2023年教師資格《初中數(shù)學(xué)學(xué)科知識與能力》模擬真題二

2023年教師資格《初中數(shù)學(xué)學(xué)科知識與能力》模擬真題二

..1cosx~_()

1［單選題］r2sinr*

A.T

B.0

C.1

D.8

正確答案：A,

參考解析：利用換元法及等量代換得她

..1-cos/1?21

lim：----=Iim------=-

o/sin/f-*ot?/2c

2［單選題］已知田中的一組基為a1=(1,1,0)T,a2=(1,0,1)T,a3=(0,1,

1)T,則向量a=(2,0,0尸在基al,a2,下的坐標(biāo)是()。

A.(-1,1,1)T

B.(1,-1,1)T

C.(1.1.-1)T

D.(1,1,1)T

正確答案：C

參考解析：

，%+y=2,

設(shè)向量a在基ot\,a2,a?F的坐標(biāo)為(x,y,z)，,即a=xa^ya1^zay，則有＜x+z=0,解得

,y+z=0,

?x=1,

，y=】，故本題選C0

.Z=-1c

3［單選題］

圍棋盒子中有許多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率是:，都是白子的概率喘

則，中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()

A.T

12

B.35

17

C.35

D.1

正確答案：C

參考解析：設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白子”

為事件B,“任意取出2

粒恰好為同一色”為事件C,則C=.4且凄件A

與8互斥.由題意知。(4)葉,。(8)互(C)

17

=P(.4)+P(=—~o

■12-1

2-1―1

.31-2

4［單選題］已知方程組L%」有無窮多解,則有()。

A.入=0

B.X=1

C.x=-i

D."1

正確答案：B

參考解析：因為非齊次線性方程組有無窮解的條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩

陣的秩小于未知

數(shù)的個數(shù)場以根據(jù)題意對增廣矩陣做初等行變換為

A-l=0,即A=1時滿足題意。故本題選B。

5［單選題］以下科學(xué)家與之相研究的領(lǐng)域不匹配的是()

A.笛卡爾一解析幾何

B.帕斯卡一概率論

C.康托爾一集合論

D.祖唯之一復(fù)數(shù)論

正確答案：D

參考解析：由數(shù)學(xué)史可知，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何；帕斯卡創(chuàng)立了概率論；康

托爾創(chuàng)立了集合論；祖睢之研究了圓周率而不是復(fù)數(shù)論。故選D。

6［單選題］

若P("詼)=1迅松訓(xùn))=1-%其中即〈詼,則P(陽40)等于()

A.(1-a)(1-B)

B.1-(a+B)

C.1-a(l-B)

D.1-3(1-a)

正確答案：B

參考解析：由分布列的性質(zhì)得。(/小￡W.q)=

叼)+。(經(jīng)祈)-I=(1-6)+(1-a)-

1=1-(a+6)o

7［單選題］在世界數(shù)學(xué)史上，()第一次將圓周率(R)值計算到小數(shù)點后6位，

即3.1415926到3.1415927。

A.劉徽

B.趙爽

C.祖沖之

D.秦九韶

正確答案：c

參考解析：在世界數(shù)學(xué)史上，祖沖之第一次將圓周率的值計算到小數(shù)點后六位。

22355

他提出約率7等和密率113,這-密率值是世界上最早提出的，比歐洲早iioo

年，所有人主張叫他“祖率”。

8［單選題］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中所提到的“推理能力”，

其中“推理”一般包括()。

A.邏輯推理和類比推理

B.邏輯推理和演繹推理

C.合情推理和演繹推理

D.類比推理和合情推理

正確答案：c

參考解析：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思

維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。

9［簡答題］

『y(1+ye")dxdy

計算''其中平面區(qū)域D由直線y=X,y=T及x=l所圍成。

參考解析：

2n

積分區(qū)域〃如圖所示,，y(I+ye*)dxdy=Jydxdy+Jyedxdyo

DDD

根據(jù)圖像分別計算二重積分如下：

Jydxdy=jdyfydx=fy(1-y)dy=(—y2-—y-)2

3

因為Jdy=Jyde*=ye'

|ye,2dy=-y-Je,2dy:=0.所以J",2e"drdy=2o

綜上可得

10［簡答題］

,1ar01-

A=-I川當(dāng)a,b為何值時，存在矩陣c使得AC-CA=B,并求所

設(shè)110

有矩陣c。

參考解析:

斯町-z2+ax3一5％+曲

由題意可知矩陣C為2x2階矩陣，故可設(shè)C=，則由AC-CA=B,即

々-ox.

