2022-2023學(xué)年遼寧省阜新市第十七高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年遼寧省阜新市第十七高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)，為單位向量，滿足，非零向量，則的最大值為（

）A. B.

C.

D.參考答案：D2.若雙曲線的離心率為2，則等于（

）A．1

B．

C．

D．2參考答案：3.方程的解所在的區(qū)間為 A.（-1，0）

B.（0，1）

C.（1，2）

D.（2，3）參考答案：B略4.已知{an}是等差數(shù)列，a10=10，其前10項(xiàng)和S10=70，則其公差d=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，解方程即可．【解答】解：設(shè){an}的公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意得，解得，故選D．5.的定義域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] B．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] C．（﹣3，0] D．（﹣3，1]參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0聯(lián)立不等式組得答案．【解答】解：由，解得：﹣3＜x≤0，∴的定義域?yàn)椋ī?，0]．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了指數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．6.函數(shù)y=10x2-1(0＜x≤1＝的反函數(shù)是(A)

(B)(x＞)(C)(＜x≤

(D)(＜x≤參考答案：D

【解析】本小題主要考查反函數(shù)的求法。由得：，即。又因?yàn)闀r，，從而有，即原函數(shù)值域?yàn)椤Ｋ栽瘮?shù)的反函數(shù)為，故選D。7.已知向量若點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，則實(shí)數(shù)的值為（

）

A

B

C

D

參考答案：D8.執(zhí)行右圖所示的程序框圖后，輸出的結(jié)果為（

）A

B

C

D參考答案：C略9.設(shè)0＜b＜1+a，若關(guān)于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整數(shù)解恰有3個，則（）A．﹣1＜a＜0B．0＜a＜1C．1＜a＜3D．3＜a＜6參考答案：C考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．

專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：將不等式變形為[（a+1）x﹣b]?[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整數(shù)恰有3個，再由0＜b＜1+a可得，a＞1，不等式的解集為

＜x＜＜1，考查解集端點(diǎn)的范圍，解出a的取值范圍．解答：解：關(guān)于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]?[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整數(shù)恰有3個，∴a＞1，∴不等式的解集為

＜x＜＜1，所以解集里的整數(shù)是﹣2，﹣1，0三個．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，綜上，1＜a＜3，故選：C．點(diǎn)評：本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號，解區(qū)間的端點(diǎn)就是對應(yīng)一元二次方程的根．10.下列命題：（1）若“，則”的逆命題；（2）“全等三角形面積相等”的否命題；（3）“若，則的解集為R”的逆否命題；（4）“若為有理數(shù)，則為無理數(shù)”。

其中正確的命題是

（

）A.（3）（4）

B.（1）（3）

C.（1）（2）

D.（2）（4）參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列是等差數(shù)列，若a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q=

.參考答案：112.設(shè)是定義在上，且以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則在區(qū)間上的值域?yàn)開_______.參考答案：略13.的展開式中，的系數(shù)是__________．（用數(shù)字填寫答案）參考答案：通項(xiàng)公式，令，解得，∴系數(shù)為．14.從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量分別為（單位：克）、、、、，則該樣本方差

