5（巧,為），，線段48的中點用（"，加），

22

三

M

2-=1

。F22

bx}+x2_bxM一（,所以為=_*?/①

22，兩式相減得及

五%

--

//=1

QU2

設。（為?。?，"％，以），線段。。的中點NUN,%）,同理得明=-冬/②

CT

因為原8=48，所以A8〃8,則P,M,N三點共線,

昉2

8/、2

所以，將①②代入得：*/一2「新以-2,即（幾7）（1一駕）=0,

%十1十1.1

十1赤+1°

此,故選：D.

2

22

3.己知K,B分別為雙曲線'-方=1（">0,方>0）的左、右焦點，以KK為直徑的圓與雙曲

線在第一象限和第三象限的交點分別為M,N,設四邊形FNEM的周長為。，面積為S,

且滿足32s=",則該雙曲線的離心率為.

【答案】達

2

【分析】本題首先可根據題意繪出圖像并設出“點坐標為"a,%）,然后通過圓與雙曲線

的對稱性得出5叼澗=S巧修，再根據“點即在圓上，也在雙曲線上“聯(lián)立方程組得

出％=幺，然后根據圖像以及32S=p2可得s=2/和p=8b,接下來利用雙曲線定義得出

c

MF、=2b+a以及M5=2b-a,最后根據加開+加8=耳/?并通過化簡求值即可得出結果.

如圖所示，根據題意繪出雙曲線與圓的圖像，設M（x，y）,

由圓與雙曲線的對稱性可知，點M與點N關于原點對稱，所以S巧研=5嗎廣州

因為圓是以《行為直徑，所以圓的半徑為J

[V-

因為點“（再,兇）在圓上，也在雙曲線上，所以有“2b2,

X：+y2=c2

222

聯(lián)立化簡可得從（。2-為2）-ay^ab,整理得從/-“皆+aiy2,

4222

b=cy],x=（,所以S=2S邙￡M=2c?y2b,

因為32S=/,所以p2=64〃，p=助,

因為p=M耳+5+跖；+嵋=2（加耳+訝），所以"1+河涇=48,

[MF.+MF,=4b

因為加百-Mg=2%聯(lián)立“二?？傻肕K=2b+*MF2=2b-a,

[MF[-MF2=2a

因為百鳥為圓的直徑，所以用62+“乙2=耳入2,

^（2b+dy+{2h-dy=4c2,8/?2+2a2-4c2,4t＞2+a2=2c2?

4c2-4/+/=2c2,2c2=3a2,^=-,所以離心率e='=逅.

a22a2

【題型三】焦點三角形與離心率

【典例分析】

22

已知橢圓C:?■+方=1（。＞人＞0）的左，右焦點分別為F2,以坐標原點。為圓心，線段

尸建2為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點A.若|A制42|A行|,則橢圓C的離心率的取

值范圍為_____.

【答案】

【分析】根據題意可得A用=90,且c>b,再根據焦點三角形中的關系表達出離心率,

結合函數的單調性求解即可

【詳解】由題意，因為線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點4

故半徑。白>匕,即c>b,且/耳4尼=9().

又離心率￡=至=/用=刖|，|叫2=J(|A4I+M用)2—2|4用.|4周

a~2a~\AFt\+\AF2\~|前|+何周一\^\+\AF2\

7(IM+I得)2\!嗎+照+2，

Vl^l1^1____

因為|A周42|你］,結合題意有1〈隅42,設耦=r，則?=，一］包，易得對勾函

數y=f+l+2在(1,2］上單調遞增，故y=J―一廠；在。,2］上單調遞增，故

t\—,

【提分秘籍】

基本規(guī)律

焦點三角形

(1)焦點三角形面積：

橢圓：=b，an芻空q=__________

雙曲線：Etan幺愿

2

2.頂角

橢圓頂角在短軸頂點處最大。

3.與正余弦定理結合

22

設橢圓f+2=1(a>0,b>0)

r的兩個焦點為R、&,P(異于長軸端點)為橢圓上任意

一點，在ZXPFR中，記/FiPF?=a,/P66二夕,Z.F[F2P=y,則有

sinac

-----------=—=e.

sin/+sin/3a

Y)2

設雙曲線彳=1（a>0,b>0）的兩個焦點為宿、&,P（異于長軸端點）為雙曲線

上任意一點，在△PFFz中，記ZF}PF2=a,ZPF1F2=0,/F、F2P=y,則有

sinac

------------=—=e

|sin/-sin/3a

【變式演練】

22

1.已知橢圓C:￡+春■=l（a>b>0）的左右焦點分別為耳,尸2，直線y=公紙>0）與C相交于M,

N兩點（其中"在第一象限），若M,耳，N,尼四點共圓，且直線NF,傾斜角不小于

O

則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）

A.[等B.（等，百7C.[73-1,1）D.（0,^-1]

