2023年中考九年級數(shù)學高頻考點訓練二次函數(shù)動幾綜合題

2023年中考九年級數(shù)學高頻考點專題訓練一二次函數(shù)動幾綜合題

1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B

的拋物線的一部分5與經過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉

曲線成為“蛋線已知點C的坐標為(0,-|)，點M是拋物線C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最

大值；若不存在，請說明理由；

(3)當^BDM為直角三角形時，求m的值.

2.如圖，拋物線y=ax2-5ax-4交x軸于A,B兩點(點A位于點B的左側)，交y軸于點C,過點C

作CD〃AB,交拋物線于點D,連接AC、AD,AD交y軸于點E,且AC=CD,過點A作射線AF交

(1)此拋物線的對稱軸是；

(2)求該拋物線的解析式；

(3)若點P是拋物線位于第四象限圖象上一動點，求△APF面積SAAPF的最大值，以及此時點P

的坐標；

(4)點M是線段AB上一點(不與點A,B重合)，點N是線段AD上一點(不與點A,D重合),

則兩線段長度之和：MN+MD的最小值是

3.已知拋物線y=/+必+c與x軸相交于點力(一1,0),5(3,0),與y軸相交于點C.

(圖1)(圖2)脩用圖)

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖1,將直線BC間上平移，得到過原點O的直線MN.點D是直線MN上任意一點.

①當點D在拋物線的對稱軸1上時，連接CD,關x軸相交于點E,水線段OE的長；

②如圖2,在拋物線的對稱軸1上是否存在點F,使得以B,C,D,F為頂點的四邊形是平行四邊

形？若存在，求出點F與點D的坐標；若不存在，請說明理由.

4.已知：如圖，直線y=3x+3與x軸交于C點，與y軸交于A點，B點在x軸上，△OAB是等腰直角

三角形.

(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

(2)若P點是拋物線上的動點，且在第一象限，那么4PAB是否有最大面積？若有，求出此時P

點的坐標和△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.

5.已知一個二次函數(shù)的圖象經過A(1,0)、B(3,())、C(0,-3)三點，頂點為D.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)求經過A、D兩點的直線的表達式；

(3)設P為直線AD上一點，且以A、P、C、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標.

6.已知拋物線y=ax2+2x+c過A(-1,0),C(0,3),交x軸于另一點B.點P是拋物線上一動點

(不與點C重合)，直線CP交拋物線對稱軸于點N.

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接AN,當NANC=45。時，求P點的橫坐標;

(3)如圖2,過點N作NMLy軸于點M,連接AM,當AM+MN+CN的值最小時，，直接寫出N

點的坐標.

7.如圖1,拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,直線BC的解析式為y=x

-4；線段OC的垂直平分線交拋物線于點M、N,點M、N橫坐標分別為xi、X2且滿足XI+X2=3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設點Q是直線MN上一動點，當點Q在什么位置上時，△QOB的周長最?。壳蟪龃藭r點Q

的坐標及^QOB周長的最小值；

(3)如圖2,P線段CB上的一點，過點P作直線PF_Lx軸于F,交拋物線于G,且PF=PG；點H

是直線BC上一個動點，點Q是坐標平面內一點，以點H,Q,P,F為頂點的四邊形是菱形，求所有

滿足條件的Q點坐標(寫出其中一個點的坐標的詳細求解過程，其余的點的坐標直接寫出即可).

8.如圖，已知一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與x軸交于點A,與二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖

象交于y軸上的一點B,二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且0C=

2.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)點M為一次函數(shù)下方拋物線上的點，4ABM的面積最大時，求點M的坐標；

(3)設一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與二次函數(shù)的圖象的另一交點為D,已知P為％軸上的

一個動點，且APBD為直角三角形，求點P的坐標.

9.在平面直角坐標系xOy中，點4、B的橫坐標分別為a、a+2,二次函數(shù)y=-x2+(m-

2)x+2m的圖像經過點AxB,且m滿足2a-m=d(d為常數(shù)).

(1)若一次函數(shù)=/cc+b的圖像經過4、B兩點.

①當a=l、d=—l時，求k的值；

②若為隨x的增大而減小，求d的取值范圍.

(2)當d=-4且a大一2、a4-4時，判斷直線4B與久軸的位置關系，并說明理由；

(3)點力、B的位置隨著a的變化而變化，設點A、8運動的路線與y軸分別相交于點C、

。，線段CD的長度會發(fā)生變化嗎？如果不變，求出CD的長；如果變化，請說明理由.