F+aij=o,

011一”|+4+%=i,

，可得線性方程組,①

1b.X|-X)-X4=lt

x2-ax5=60

求所有矩陣C,即求出方程組①的通解.對方程組①的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換:

?0-1a0O-■10-1-1r■10-1-1I?0-1-11?

-a10a1-a10ai()1-a0l+a01-fl0l+a

T—?一

10-1-110-1a000-1a000000l+a

.01-a0b..01-a0b..01-a0b..00006-1-a.

由于方程組①有解，故有1+。=0,卜1-。=0,即。=-1爐0,

「0a001■i0r

0a00o工產(chǎn)啕,

從而有］，故有,其中為任意實數(shù)，從而

0100000

.00b..00000.

巾|+年1

有。=

k1

11［簡答題］

已知關(guān)于X的一元二次函數(shù)f(x)=ax2?-4bx+lo

(1)設(shè)集合P={1,2,3},Q={—1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一

個數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù)的概率；(3分)

(2)

.X+y-8W0,

設(shè)點(*6)是區(qū)域卜>0,

I>0

內(nèi)的隨機(jī)點，記人={丫=乳分有兩個零點，其中一個大于1,另一個小于1},求事

件A發(fā)生的概率。(4分)

參考解析：已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2—4bx+lo

(1)設(shè)集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個

數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù)的概率；

(2)

.x+y-8S0,

設(shè)點(a,6)是區(qū)域L>0,內(nèi)的隨機(jī)

I>0

點，記A=｛丫=乳制有兩個零點，其中一個大于1,另一個小于1｝,求事件A發(fā)生

的概率。

(1),函數(shù)f(x)=ax2—4bx+l的圖象的

對稱軸為*=—,要使/(*)=a？-4H+1在區(qū)

a

間［1.+8)上為增函數(shù)，則需a>0,且勁W1,

a

即a>0,且26Wa.若a=】，貝lj6=-1;若a=2,則

b=-1或1;若。=3,則6=-1或1,記8=｛函

數(shù),=/(4)在區(qū)間［】，+8)上是增函數(shù)一則第

件8包含的基本事件的個數(shù)是1+2+2=5,P

(幻=/=9

⑵依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為

fl=<(at6)a>0,卜其面積S“：

,I6>0，)

--x8x8=32。

2

事件4構(gòu)成的區(qū)域4:

1o+b~8WO,,

1a>0,

<《a,b)|，=

6>0,

、i/(1)<0-

r|a+b-8wO,'

a>0,

<《a.6)>>

[6>0.

lIa-46+1<0^

由a+b-8=0a-4b+l=0,得交點坐標(biāo)為（2，g）,作圖可知趨于區(qū)域A的頂點分別

為（？，1），（0，：），（。，8）,

/.SA=2x（8-三二%,

2,4，540

事件A發(fā)生的概率P（Q=白=鬻

3。IJrVV

12［簡答題］

已知函數(shù)z=z（x,y）由方程z=xy+ez-3確定。

（1）

求偏導(dǎo)數(shù)關(guān)■及Z的全微分；

⑵求曲面z=z(x,y)在點(2,1,0)處的切平面方程。(4分)

參考解析：已知函數(shù)z=z(x,y)由方程z=xy+ez—3確定。

(1)

求偏導(dǎo)數(shù)靠■及z的全微分；

⑵求曲盤z=z(x,y)在點(2,1,0)處的切平面方程。

(1)設(shè)F(x,y,z)=ez-z+xy-3.