【答案】B

【分析】設橢圓的半焦距為。，由桶圓的中心對稱性和圓的性質得以片E為直徑的圓與桶圓

c有公共點，則有以。>6,再根據直線傾斜角不小于看得山右憂M|,由橢圓的

定義得a—J2c2—/白（6—1抽,由此可求得橢圓離心率的范圍.

【詳解】解：設橢圓的半焦距為c,由橢圓的中心對稱性和M,K，N,B四點共圓得，四

邊形入必為一個矩形，

即以百鳥為直徑的圓與橢圓C有公共點，所以c〉6,所以2c2>6/，所以且<e<i,

2

因為直線NK傾斜角不小于所以直線傾斜角不小于?，所以解之坐，化簡得，

66|耳必3

\FtM\<^\F2M\,

因為歸M+優(yōu)M=2a,所以為-阮所以，后又

（2a-優(yōu)必丫+優(yōu)時「=402,

因為2c,>a2，所以怛閭=a—^2c—a1，所以a-《2c2-a1>（>/3—1）<7，所以0<eV>/3—1>

所以正<e4石-1.故選：B.

2

2.已知尸z分別是雙曲線鳥一耳=1（。>0,。>0）的左、右焦點，雙曲線上有一點〃，

ab

滿足|M耳且/百加尼=60。，則該雙曲線離心率的取值范圍是一

【答案】吟心.

【分析】根據題意，通過雙曲線的定義和余弦定理求出44c的關系，進而根據離心率的定

義求得答案.

【詳解】如示意圖，

設，=|M鳥|,|“耳|=力，由雙曲線的定義可得：t-At=2a^t=^~而N耳M"=60。，由

1一/I

余弦定理：cos60°=''24'='0(萬一2+1),2=402,于是

2412

2

.22力―4+1(1

=4c=>e=r=------r

a2(人1)2321'

分-2+1(4-1)+A1

而“，）==1+

記/(2)=(5一(4-丁由對勾函

數的性質可知，函數丫=2+工-2在上單調遞減，則函數,（'）="71。在

X|_32JA+--Z.|_32

71

上單調遞增，所以“⑷向“=/（；）=：，/（42=/（｛|=3,即02=，,3]=八]曰,6

故答案為：二~市.

22

3.已知8是雙曲線C：點-方=l（a>0,8>0）的左，右焦點，過點耳傾斜角為30。的直

線與雙曲線的左，右兩支分別交于點A,B.若|42|=忸瑪|,則雙曲線C的離心率為（）

A.&B.73C.2D.>/5

【答案】A

【分析】設|明|=f,據雙曲線的定義可用f表示作鳥”_LAB=H,構造直角

三角形可計算得，，并用勾股定理列出J'（gc『_c2=（2a）2,進而可求e.

【詳解】設|傷|=，則網=f+%=|明

從而怛制=r+4a,進而網=4a.

過尸2作鳥=則|A〃|=2a.如圖：

在RtAFIK”中,|^W|=2csin300=c,=2ccos^=y/3c=\AF2\}

在R34居，中，（力c『-c2=（2a）2,即2c2=4/,所以e=JL故選：A

【題型四】第三定義與離心率

【典例分析】

22

已知雙曲線左=1（“>02>0）的兩個頂點分別為A,B,點P為雙曲線上除A,B外任

意一點，且點P與點A,B連線的斜率為吊，k2,若尢"=8,則雙曲線的離心率為（）

A.y/2B.73C.2D.3

【答案】D

【分析】設P（x。,%），A（-a,0）,B（?,O）,根據直線的斜率,以及析『=8,可得與=8,

再根據e=￡=JnE，即可求出.

a\a

222

【詳解】解：設P（X。,%）,（不/士a）,A（-a,0）,B（a,0）,??.冬一當=1,.X-a'My：,

ab

-^2=------^―=—7=-5-=8,e=￡=J1+與=J1+8=3.故選：D.