10.已知，如圖，在四邊形OABC中，AB〃OC,BCLx軸于點C,A(1,-1),B(3,-1),動點

P從點O出發(fā)，沿著x軸正方向以每秒2個單位長度的速度移動，過點P作PQ垂直于直線OA,垂足

為點Q，設點P移動的時間t秒(0<t<2),AOPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S.

(1)求經過O、A、B三點的拋物線的解析式，并確定頂點M的坐標；

(2)用含t的代數(shù)式表示點P、點Q的坐標；

(3)求出S與t的函數(shù)關系式.

11.在平面直角坐標系中，拋物線y=—；/++2n(加為常數(shù)).

(1)當點(m,-J)在該拋物線上時，求機的值.

(2)將拋物線在x<2m的部分圖象沿y軸翻折得到新圖象記為G,當一24》《一1時，圖象G

的函數(shù)值y先隨x的增大而增大，后隨x的增大而減小，求機的取值范圍.

(3)當該拋物線在x42m的部分圖象的最高點到y(tǒng)=-1的距離為1時，求〃?的值.

(4)當m>0時，過點A(l,-1)作垂直于x軸的直線交該拋物線于點8,在A8延長上取一點

C,使BC=^AB，將線段A8繞點4順時針旋轉90°得到線段AE,以AC、AE為鄰邊作矩形4CDE,

當該拋物線的頂點在矩形的邊上時，直接寫出該拋物線在該矩形內部(包含邊界)圖象所對應的函數(shù)

的最大值與最小值的差.

12.如圖，拋物線y=/x2-2x-6與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點P是線段OB上的一個

動點（不與0、B重合），過點P作直線PD，x軸交拋物線于點D,交直線BC于點E.

（1）求A、B兩點的坐標，及直線BC的表達式；

（2）若DE=2PE時，求線段DE的長；

（3）在（2）的條件下，若點Q是直線PD上的一個動點，點M是拋物線上的一個動點，是否存在

以B、C、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明

理由.

13.如圖（1）,已知拋物線y=ax2+bx-3的對稱軸為x=l,與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點

C,一次函數(shù)y=x+l經過A,且與y軸交于點D.

（1）求該拋物線的解析式.

（2）如圖（2）,點P為拋物線B、C兩點間部分上的任意一點（不含B,C兩點），設點P的橫坐

標為t,設四邊形DCPB的面積為S,求出S與t的函數(shù)關系式，并確定t為何值時，S取最大值？最

大值是多少？

(3)如圖(3),將△ODB沿直線y=x+l平移得到△OTTB，，設OB，與拋物線交于點E,連接ED,

若ED，恰好將△OTXB，的面積分為1：2兩部分，請直接寫出此時平移的距離.

14.如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于/、B兩點(A在B的左邊)，與y軸交于C,tan^CAB=3；

雙曲線y=1(kh0)經過拋物線y=a/+bx+3的頂點。，點。的橫坐標為1.

(1)求拋物線和雙曲線的解析式.

(2)點P為拋物線上一動點，且在第一象限，連接BP、CP,求當四邊形4BPC取得最大值時，點P

的坐標，并求出這個最大值.

(3)若在此拋物線和雙曲線上存在點Q,使得QB=QC,請求出點Q的坐標.

15.已知：拋物線y=2ax2-ax-3(a+l)與x軸交于點AB(點A在點B的左側).

(1)不論a取何值，拋物線總經過第三象限內的一個定點C,請直接寫出點C的坐標；

(2)如圖，當ACLBC時，求a的值和AB的長；

(3)在(2)的條件下，若點P為拋物線在第四象限內的一個動點，點P的橫坐標為h,過點P作

PH_Lx軸于點H,交BC于點D,作PE〃AC交BC于點E,設4ADE的面積為S,請求出S與h的函

數(shù)關系式，并求出S取得最大值時點P的坐標.

16.如圖，平面直角坐標系中，點O為原點，拋物線)/=一,尤2+加；+<:交*軸于/1(-2,0)、B(5,0)兩

點，交y軸于點C.

(2)點P在第一象限內的拋物線上，過點P作x軸的垂線，垂足為點H,連AP交y軸于點E,設

P點橫坐標為t,線段EC長為d,求d與t的函數(shù)解析式；

(3)在(2)條件下，點M在CE上，點Q在第三象限內拋物線上，連接PC、PQ、PM,PQ與y軸

交于W,若CM+BH=M。，Z.CPM=Z.BAP,CM=EW,求點Q的坐標.

