2022年上海二十一世紀(jì)省吾高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年上海二十一世紀(jì)省吾高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的定義域為，值域為，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點的運動軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】先進行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分母變成一個實數(shù)，分子進行復(fù)數(shù)的乘法運算，整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)，看出所在的象限．【解答】解：∵復(fù)數(shù)==1+i，∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（1，1）∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故選A．3.i為虛數(shù)單位，則=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后代入計算得答案．【解答】解：，則=i2007=（i4）501?i3=﹣i．故選：A．4.已知對任意實數(shù)k＞1，關(guān)于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，則a的最大整數(shù)值為（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3參考答案：B【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象求出a的范圍，從而確定a的最大整數(shù)值即可．【解答】解：令，依題意，對任意k＞1，當(dāng)x＞0時，y=f（x）圖象在直線y=k（x﹣a）下方，，x，f′（x），f（x）的變化如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）遞增遞減y=f（x）的大致圖象：則當(dāng)a=0時，∵f'（0）=2，∴當(dāng)1＜k＜2時不成立；當(dāng)a=﹣1時，設(shè)y=k0（x+1）與y=f（x）相切于點（x0，f（x0））．則，解得．∴，故成立，∴當(dāng)a∈Z時，amax=﹣1．故選：B．5.已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝()A.B.C.D.參考答案：C略6.函數(shù)（

）

A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B7.已知數(shù)列{an}中，an=（n∈N），則數(shù)列{an}的最大項是

（

）

A．第12項

B．第13項

C．第12項或13項

D．不存在參考答案：C8.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù).令，則A．

B.

C.

D.參考答案：A9.新高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績將計入高考總成績，即“選擇考”成績根據(jù)學(xué)生考試時的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進行排序，評定為、、、、五個等級.某試點高中2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2016年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計了該校2016年和2018年“選擇考”成績等級結(jié)果，得到如下圖表：針對該?！斑x擇考”情況，2018年與2016年比較，下列說法正確的是（

）A.獲得A等級的人數(shù)減少了 B.獲得B等級的人數(shù)增加了1.5倍C.獲得D等級的人數(shù)減少了一半 D.獲得E等級的人數(shù)相同參考答案：B【分析】設(shè)出兩年參加考試的人數(shù)，然后根據(jù)圖表計算兩年等級為A,B,C,D,E的人數(shù)，由此判斷出正確選項.【詳解】設(shè)年參加考試人，則年參加考試人，根據(jù)圖表得出兩年各個等級的人數(shù)如下圖所示：年份ABCDE20162018

由圖可知A,C,D選項錯誤，B選項正確，故本小題選B.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查數(shù)據(jù)分析與處理能力，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是50m，后，就可以計算出A、B兩點的距離為A.50

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.歐陽修《賣油翁》中寫到：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為4cm的圓面，中間有邊長為1cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油（油滴不出邊界），則油滴整體（油滴是直徑為0.2cm的球）正好落入孔中的概率是

．（不作近似計算）參考答案：略12.在△中，已知，，且的面積為，則邊長為

．參考答案：7略13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+b是曲線y=alnx的切線，則當(dāng)a＞0時，實數(shù)b的最小值是