2

x0+aXg-ax0--a-aa\a

【提分秘籍】

基本規(guī)律

第三定義：

2

r2v2b

l.A,B是橢圓C:下+下=15>0,b>0）上兩點，M為A,B中點，則KAB?KOM=---

a~（可用點差法

快速證明）

結論拓展

22

己知直線/：尸區(qū)+加仁0,加。0）與橢圓!?+方=1相交于人，8兩點，股為A3的中

點，。為坐標原點，則自“/=-1.

a

2.A,B是雙曲線C：V—樂=1（a>0,/?>0）上兩點，M為A,B中點，則

a（可用點差

法快速證明）

結論拓展

22

已知直線/：丫=丘+帆（％片0,加片0）與雙曲線「-5=1相交于人，8兩點，M為AB的中

a~b

點，o為坐標原點，則&。材?％=，■?

【變式演練】

22

1.已知平行四邊形ABC。的四個頂點均在雙曲線。：「-2=13＞0,。＞0）上，。為坐標

ab“

原點,瓦廠為線段A氏4。的中點且。區(qū)。尸的斜率之積為3,則雙曲線C的離心率為

【答案】2詳解：由雙曲線的對稱性知0是平行四邊形ABCD對角線的交點，???OE〃AD,

OF//AB,

,,^OE^OF=kAB^ADF設VQ），則。（—x（）,一%），設A（x,y）,則

22

2

y~y（）y+%_V—尤_/?2（，一1）一/?（與一i）,2

kk

^AB^AD---------------------------=-2--------2=礦CT_0=3

-

工一/x+xoX-Xo2_22

:?/=二="=4,e=2,故答案為2.

aa

2.若A,B分別是橢圓》/+其=1,（加＞1）短軸上的兩個頂點，點P是橢圓上異于4,B

m

4

的任意一點，若直線4。與BP的斜率之積為-一，則橢圓的離心率為.

m

【答案】旦

2

4

【分析】點尸G。，泗），利用直線AP與直線的斜率之積為結合點尸在橢圓

m

云:/+片=1上，求出W,利用離心率公式即得解.

m

【詳解】設直線AP、8P的方程為y=Z所（x-1）,y=%,（x+l）,點P（w,加），心尸=七7

X0—1

則kAP'kBP=+>]=--D>

x0~-1m

又點尸在橢圓Ed+f=1上，/2_i=_應②，

mm

由①②得，山2=4,,/???>1,An?=2.即離心率e=￡=J==

aV2

故答案為：也.

3..已知A,B是不過原點。的直線/與橢圓C：撩+￡=1（。＞6＞0）的兩個交點，E為A,B

中點，設直線AB、0E的斜率分別為且右外若原屋心￡=-；，則該橢圓的離心率為

【答案】縣

2

【分析】設4%,8)，8(%,%),利用點差法可得原屋氏》=-與，根據條件及a/,c的關系

a

可求離心率.

【詳解】設A。,％),8心,%),E(x?,y0),因為直線A8斜率存在，故玉wx?,

兩式相減可得3產+T口2=。,

由已知可得

+=1

?>2

1〃一b

又占+“2%,乂+%=2%,所以。+及*=0,所以5+勤%=。，又

kAB'k()K=-]，

所以與=」，故之C=即《=」，所以桶圓的離心率e=立，故答案為：旦.

a22a22a2222

【題型五】第二定義與離心率

【典例分析】

己知橢圓C：0+1=13>b>o)的左，右焦點耳名，過原點的直線/與橢圓C相交于M,

ab"

N兩點.其中M在第一象限.|MN|=|K用，陶2等，則橢圓C的離心率的取值范圍為()

A.(O,^-1]B.(0,>/6-2]

C.(0,^-1]D.吟#-11

【答案】D

【分析】由題設易知四邊形MKN居為矩形，可得|〃6|2一2alM6|+2〃=0,結合已知條件

有卜>1華IN/-Da即可求橢圓c的離心率的取值范圍

A=a2-2b2>0

【詳解】由橢圓的對稱性知：INERMKI,而|MEI+|M￡|=2a,

又附N|=|耳耳，即四邊形為矩形，

所以|MgF+|MEF=4C2,則21M5『Tai"鳥|+4/=4C2且M在第一象限，整理得

2222

|MF,|-2a\MF2\+2b=0,A=a-2h>0

所以1=4-5為"又擺=垮胃=甘隼南之￥即"TM居住(6—1)。，

2

眼4|Mf]|2a-\MF2\3~

綜上整理得二心之4一26所以立皿心|.

a2>2a2-2c22a22

故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

a

橢圓雙曲線第二定義：動點（.y）到定點（G①的距離與它到直線”一"的距離的比為常數

C

。（即離心率）.