戶=e*-1,

dx__'ay_/,,一］_/，

(lz=-'-dx+---dy0

111?0

1t-pI-p

(2)

由(1)可知.『,(2.1,0)=1,尸,(2,1.0)=

2,尸“2.1,0)=00

所以曲面在點(2,1.0)處的切平面的法向肽為

(1,2,0),

故所求切平面的方程為(4-2)+2()-1)=0,即

x+2y-4=0

13［簡答題］

如何理解數(shù)據(jù)分析觀念，請舉例說明怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念？

參考解析：數(shù)據(jù)分析觀念包括：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查

研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中的蘊(yùn)涵信息；了解對于同樣的

數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分

析體驗隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只

要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心?！?/p>

第一，設(shè)計問題情境，使學(xué)生體會到生活和工作需要收集數(shù)據(jù)，需要分析數(shù)據(jù)，

需要從數(shù)據(jù)中獲取新信息，對問題做出決策。如：統(tǒng)計同學(xué)們的身高、體重、生

日、愛吃的水果，統(tǒng)計商店里每個月空調(diào)的銷售情況、一定時間內(nèi)通過十字路口

的車輛情況、本地區(qū)的用電量、六一開展什么活動等例子，都是和我們生活息息

相關(guān)的重要的相關(guān)數(shù)據(jù)。這些內(nèi)容都可以從不同的方面吸引學(xué)生主動開展統(tǒng)計活

動，通過對數(shù)據(jù)的收集整理分析，了解到周圍的人和事物的相關(guān)信息，體驗到統(tǒng)

計的價值所在，從小培養(yǎng)統(tǒng)計觀念。

第二，創(chuàng)設(shè)活動情境，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)，形成數(shù)據(jù)意識。教師應(yīng)該根據(jù)不同年級

的學(xué)生設(shè)置學(xué)生喜歡的數(shù)據(jù)，從中體會數(shù)據(jù)蘊(yùn)涵的信息，感受數(shù)據(jù)的作用，形成

遇到問題能想到收集數(shù)據(jù)、獲取信息的意識。比如：統(tǒng)計“我們最愛吃的水果”，

可創(chuàng)設(shè)情境：元旦聯(lián)歡會上，要為同學(xué)們準(zhǔn)備一些水果，每種水果準(zhǔn)備多少比較

合適呢?要是知道同學(xué)們喜歡吃什么就好了？以此激發(fā)學(xué)生想到可以通過數(shù)據(jù)統(tǒng)

計知道同學(xué)們喜歡吃水果的情況，讓學(xué)生帶著愉快的心情自主投入學(xué)習(xí)。這實際

上就是培養(yǎng)學(xué)生的一種數(shù)據(jù)意識，是小學(xué)階段統(tǒng)計學(xué)的最核心的問題。

第三，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。觀念的建立

是人們不斷地通過親身經(jīng)歷而獲得。要使學(xué)生逐步建立統(tǒng)計觀念，最有效的方法

是讓他們真正投入到統(tǒng)計活動的全過程中去：調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、

分析數(shù)據(jù)、獲取信息、做出決策、進(jìn)行交流、評價與改進(jìn)。這種活動將有利于發(fā)

展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神。

第四，數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)需要貫穿整個教學(xué)的始終。在小學(xué)階段，每個年級的

教材中都編排了整章節(jié)的統(tǒng)計與概率的內(nèi)容，這是培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念的良好載體。

可其他章節(jié)中的內(nèi)容如“圓周率的求證、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的認(rèn)識”等等，都可以通過

數(shù)據(jù)分析來獲得。教學(xué)中老師要善于把握教學(xué)內(nèi)容，不斷應(yīng)用強(qiáng)化數(shù)據(jù)分析的方

法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。

第五，開展實際活動，積累數(shù)據(jù)分析應(yīng)用的例子，增強(qiáng)統(tǒng)計觀念和統(tǒng)計能力。在

教學(xué)中，教師要通過實際活動，讓學(xué)生通過觀察和獨立思考，對提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行