．參考答案：﹣1【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】設(shè)出曲線上的一個切點為（x，y），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的坐標(biāo)，可得b=alna﹣a，再求導(dǎo)，求最值即可．【解答】解：設(shè)出曲線上的一個切點為（x，y），由y=alnx，得y′=，∵直線y=x+b是曲線y=alnx的切線，∴y′==1，∴x=a，∴切點為（a，alna），代入y=x+b，可得b=alna﹣a，∴b′=lna+1﹣1=0，可得a=1，∴函數(shù)b=alna﹣a在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴a=1時，b取得最小值﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的運算求出切線斜率，根據(jù)切線斜率和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系建立方程進行求解是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算能力．14.過年時小明的舅舅在家庭微信群里發(fā)了一個10元的紅包，紅包被隨機分配為2.51元，3.32元，1.24元，0.26元，2.67元，共五份.現(xiàn)已知小明與爸爸都各自搶到了一個紅包，則兩人搶到紅包的金額總和不小于4元的概率為__________.參考答案：【分析】分別列出兩人各搶一個紅包可能的情況，及金額總和不小于4的情況，根據(jù)古典概型公式，即可求解?！驹斀狻啃∶髋c爸爸各搶到一個紅包，總的可能情況有（2.51，3.32）、（2.51，1.24）、（2.51，0.26）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，0.26）、（3.32，2.67）、（1.24，0.26）、（1.24，2.67）、（0.26，2.67）共10種。滿足條件，即兩人搶到紅包的金額總和不小于4元的共有4種：（2.51，3.32）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，2.67）。所以滿足條件的概率為，故答案為?！军c睛】本題考查古典概型及其概率的計算問題，需認(rèn)真審題，利用列舉法寫出滿足條件即金額總和不小于4的情況是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生推理運算的能力，屬基礎(chǔ)題。15.已知為奇函數(shù)，則___________．參考答案：10

16.給出如下四個命題：

①線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(x1，yl)，(x2，y2)，…,(xn，yn)中的一個點；

②命題“若a>b，則2a>2b—1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b—1”；

③設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)x，y都有[x+y]≤[x]+[y]；

④等比數(shù)列{an}中，首項a1<0，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列的充要條件是公比q>1．

其中真命題的序號是

．(請把真命題的序號都填上)參考答案：略17.若曲線在點處的切線平行于軸，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知的角所對的邊分別是，設(shè)向量，，（1，1）.（1）若求角B的大??；（2）若，邊長，角求的面積．參考答案：解：（1）由得由余弦定理可知：

于是ab=4

所以.略19.（本小題滿分13分）某學(xué)校實驗室有濃度為和的兩種溶液.在使用之前需要重新配制溶液，具體操作方法為取濃度為和的兩種溶液各分別裝入兩個容積都為的錐形瓶中，先從瓶中取出溶液放入瓶中，充分混合后，再從瓶中取出溶液放入瓶中，再充分混合.以上兩次混合過程完成后算完成一次操作.設(shè)在完成第次操作后，瓶中溶液濃度為，瓶中溶液濃度為.（1）請計算，并判定數(shù)列是否為等比數(shù)列？若是，求出其通項公式；若不是，請說明理由；（2）若要使得兩個瓶中的溶液濃度之差小于，則至少要經(jīng)過幾次？參考答案：（1）…………………3分

20.已知橢圓的離心率為，且過點．若點在橢圓上，則點稱為點的一個“橢點”．（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（）若直線與橢圓相交于，兩點，且，兩點的“橢點”分別為，，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．參考答案：（）由，得，又，∴，∴橢圓．∵點在上，∴，得，∴，，∴橢圓的方程為．（）設(shè)，，則，，由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，得，即①，由，消去整理得，由，得．而，，②所以③，將②③代入①得，即．又∵，原點到直線的距離，∴，把代入上式得，故的面積為定值．21.某校從2014-2015學(xué)年高二年級4個班中選出18名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽，學(xué)生來源人數(shù)如表：班別2014-2015學(xué)年高二（1）班2014-2015學(xué)年高二（2）班2014-2015學(xué)年高二（3）班2014-2015學(xué)年高二（4）班人數(shù)4635（I）從這18名學(xué)生中隨機選出兩名，求兩人來自同一個班的概率；（Ⅱ）若要求從18位同學(xué)中選出兩位同學(xué)介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗，設(shè)其中來自2014-2015學(xué)年高二（1）班的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式；排列、組合及簡單計數(shù)問題．專題：計算題．分析：（Ⅰ）“從這18名同學(xué)中隨機選出兩名，兩人來自于同一個班”記作事件A，利用排列組合知識，能求出兩人來自同一個班的概率P（A）．（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1）和P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．解答： （本小題滿分12分）解：（Ⅰ）“從這18名同學(xué)中隨機選出兩名，兩人來自于同一個班”記作事件A，則P（A）==．…（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2．∵P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列為：ξ012P∴Eξ=0×+1×+2×=．

…點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題