【變式演練】

1.已知A,尸分別是橢圓*■+￡=1（。＞%＞0）的左頂點和右焦點，P是橢圓上一點，直線叱

與直線/:x=且相交于點Q.且△AFQ是頂角為120。的等腰三角形，則該橢圓的離心率為（）

C

【答案】C

【分析】根據△AFQ是頂角為120。的等腰三角形，建立等式3/+e-2=O,解方程可得結

果.

【詳解】如圖，設直線/與％軸的交點為//,由是頂角為120。的等腰三角形，知

|F（2|=|E4|=a+c,NQFH=60。.

于是,在一△，"中'即=/°.而

2

結合<?=6+c?得3c2+ac—2a2=0，即3/+e一2=0,解得e=§.故選：C.

22人＞0）左支上一點，工為其左右焦點，若黑的

2.已知尸為雙曲線二-5=1（。＞0,

a-b~

最小值為11”，則雙曲線的離心率為（）

.9-屈D9+屈「9土屈n9

2222

【答案】B

【分析】設|/'制="則產勾=（2a+"）=j^_+〃+4a,記/（〃）=^l￡L+"+4a,

?求導分析單

|「塌nnn

調性，從而求得最小值，因為最小為11。故可求得。，c關系，即可求得離心率.

【詳解】設忸閭=，*，|尸制=〃，則由雙曲線的定義得：m-n=2a,

.??吟3工〃+4”，/r,

陷|nn

4/Jr、4〃24/7~

記/(〃)=----+,He[c—6f,+oo),r(〃)=]-,令----=0?得〃=2a.

(1)當為時，ne[c-a,2a)f7(〃)=1一"-<0，y=/(〃)單調遞減；

n

ne(2a,+oo),/(?)=1-^->0,y=/(〃)單調遞增，

71~

???/("L1="2a)=8a，不合題意，舍去；

4/72

(2)當c,一。>2。時，/⑺=1----不>0恒成立，

n

4〃2

，y5)min"(l)=C+3a+

c+3a+4"=1la,；?c2-9ac+l2a2=0?解得c=(9+^^]a或.二,.

9+733%離心率.故選:

。不滿足c一。>2。，應舍去.二.ce=9+廊

22

B.

3.若點P為雙曲線C:J-3=1(。/>0)上任意一點，則P滿足性質：點P到右焦點的距離

與它到直線x=上的距離之比為離心率e,若C的右支上存在點。，使得。到左焦點的距離

C

2

等于它到直線x=土的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是.

C

【答案】(l,2]u[3,6)

/a+c>6

【分析】若Q到8=幺的距離為d有&Z-ed>0,由題設有?2-,結合雙曲線離心率

ca---

c

的性質，即可求離心率的范圍.

a+c>,2

【詳解】由題意，一戶一，即竺三=生三26,整理有e2_5e+6N0,

a---ac-a~e-\

所以心3或eK2,

若。到苫=且的距離為d,則。到左、右焦點的距離分別為&/、〃，又。在C的右支上,

C

所以6d-ed>0,則ev6,又e>l,

綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是(l,2]u[3,6).故答案為：(l,2]u[3,6)

【題型六】焦點弦余弦定理與離心率

【典例分析】

已知橢圓6的左焦點1和右焦點尸2,上頂點為A，AK的中垂線交橢圓于點8,若左焦

點K在線段A3上，則橢圓離心率為一.

【答案】曰【詳解】如圖，設忸閭=/,由橢圓的定義可得忸6|=2a—f.

???Ag的中垂線交橢圓于點5,=??.|州|=|蜴一忸耳|=2，-2.又

|A娟=J/??+c?=a?

2t-2a=a,解得/=￡,；.|A段=|A用=4忸周=玄忸周=￡，忻周=2c.

在AA6居中，cosZAFtF2=~,：.cosZBFlF2=-cosZAf；^=--.

aa

《+4C2_M

在AB6居中，由余弦定理得COSNB6F,=H----------------=-

2.a-2cacaca

2

，二正在立

.?.片=3。2,a3,即橢圓的離心率為3.故答案為：3.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

焦點弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖:

可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率

【變式演練】

1.已知橢圓二+4=1(。＞/?0)的右焦點為F,橢圓上的4,8兩點關于原點對稱，|硼=2下8|,

arb

4

且必?FBW］足，則該橢圓離心率的取值范圍是()

A.(0,甯］B.(0,夸］C.I*,1)D.［辛，1)

【答案】B

【分析】如圖設橢圓的左焦點為E,根據題意和橢圓的定義可知怛尸|=