符合其認(rèn)識水平的分析和解釋，做出一些簡單的判斷和推理，從而鍛煉其提出問

題和解決問題的能力，培養(yǎng)其獨立思考能力、實踐能力和創(chuàng)新精神，進(jìn)一步體會

統(tǒng)計的價值，增強(qiáng)統(tǒng)計觀念。

總之，在現(xiàn)實教學(xué)中，還可以讓學(xué)生收集報紙、雜志、電視中公布的數(shù)據(jù)，分析

它們是否抽樣得當(dāng)，有沒有提供數(shù)據(jù)來源，來源是否可靠等，這樣能提高學(xué)生分

析問題、解決問題的能力，促使學(xué)生更好地認(rèn)識世界。同時學(xué)生不僅學(xué)到了統(tǒng)計

知識，還把統(tǒng)計的意義落到了實處，增強(qiáng)了統(tǒng)計觀念，達(dá)到學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的

培養(yǎng)目的。數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)對學(xué)生的發(fā)展具有重要意義。理解了數(shù)據(jù)分析觀

念的含義，這不但可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識，而且能夠通過調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)、

分析數(shù)據(jù)、獲取信息、做出決策，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)據(jù)的作用，從而形成用數(shù)據(jù)統(tǒng)

計分析思考解決有關(guān)問題的意識和策略，還可以讓學(xué)生從個別現(xiàn)象去了解整體規(guī)

律，學(xué)會歸納推理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神，增強(qiáng)學(xué)生的成就感。

14［簡答題］、

,x=r+1,

已知曲線乙的方程為，，

.y=4/-t2

(1)討論曲線L的凹凸性；(3分)

⑵過點(T,0)引L的切線，求切點(x0,y0),并寫出切線的方程；(4分)

⑶求⑵中切線與L（對應(yīng)于xWxO的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積。（3

分）

,x-r+1,

已知曲線〃的方程為，

參考解析：*二4一廣

（1）討論曲線L的凹凸性；（3分）

⑵過點（T,0）引L的切線，求切點（x。，y。），并寫出切線的方程；

⑶⑴求⑵中切線與L（對應(yīng)于xWx。的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積。

蟲4-2/2,

蟲

燈

案子一小強(qiáng)乂年）,士二-3

”

當(dāng)”0時.白＜0.故曲線L是凸的。

nr*

（2）

當(dāng)1=0時,x'（0）=0,y1（0）=4,x（0）=1.

y（0）=0,半=為，

則/=0時4在對應(yīng)點處切線方程為工=I,不符

合題意.故設(shè)切點（而，為）對應(yīng)的參數(shù)為%＞0,則

L在（飛,九）處的切線方程為y-（4,0-4）=

（--1）＜.r-rj-】），令*=y=0,

得4+/0-2=0,解得%=1或%=-2（舍去），

由卜=】知,切點為（2,3）,且切線方程為y=x+la

（3）

令>=4,-J=0,得A=0出=4,對應(yīng)曲線L

與X軸的2個交點為（1,0）和（17,0）,由以上討論知曲線L和所求切線的圖象大致入圖所

示，故所求平面圖形的面積為S=￡6c+dx-f^ydx=^-八1Ct-FldCt2+

15［簡答題］

不等式|x-11<3有幾種解題方法?什么是解題方法多樣化?解題方法的多樣化有什

么用？

參考解析：（1）不等式|xTl<3有兩種解法，一種是不等式兩邊平方后，解一元

二次不等式；另-種是根據(jù)絕對值的幾何意義解不等式。

（2）解題方法多樣化是指在問題的解決過程中鼓勵學(xué)生獨立思考，鼓勵學(xué)生用自

己的方法解決問題，這樣在學(xué)生群體中就出現(xiàn)了多樣化的解題方法。因此，解題

方法多樣化的實質(zhì)就是指學(xué)生獨立思考，從而達(dá)到學(xué)生群體解題方法的多樣化，

并非學(xué)生個體解題方法多樣化。

⑶解題方法多樣化要求學(xué)生通過自身的獨立思考獲得問題解決的方法與策略，

既可以發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，而在其后各自方法的交流中，學(xué)生通過對各自

方法的比較、匯報，又可以促進(jìn)學(xué)生之間的合作與交流。因而解題方法多樣化有

利于學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，打破解題方

法單一的思維定勢；有利于培養(yǎng)學(xué)生多角度分析問題、解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)