答案

1.(1)解：y—mx2-2mx—3m—m(x—3)(%+1),

:m邦,

當y-0時,%1=—1,亞=3,

/.A(-l,0),B(3,0)

(2)解：設Ci：y=ax2+bx+c,將A.B.C三點的坐標代入得:

1

a—b+c=0a=2

9Q+3b+c=0解得b=-l

c=T，3

=一2’

故Q：y=2%2~x

如圖：過點P作PQ〃y軸，交BC于Q,

由B.C的坐標可得直線BC的解析式為：y=1x-|,

設P(x>^x2—x—則Q(x,

131?3123

PQ=2x_2-(2x—%一引=-2x+2

111333227

S&PBC=S&PCQ+S&PBQ=^PQ,0B=2X(-2%2+]%)X3=-[(x-2)+正,

當x=|時，SAPBC有最大值，Smax=,

13233_15

2、(2)一2-2=一方'

315

P(2,一豆)；

(3)解：y=mx2-2mx—3m=m(x—l)2一4m,

頂點M坐標(1,-4m),

當x=0時，y=-3m,

AD(O,-3m),B(3,0),

??,DM2=(0—l)2+(-3m4-4m)2=m2+1,

MB2=(3—l)2+(0+4m)2=16m2+4,

BD2=(3-0)24-(0+3m產=9m2+9,

當^BDM為RtA時有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2.

DM2+BD2=MB2時有：m24-1+9m2+9=16m2+4,

解得m=-l(Vm<0,/.m=l舍去)；

DM2+MB2=BD2.時有：m24-14-16m24-4=9m24-9,

解得m=-導(根=孝舍去).

綜上，m=T或_孝時，ABDM為直角三角形.

2.(1)x=|

(2)解：當x=0時,y=ax2-5ax-4=-4,則C(0,-4)；

???CD〃x軸,

???點C與點D關于直線x=|對稱，

AD(5,-4),CD=5,

VAC=CD,

AAC=5,

在RtAAOC中，OA=病_在=3,

JA(-3,0),

把A(-3,0)代入y=ax2-5ax-4得9a+15a-4=0,解得a=*,

???拋物線解析式為丫=力-5x-4；

(3)解：作PQ〃y軸交AF于Q,如圖1,

解得xi=-3,X2=8,則P(8,0),

設直線AD的解析式為y=kx+b,

1

-

2

把A(-3,0),D(5,-4)代入得憶3"b=y解得3

-

2

二直線AD的解析式為y=-1x-|,

當x=0時，y=-1x-|=-|,則E(0,-|),

YAB平分NEAF,AO±EF,

；.OF=OE=|,

AF(0,|),

易得直線AF的解析式為y=jx+|,

設P(x,Ix2-1x-4)(0VxV8),則Q(x,jx+|),

PQ=1x+11x2-|x-4)=-1x2+1x+,

22

SAAPF=SAPAQ-SAPFQ=*3*PQ=-ix+2x+苧--i(x-4)+49

當x=4時，SAAPF的最大值為竽，此時P點坐標為(4,-竽)；

⑷1^5.

3.(1)解：將點2(-1,0).B(3,0)代入y=/+bx+M等：

1—b+c=0,

9+3b+c=0,

解得#=-2，

(c=一3.

拋物線的表達式為y=X2-2X-3.

(2)解：①由(1)可知：C(0,-3).

設直線BC：y=kx+b(k豐Q),將點8(3,0),C(0,一3)代入得：

(3k+b=0,

Ib=-3.

解得k=L

[b=-3.

直線BC：y=x-3,則直線MN：y=x.

:拋物線的對稱軸：x=-A=__Z2=

2a2x1

把％=1代入y=x,得y=1,

AD(1,1).

設直線CD：y=k1x+b1(k1*0),將點C(0,-3)，D(l,1)代入得:

伙1+瓦=1,

Ibi=-3.

解得也=4，

Si=-3.

二直線CD：y=4x-3.

當y=0時，得％=,，

?”《，0)，

：.OE=

②存在點F,使得以B,C,D,F為項點的四邊形是平行四邊形.

理由如下：

(D若平行四邊形以BC為邊時，由BCIIFC可知，F(xiàn)D在直線MN上,

.?.點F是直線MN與對稱軸1的交點，即F(l,1).

由點D在直線MN上，設0(3t).