參考答案：15.已知為虛數(shù)單位），則＝

．參考答案：16.設(shè)函數(shù)，若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：17.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在三角形中有下面的性質(zhì)：(1)三角形的兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的中位線等于第三邊的一半；(3)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個點(diǎn)是三角形的內(nèi)心；(4)三角形的面積為S＝(a＋b＋c)r(r為三角形內(nèi)切圓半徑，a、b、c為三邊長)．請類比出四面體的有關(guān)相似性質(zhì)．參考答案：略19.（12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊為a、b、c，且滿足cos2A﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：正弦定理的應(yīng)用；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】：解三角形．【分析】：（1）由條件利用三角恒等變換化簡可得2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，從而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因?yàn)閏os2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因?yàn)閎≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．【點(diǎn)評】：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角恒等變換，屬于中檔題．20.如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=2，AA1=h，E為BB1的中點(diǎn)．（1）若h=2，請畫出該正三棱柱的正（主）視圖與左（側(cè)）視圖．（2）求證：平面A1EC⊥平面AA1C1C；（3）當(dāng)平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為45°時，求該正三棱柱外接球的體積．參考答案：【分析】（1）計(jì)算底面三角形的高，得出左視圖的邊長，再畫出三視圖即可；（2）連接AC1交A1C于F，取A1C1的中點(diǎn)M，連接EF，F(xiàn)M，MB1，通過證明MB1⊥平面AA1C1C，MB1∥EF得出EF⊥平面AA1C1C，從而有平面A1EC⊥平面AA1C1C；（3）建立坐標(biāo)系，利用向量法求出h，得出外接球的球心坐標(biāo)，再計(jì)算球的半徑得出球的體積．【解答】解：（1）∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴△ABC的高為，又h=2，∴正視圖為邊長為2的正方形，左視圖為邊長為2和的矩形，作出正（主）視圖與左（側(cè)）視圖如下：（2）連接AC1交A1C于F，取A1C1的中點(diǎn)M，連接EF，F(xiàn)M，MB1，∵四邊形ACC1A1是矩形，∴F是AC1的中點(diǎn)，又M是A1C1的中點(diǎn)，∴FMAA1，∵E是BB1的中點(diǎn)，AA1BB1，∴FMEB1，∴四邊形EFMB1是平行四邊形，∴EF∥MB1，∵△A1B1C1是正三角形，∴MB1⊥A1C1，∵AA1⊥平面A1B1C1，MB1?平面A1B1C1，∴AA1⊥MB1，又AA1∩A1C1=A1，∴MB1⊥平面ACC1A1，又MB1∥EF，∴EF⊥平面ACC1A1，又EF?平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面AA1C1C．（3）以M為原點(diǎn)，以MC1，MB1，MF所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系M﹣xyz，如圖所示：則A1（﹣1，0，0），E（0，，），C（1，0，h），∴=（1，，），=（2，0，h），設(shè)平面A1EC的法向量為=（x，y，z），則，令z=1得=（﹣，0，1），又AA1⊥平面A1B1C1，∴=（0，0，1）是平面A1B1C1的一個法向量，∵平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為45°，∴|cos＜＞|===，∴h=2，∴設(shè)△A1B1C1的中心為N，則N（0，，0），∴正三棱柱外接球的球心為P（0，，1），∴外接球的半徑r=PA1==，∴外接球的體積V==．21.已知圓軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長軸，離心率為

的橢圓，其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過原點(diǎn)作直線PF的垂線交直線于點(diǎn)Q.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ圓O相切；

（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請證明；若不是，請說明理由（一、二、五中必做，其它學(xué)校選做）。.

參考答案：解析:（1）因?yàn)?/p>

（2分）則b=1，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（3分）（2）因?yàn)镻（1，1），所以所以，所以直線OQ的方程為y=—2x.（4分）又Q在直線上，所以點(diǎn)Q（—2，4）

（5分）

即QP⊥OQ，故直線PQ與圓O相切，

（6分）（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時，直線PQ與圓P保持相切的位置關(guān)系.

（7分）設(shè)，則所以直線OQ的方程為

所以點(diǎn)Q

（10分）所以所以，即OP⊥PQ（P不與A、B重合），故直線PQ始終與圓O相切.（13分）22.已知函數(shù)．（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在x∈[0，2]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，求m的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)x1、x2（x1≠x2）是函數(shù)f（x）的兩個零點(diǎn)，求證：x1+x2＜0．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為存在x∈[0，2]，使得（ex﹣﹣2x）min＜m2﹣2m﹣3成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍；（3）作差得到函數(shù)h（x）=ex﹣e﹣x﹣2x（x≥0），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而判斷結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣1，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；（Ⅱ）若存在x∈[0，2]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，即存在x∈[0，2]，使得（ex﹣﹣2x）min＜m2﹣2m﹣3成立，令h（x）=ex﹣﹣2x，x∈[0，2]，則h′（x）=ex+﹣2≥2﹣2=0，故h（x）在[0，2]遞增，h（x）min=h（0）=0，故只需m2﹣2m﹣3＞0，解得：m＞3或m＜﹣1；（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）可知，x=0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即最小值為f（0）=2m+