生形成遇到問題從不同角度思考的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)；有利于學(xué)生開闊思路，發(fā)現(xiàn)數(shù)

學(xué)不同知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和探究欲望。通

過經(jīng)歷一道題目用兩種或多種方法解答的思維過程，學(xué)生不再是只關(guān)注“把題目

做出來”的結(jié)果，而是學(xué)著關(guān)注“有幾種方法可以解這道題”的過程。

16［簡答題］

案例：在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”，探究二次函數(shù)y=ax2有哪些性質(zhì)時，

兩位教師進(jìn)行了如下設(shè)計：

設(shè)計1：

活動⑴請畫出二次函數(shù)y=x，y=2x2,y=3x?的圖象和二次函數(shù)y=-x\y=-2x2,

y=-3x2

的圖象。

活動⑵從圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最值、增減性五個方面來研究

它們的性質(zhì)有什么共同特點。

學(xué)生分組交流、展示。

設(shè)計2：

教師運用課件投影展示二次函數(shù)y=x?,y=2x2,y=3x?和y=-x\y=-2x2,y=-3x?的

圖象，給學(xué)生講解圖象的開口方向、對稱軸、頂點、最值、增減性的特征。

問題：

（1）分析設(shè)計1的教學(xué)設(shè)計意圖；（5分）

（2）結(jié)合本案例分析自主探究與合作交流的意義，簡述教學(xué)過程中如何引導(dǎo)學(xué)生

進(jìn)行自主探究和合作交流；（7分）

（3）對比分析這兩個教學(xué)設(shè)計的理念。（8分）

參考解析：（1）通過讓學(xué)生自己畫圖，經(jīng)歷二次函數(shù)圖象的形成過程，感知圖

象的形狀，為探究其圖象的開口方向、對稱軸、頂點、最值、增減性打下基礎(chǔ)，

使抽象的知識變得直觀，既降低了學(xué)習(xí)的難度，又鍛煉了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力：通過

合作交流的學(xué)習(xí)方式讓學(xué)生進(jìn)行思維的碰撞，在交流過程中體會合作的樂趣，培

養(yǎng)學(xué)生的合作意識，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）的理念。

（2）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）指出，認(rèn)真聽講、積極思考、動手實

踐、自主探索、合作交流都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。教學(xué)活動是師生積極參與、

交往互動、共同發(fā)展的過程，有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是

學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生

動活潑的、主動的和富有個性的過程。

自主探究就是引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)以促使學(xué)生進(jìn)行主動的知識建構(gòu)的一種學(xué)習(xí)方

式。自主學(xué)習(xí)不是讓學(xué)生漫無目的的學(xué)習(xí)，而是在問題的引領(lǐng)下，讓每個學(xué)生都

積極主動地去探索，去學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)能力可以說是學(xué)生學(xué)會求知、學(xué)會學(xué)習(xí)的

核心，它是一種在教師的科學(xué)指導(dǎo)下學(xué)生制訂有效的學(xué)習(xí)計劃和學(xué)習(xí)策略，調(diào)節(jié)

和控制各種行為的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動。

合作交流是基于自主學(xué)習(xí)的一種學(xué)習(xí)方式，通過小組合作把問題的答案進(jìn)行總結(jié)

提升，把不會的問題弄明白，小組合作交流學(xué)習(xí)更能突出學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)

學(xué)生主動參與的意識，激發(fā)學(xué)生的求知欲；小組合作學(xué)習(xí)能為學(xué)生提供一個較為

輕松、自主的學(xué)習(xí)環(huán)境，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力；小組合作學(xué)習(xí)的方式強(qiáng)化

了學(xué)生的責(zé)任感。合作交流就是讓學(xué)生由被動變?yōu)橹鲃樱l(fā)揮學(xué)生的主體作用，

組內(nèi)成員相互合作，小組之間合作、競爭，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，挖掘個體學(xué)習(xí)潛能，

增大信息量，可以使學(xué)生在互補(bǔ)促進(jìn)中共同提高。

在