如圖2-1,若四邊形BCFD是平行四邊形，則DF=BC.

過點D作y軸的垂線交對稱軸1于點G,則G(l,t)-

?:BC||MN,

：.AOBC=乙DOB,

?:GD||%軸，

"GDF=乙DOB,

."OBC=Z-GDF.

又,：(BOC=Z.DGF=90°,

???△DGF=△BOC,

：.GD=OB,GF=OC,

VGD=t-1,OB=3,

二?t-1=3,解得t=4.

AD(4,4),

如圖2-2,若四邊形BCDF是平行四邊形，貝ijDF=CB.

同理可證：ADKFaCOB,

：.KD=OC,

U：KD=1-3OC=3,

Al-t=3,解得t=—2.

AD(-2,-2)

(II)若平行四邊形以BC為對角線時，由于點D在BC的上方，則點F一定在BC的下方.

?,?如圖2?3,存在一種平行四邊形，即目BFCD.

(圖2-3)

設D(3￡),F(l,m),同理可證：&DHCZXBPF,

：.DH=BP,HC=PF

,:DH=t,BP=3-1=2,HC=t-(-3)=t+3,PF=O-m=-m

：.[t=2f

(t+3=—m

解得2，

(m=-5.

???D(2,2),F(l,-5).

綜上所述，存在點F,使得以B,C,D,F為頂點的四邊形是平行四邊形.

當點F的坐標為(1,1)時，點D的坐標：(4,4)或(—2,-2);

當點F的坐標為(1,一5)時，點D的坐標：(2,2).

4.(1)解：令y=0得：3x+3=O,x=-l,

故點C的坐標為(-1,0)；

令x=0得：y=3x+3=3x0+3=3

故點A的坐標為（0,3）；

VAOAB是等腰直角三角形.

OB=OA=3,

...點B的坐標為（3,0）,

設過A、B、C三點的拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,

c=3

9Q+3b+3=0

a—b+3=0

解得：

（a=-1

\b=2

（c=3

，解析式為：y=-x2+2x+3

SAABP=S梯形PNOA+S^PNB-SAAOB

=1(OA+PN)ON+1PNBN-|OAxOB

111

=2(3+y).%+]y.(3_%)一]X3x3

_3,39

一2x+2y~2

VP(x,y)在拋物線上，.?.y=-x2+2x+3,代入上式得：

222

SAABP-+—(—x+2x+3)—￡=—&(x-3x)——(x—1-)+--

.?.當X=|時，SAABP取得最大值.

當X=|時，y=-x2+2x+3=竽,

p/315

12'彳).

所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P,使得4ABP的面積最大；

P點的坐標為(|，竽)

5.(1)解：???二次函數(shù)的圖象經過A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)三點,

???設拋物線的解析式為y=哦％-1)。一3),將C(0,-3)代入得，-3=3a

解得a=-1

二拋物線的解析式為y=-(%-l)(x-3)=-x24-4x-3

，二次函數(shù)解析式為y=一/+4%-3

(2)解：Vy=-x2+4%—3=—(x—2)2+1

D(2,1)

設經過A、D兩點的直線的表達式為丁=/?+上將A(1,0),0(2,1)代入得，

解得H

經過A、D兩點的直線的表達式為y=x—1；

(3)解：如圖，A,C,B,P為頂點的四邊形是平行四邊形

???AB=2

①當AC為對角線時，

PC=AB=2,PC||AB

?：C(0,-3)

P(—2,—3)

②當AB為對角線時,

???CO=3,AO=1

?：CA=BP1,CA||BP1,8(3,0)

???Pi(4,3)

綜上所述，點P的坐標為(-2,-3)或(4,3).

6.(1)解：?.?拋物線丫=2*2+2*+(;過A(-1,0),C(0,3),

?fa—2+c=0

Yc=3，

.ra=-1

"Ic=3，

???拋物線解析式為y=-x2+2%+3

(2)解：???拋物線解析式為y=—/+2%+3,

...拋物線對稱軸為直線X=一?=1；

2a

如圖所示，過點A作AM_LAN交直線CP于M,過點M作MQ，x軸于Q,設拋物線對稱軸與x軸

AZAMQ+ZMAQ=90°,

XVZMAQ+ZNAD=90°,

AZAMQ=ZNAD,

VZMAN=90°,ZMNA=45°,

.\ZAMN=ZANM=45O,

AAM=NA,

；.△AMQ^ANAD(AAS),

AMQ=AD,AQ=ND,

設直線CP的解析式為y=kx+3,點N的坐標為(1,k+3),

?.?當k+3>0時，A(-1,0),D(1,0),

；.MQ=AD=2,AQ=ND=k+3,

.?.OQ=k+4,

.,.點M的坐標為(-k-4,2),

，k(—k-4)+3=2,即/+找―1=0，

解得k=胡-2或k=-西-2(舍去)，

直線PC的解析式為y=(V5-2)x+3.

聯(lián)立,="一2)%+3

得/+(q-4)%=0,

解得x=4—遮或X=0(舍去)，

.?.點P的橫坐標為4-通；

同理當k+3W0時，可以求得點P的橫坐標為4+V5，

綜上所述，點P的橫坐標為4+遍或4-遙；

(3)解：(1,1)

7.(1)解：由直線BC：y=x-4,可得與x軸交點為B(4,0),與y軸交點為C(0,-4),

???MN是線段OC的垂直平分線，

J.MN//X軸，

.?.M、N關于拋物線對稱軸對稱，

.?.拋物線對稱軸為直線%=鋁攵=|，

.?.拋物線與x軸的另一個交點為A(-l,0),

設拋物線解析式為y=a(x+l)(x—4),將C(0,-4)代入，

得：-4a=-4,

解得：a=l,

Ay=(x4-l)(x-4)=%2—3%—4,

故該拋物線解析式為y=/-3%-4.

(2)解：如圖，連接CQ,

VMN是線段OC的垂直平分線，

ACQ=OQ,

???當點C、Q、B在同一直線上時，OQ+BQ=CQ+BQ=BC最短,

當％—4=—2口寸，解得：x=-2,

AQ(-2,-2),

VOB=OC=4,

:?BC=y/OB2+OC2=4A/2，

???△QOB周長最小值=OQ+BQ+OB=BC+OB=4/+4;

(3)解:設P(m,m-4),且0VmV4,

則F(m,0),G(m,m2-3m—4),

VPF=PG,

/.—(m—4)=(m—4)—(m2—3m—4),

解得：7ni=Lm2=4(舍)，

AF(1,0),P(l,-3),

AFP=3.

①如圖，PF為菱形的邊且點H在點P左側,

?；FP=FQ=3,QH//FPfQF//HP.

:?(QNF=90。，乙NFQ=/.ABC=45。，

，NQ=NF=￥/Q=孚，

,CATA/E1nc3&(3\/2-2

??ON=NF-OF=u--1=——，

???Q點在第三象限，

Q2(2±|^,挈)，Q3(4,-3),Q4(-j,-|).

8.(1)解：vy=0.5%+2交x軸于點A,

:.0=0.5x+2,

：?%=-4,

???做一4，0),

???直線y=0.5x+2與y軸交于點B,

：?B點坐標為(0,2),

???二次函數(shù)y=aX2+bx+c的圖像與x軸只有唯一的交點。，且。。=2,

???可設二次函數(shù)y=a(x-2)2,

把B(0,2)代入得，a=0.5,

???二次函數(shù)的表達式：y=0.5%2-2x+2；

(2)解：作MHLAD于H,MGUy軸交AD于點G,

則NMGH=NOBA,ZMHG=ZAOB=90°,

J.AAOB-AMHG,

.MH_MG

''OA=AB'

設M(t,0.5t2-2t+2),則G(t,0.5t+2),

??MG~(0.5t+2)-(0.5/—2t+2)=-2t2+=t>

又：AB=742+22=2V5>OA=4,

41?15

1=品2遙、史(一斤+|。=-12+51

■:S^ABM=248,MH

當t=1時，S』4BM最大，此時，y=2x竽一2x5+2=*，

???嗚5，g1)；

(3)解：(I)當點B為直角頂點時，過B作BP】J.4D交x軸于Pi點，則RtAAOB?RtABOP],

圖1

AO_BO

42

"2=，得0P1=1，

P1(1,0);

將y=0.5x+2與y=0.5/—2x+2聯(lián)立,

可得。點坐標為(5,4.5)，

-'-AD=J(5++(4.5-0)2=簽，

乙

vZ.DAP2=Z-BAO,BOA=z.ADP2，

/.AABO?AAP2D,

AB_AO刖2〃_4

西=而，即巫一苧，

解得：AP2=11.25,貝ijOP2=11.25-4=7.25,

故P2點坐標為(7.25,0):

(III)當P為直角頂點時，過點。作DE_L久軸于點E，如圖3,

設P3(a,0)，

則由RtAOBP3-RtAEP3D,得需=器，

a_2

"4^=5=^'

方程無解，

二點「3不存在，

.?.點P的坐標為Pi(l,0)和P2(7.25,0).

9.(1)解：①=d=—1,2a—m=d,-,?m=2a-d=3，，二次函數(shù)的表達式為y——x2+

x+6.???/!、B兩點的橫坐標分別為a,a+2,當a=l時，4、8兩點的橫坐標分別為1,3，

代入二次函數(shù)的表達式，得4、B兩點的縱坐標分別為6,0,即A(1,6AB〈3,0).

將點A、B的坐標分別代入y.=kx+b，得：｛2。匕=?，解得：｛[=/，:收的值為一3.

(2)V2a—m=d,.,.m=2a-d,二次函數(shù)的表達式為y=——+(2a—d—2)x+2(2a—

d).VX、B兩點在二次函數(shù)的圖象上，.?.點A的坐標為(a,a2-ad+2a-2d)，點B的

坐標為6a+2,a2+2a-4d-8-ad).?在治=kx+b中，隨%的增大而減小，a<a+

2,/.a?—ad+2a—2d>a?+2a-4d一8—ad,解得：d>—4

(2)解：AB//x軸.理由如下：

當d=-4時，A(a,a2+6a+8),B(a+2,a2+6a+8)-

"."aH—2、a力—4,

...4、B兩點的縱坐標相等且不為0.

???橫坐標不等，

J.AB//X軸.

(3)解：當點A運動到y(tǒng)軸上時，a=0,...點A的對應點C的坐標為C0,-2d)，

當點B運動到y(tǒng)軸上時，a=-2,...點B的對應點D的坐標為(0,-2d-8),>'.\CD\=

|-2d-1一2d-8)|=8,???CD的長不變

10.(1)解:設拋物線解析式為y=ax2+bx(a邦)，

把點A(1,-1),B(3,-1)代入得，

(a+b=—1

[9a+3b=-1'

解得：[a=?

故拋物線解析式為y=IX2-iX

(2)解：?點P從點O出發(fā)速度是每秒2個單位長度,

，OP=2t,

...點P的坐標為(2t,0),

VA(1,-1),

.".ZAOC=45°,

...點Q到x軸、y軸的距離都是1OP=|x2t=t,

.?.點Q的坐標為(t,-t)

(3)解：如圖，點Q與點A重合時，

OP=1x2=2,t=2+2=l,

點P與點C重合時，OP=3,t=3+2=1.5,

t=2時，OP=2x2=4,PCM-3=1,此時PQ經過點B,

所以，分三種情況討論：

?0<t<l時，重疊部分的面積等于△POQ的面積，S=1x(2t)x岑=t2,

(2)l<t<1.5時，重疊部分的面積等于兩個等腰直角三角形的面積的差，

S=SAOP'Q'-SAAEQ=IX(2t)X與-1x(72t-V2)2=2t-1；

(3)1.5<t<2時，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個等腰直角三角形的面積

S=S梯舷OABC-SABGF=x(2+3)xl-1x[l-(2t-3)F=-2(t-2)2+搟；

[t2(0<t<1)

所以,S與t的關系式為S=J2t-l(l<t<1.5)

l-2(t-2)2+(1.5<t<2)

11.(1)解：將點(m,-3)代入y=—+租得一2=—4血2+血2+根.

解得mi=m2=-l，

m=-l；

(2)解：??,拋物線的對稱軸為直線x=m,

，直線x=m關于y軸的對稱的直線為x=-m,

???當1時，圖象G的函數(shù)值y先隨x的增大而增大，后隨x的增大而減小，

.[―m<—1

-2'

解得l<m<2；

(3)解：當mgO,拋物線在xg2m的部分的函數(shù)值y隨x的增大而增大.

???當x=2m時，，拋物線在x<2m的部分有最高點，

=

?'y~2(2m)2+m.2m+m=m，

???最高點的坐標為(2m,m),

-(-1)|=1?

解得m=*(不合題意，舍去)或m=—;

當m>0時，對稱軸為x=m.拋物線在xg2m的部分的最高點坐標為(m,|m2+m).

+m-(-1)|=1.

解得m=y/2—1或m=—V2—1(舍去)，

綜上所述，當m的值為一|或魚一1時，拋物線在xW2m的部分圖象的最高點到y(tǒng)=~\的距離為

1；

(4)解：VAB±x軸，

2

xB=1彳弋入y=-^x+mx4-m=2m-，

/.AB=2m,BC=AB=m,

C(1,-),yf=-2?現(xiàn)=1+=1+2m,

E(1+2m,—i),

當拋物線的頂點在矩形的邊AC上時，

.,.x=m=1,最大值為y=—4+1+1=,,

.1,

-'y=一尹2+%+1，

/.E(3,-1),即最小值為,

.?.最大值與最小值的差為|-(-1)=2.

當拋物線的頂點在矩形的邊CD上時，頂點坐標為(m,Im2+m),

依題意得：|m—^=^m2+m，整理得3m?-lOzn+3=0,

解得m=1■或m=3,

當m=寺時，頂點坐標為(1,￡),

弓＜1，

則拋物線的頂點不在矩形的邊CD上，不符合題意，舍去；

當m=3時，頂點坐標為(3,竽),即最大值為竽，

E(7,-1),即最小值為一,

最大值與最小值的差為^-(-1)=8;

當拋物線的頂點在矩形的邊DE上時，

則m=1+2m,

解得m=-1,不符合題意，

綜上，最大值與最小值的差為2或8.

12.(1)解：令y=0,則|x2—2x—6=0,

.*.xi=-2,X2=6

AA(-2,0),B(6,0)

令x=0,貝！Jy=-6,

AC(0,-6)

設直線BC的表達式為y=kx+b

將B(6,0),C(0,-6)代入，得

(6k+b=0

Ib=—6

解得｛?=\

lb=—6

直線BC的表達式為y=x—6；

(2)解：設P(m,0),則E(m,m—6),D(m,3n2—2m—6)

/.DE=m—6—(^m2—2m—6)=-^m2+3m

PE=0—(m—6)=-m+6

當DE=2PE時，一im2+3m=2(—m+6),

解得mi=4,m2=6(舍去)

：.P(4,0)

DE=—x42+3X4=4；

(3)解：存在，點Q的坐標為：Qi(4,2),Q2(4,18),Q3(4,6)

13.(1)解：把y=0代入直線的解析式得：x+l=0,解得x=-l,

...A(-1,0).

?.?拋物線的對稱軸為x=l,

AB的坐標為(3,0).

將x=0代入拋物線的解析式得：y=-3,

AC(0,-3).

設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),將C(0,-3)代入得：-3a=-3,解得a=l,

拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

(2)解：如圖1所示：連結OP.

將x=0代入直線AD的解析式得：y=l,

.,.OD=1.

由題意可知P(t,t2-2t-3).

???四邊形DCPB的面積=△ODB的面積+△OBP的面積+△OCP的面積，

22

AS=1x3xl+|x3x(-t+2t+3)+1x3xt,整理得：S=-|t+|t+6.

配方得：S=-|(t-|)2+等.

.?.當t=|時，s取得最大值，最大值為空.

(3)解：如圖2所示：

設點D，的坐標為(a,a+1),O'(a,a).

當△D，O，E的面積:DEB，的面積=1：2時,則O，E：EBf=l：2.

???OB=OB=3,

???O'E=1.

/.E(a+1,a).

將點E的坐標代入拋物線的解析式得：(a+1)2-2(a+1)-3=a,整理得：a2-a-4=0,解得:1+/I7

-2~

或a=、—尹.

?,.O,的坐標為(1+嚴,1+嚴)或(1一嚴,1-y)

...00，=或00，=用T-

：.△DOB平移的距離為注+嚴或屈二a.

當△DOE的面積：DEB，的面積=2：1時，則0'E：EB'=2：1.

,.'O'B'=0B=3,

：.O'E=2.

AE(a+2,a).

將點E的坐標代入拋物線的解析式得：(a+2)2-2(a+2)-3=a,整理得：a2-a-4=0,解得：a=三/

或a=二1弓/^.

...CT的坐標為(=生，皂)或(―，注尹).

...00，=二與巡或00，=瓜產.

DOB平移的距離為二年國或竺竺.

綜上所述，當△DOB，沿DA方向平移空竺或G嚴單位長度，或沿AD方向平移叱口或

二^叵個單位長度時，ED，恰好將△0DB，的面積分為1：2兩部分.

14.(1)解：..,令％=0得：y=3,

.??點C的坐標為(0,3),

：.0C=3.

VtanzCXB=3,

,,西一3,即四-3,

：.0A=1.

???點A的坐標為(一1,0).

???拋物線的對稱軸為％=1,

???點B的坐標為(3,0).

將力(一1,0)，B(3,0)代入得：

解得：a=-1,b=2,

二拋物線的解析y=-x2+2x+3.

將x=1代入得：y=-1+2+3=4.

二點D的坐標為(1,4).

將(1,4)代入反比例函數(shù)的解析式得：4苦，

解得：k=4.

.?.反比例函數(shù)的解析式為y=%

(2)解：如圖1所示：連接BC,過點P作PEJ.4B,交BC于點E.

??ZB=4,0C=3，

11

X

；?SAABC=^力口xOC=24X3=6.

設直線BC的解析式為y=k%+b,將(3,0)、(0,3)代入得：3fc+b=0,6=3,

解得b=3,k——1,

?,?直線BC的解析式為y=-x+3.

設點P的坐標為(x,—/+2%+3),則E點的坐標(%,—%+3).

:?PE——x2+3%,

,,SAPBC=*PE,OB=/x3x(-/+3x)=

=-X2+X+6=_(X-)

:，S四邊形ABPC1I11+目，

將x=I代入拋物線的解析式得：y=苧，

；.P點坐標(|，竽)，S四邊形ABPC最大值=鼻

(3)解：如圖2所示：連接BC,過點O作OEJ.BC,垂足為E.

,:QB=QC,

.?.點Q在BC的垂直平分線上.

?：0E1BC,OB=OC,

：.EC=BE,

，0E是BC的垂直平分線，

...點Q在OE上，

?.?OE垂直平分BC,

二直線OE的解析式為y=%.

將y=x與y=g聯(lián)立得勺

.?.點Q的坐標為（2,2）或（一2,-2）,

y=x

將y=%與y=—x2+2%+3聯(lián)立得

y——x2+2x+3'

1-713

解得:~2-

1一曲‘

-2-

???點Q的坐標為（士奕，士孚3）或（上奢，土磬〉

綜上所述，點Q的坐標為(2,2)或(一2,_2)或(1+嚴,1+嚴)或(1—嚴,1一嚴).

15.(1)解：y=2ax2-ax-3(a+1)=a(2x2-x-3)-3,

令2x2-x-3=0,解得：x=|或T,

故第三象限內的一個定點C為（-1,-3）

⑵解：函數(shù)的對稱軸為：X=-同=4,

設函數(shù)對稱軸與x軸交點為M,則其坐標為：（*,0）,

則由勾股定理得CM=一+（0+3/=學，

則AB=2CM=竽,

12

^AM==號

則點A、B的坐標分別為：（-3,0）、（*,0）；

將點A的坐標代入函數(shù)表達式得：18a+3a-3a-3=0,

解得:a=1,

函數(shù)的表達式為：y=J（x+3）（x-1）=ix2-x-

（3）解：過點E作EF_LPH于點F,

設：ZABC=a,則/ABC=NHPE=/DEF=a,

設直線BC的解析式為y=kx+b

將點B、C坐標代入一次函數(shù)表達式

得付k+b=。解得：廠

l—k+b=—3（b=

.?.直線BC的表達式為：y=tX-L,

設點P(h,)2一8九一力，則點D(h,|/i—5),

故tan/ABC=tana=最，貝!|sina=,

313

e

yD-yE=DEsina=PDsinasina,

S=SAABE-SAABD

1

=xABx(yD-YE)

_L134,2〃71,2^1,7.

_2XTXszT3(3/l-3-6/l+12h+^

137

F

-+九

-一

64

112

25

-2+

6(/I-96

,,-i<0,

.,.S有最大值，當h=W時，S的最大值為：系，此時點P(1,-||).

16.(1)解：???拋物線y=+bx+c交x軸于4(—2,0)、5(5,0)兩點，

所以可得拋物線為：y=—^(x+2)(x—5)=—^(x2—3x-10)=-^%2+^%+5

(2)解：如圖，過P作PH1OB于H,連AP交OC于E,

^OE||PH,P[t,-J(t+2)(t-5)],H(t,0),

AOEAHP

AOOE

'AH=PH'

VX(-2,0),

2OE

**2—(t+2)(t-5

.?.OE=-t+5,

193

Vy=-2X+2X+5,

令％=0,則y=5,

AC(0,5),

???ct=CE=5—(—t+5)=3

(3)解：如圖，過P作PK_Ly軸于K,過M作MNJ_4