廣西壯族自治區(qū)北海市第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

廣西壯族自治區(qū)北海市第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知“成等比數(shù)列”，“”，那么成立是成立的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又非必要條件參考答案：D成等比數(shù)列,則有，所以，所以成立是成立不充分條件.當(dāng)時，有成立，但此時不成等比數(shù)列，所以成立是成立既不充分又非必要條件，選D.2.若集合，則集合的真子集個數(shù)是A．16

B．8

C．4

D．3參考答案：D集合中有兩個元素，則集合A的真子集個數(shù)是．選D.3.過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-c,）,或（-c,-），因?yàn)?，那么，這樣根據(jù)a,b,c的關(guān)系式化簡得到結(jié)論為，選B

4.下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意的x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)”的是

()A．f(x)＝

B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex

D．f(x)＝ln(x＋1)參考答案：A5.下列命題：①在中，若，則；②已知，則在上的投影為；③已知，，則“”為假命題；④已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱．其中真命題的個數(shù)為（

）（A）1

（B）2

（C）3

（D）4參考答案：B①根據(jù)正弦定理可知在三角形中。若，則，所以，正確。在上的投影為，因?yàn)?，所以，所以②錯誤。③中命題為真，為真，所以為假命題，所以正確。④中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，最大值為，所以函數(shù)。所以不是最值，所以錯誤，所以真命題有2個選B.6.橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．一l參考答案：D考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：求出F（﹣c，0）關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得離心率．解答：解：設(shè)F（﹣c，0）關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)A（m，n），則，∴m=，n=c，代入橢圓方程可得，化簡可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故選：D．點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對稱知識以及計(jì)算能力7.若一個圓柱的正視圖與其側(cè)面展開圖是相似矩形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積之比為（）A． B．1+ C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；簡單空間圖形的三視圖．【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則，即，求出全面積與側(cè)面積，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則，即，所以，，則，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查個圓柱的全面積與側(cè)面積之比，確定，求出全面積與側(cè)面積是關(guān)鍵．8.若，則A.－1

B.1

C.－3

D.3參考答案：B9.設(shè)集合（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B10.已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出的坐標(biāo)，則答案可求．【詳解】由，得，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，到原點(diǎn)的距離為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.表面積為60π的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S﹣ABC體積的最大值為

．參考答案：27考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：棱錐S﹣ABC的底面積為定值，欲使棱錐S﹣ABC體積體積最大，應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值，由此能求出棱錐S﹣ABC體積的最大值．解答： 解：∵表面積為60π的球，∴球的半徑為，設(shè)△ABC的中心為D，則OD=，所以DA=，則AB=6棱錐S﹣ABC的底面積S=為定值，欲使其體積最大，應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直線AB上，而SO=，點(diǎn)D到直線AB的距離為，則S到平面ABC的距離的最大值為，∴V=．故答案為：27．點(diǎn)評：本小題主要考查棱錐的體積的最大值的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．12.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為

.參考答案：13.小明忘記了微信登錄密碼的后兩位，只記得最后一位是字母A，a，B，b中的一個，另一位是數(shù)字4，5，6中的一個，則小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是．參考答案：

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】列舉出滿足條件的所有事件的可能，從而求出概率值即可．【解答】解：由題意得，開機(jī)密碼的可能有：（4，A），（4，a），（4，B），（4，b），（5，A），（5，a），（5，B），（5，b），（6，A），（6，a），（6，B），（6，b），共12種可能，故小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了古典概型問題，列舉出滿足條件的所有事件的可能即可．14.數(shù)列的首項(xiàng)為，且，記為數(shù)列前項(xiàng)和，則

。參考答案：15.已知函數(shù),在區(qū)間內(nèi)任取兩個實(shí)數(shù),且,若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

。參考答案：略16.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)(2,2)，則a=______.參考答案：1【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后代入（2，2）得到結(jié)果即可．【詳解】函數(shù)f（x）=xlnx+a，可得f′（x）=lnx+1，所以f′（1）=1，

又f（1）=a，所以切線方程為：y=x-1+a，切線經(jīng)過（2，2），所以2=2-1+a，解得a=1．

故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．17.若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)：，則稱f（x）是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．下列四個函數(shù)：①f（x）=logax（a＞0且a≠1）；

②f（x）=ax（a＞0且a≠1）；③；

④．其中，滿足“倒負(fù)”變換的所有函數(shù)的序號是．參考答案：①③④【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】壓軸題；新定義．【分析】利用題中的新定義，對各個函數(shù)進(jìn)行判斷是否具有，判斷出是否滿足“倒負(fù)”變換，即可得答案．【解答】解：對于f（x）=logax，，所以①是“倒負(fù)”變換的函數(shù)．對于f（x）=ax，，所以②不是“倒負(fù)”變換的函數(shù)．對于函數(shù)，，所以③是“倒負(fù)”變換的函數(shù)．對于④，當(dāng)0＜x＜1時，＞1，f（x）=x，f（）=﹣x=﹣f（x）；當(dāng)x＞1時，0＜＜1，f（x）=，；當(dāng)x=1時，=1，f（x）=0，，④是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．綜上：①③④是符合要求的函數(shù)．故答案為：①③④【點(diǎn)評】本題考查理解題中的新定義，并利用定義解題；新定義題是近幾年?？嫉念}型，解答此類問題的關(guān)鍵是靈活利用題目中的定義三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》如下圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點(diǎn)的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的長；（II）求證：BE＝EF．參考答案：解：（I），，…（2分）又，

，，…………（4分），

…………（5分）

（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）

19.已知無窮數(shù)列的首項(xiàng)，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：對任意正整數(shù)，.參考答案：（Ⅰ）證明：①當(dāng)時顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，那么當(dāng)時，，所以，即時不等式也成立.綜合①②可知，對任意成立.--------------------------------5分（Ⅱ），即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列。------------7分又，易知為遞減數(shù)列，所以也為遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，-------------------10分所以當(dāng)時，------12分當(dāng)時，，成立；當(dāng)時，綜上，對任意正整數(shù)，-----------------------------------------------------------------15分20.已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對于任意有。參考答案：略21.函數(shù)的部分圖象如圖所示，將y=f（x）的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象．（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；（2）若△ABC的三邊為a、b、c成單調(diào)遞增等差數(shù)列，且，求cosA﹣cosC的值．參考答案：考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）利用周期求ω，利用最高點(diǎn)的坐標(biāo)，求出φ的值，再利用圖象平移，可求函數(shù)y=g（x）的解析式；（2）先求出B，再令cosA﹣cosC=t，則（sinA+sinC）2+（cosA﹣cosC）2=2+t2，從而可得結(jié)論．解答： 解：（1）由圖知：，∵，∴，即，由于，∴，∴，∴函數(shù)y=g（x）的解析式為．（2）由于a，b，c成等差，且，∴，∵，，∴，∴，令cosA﹣cosC=t，則（sinA+sinC）2+（cosA﹣cosC）2=2+t2，∴，由于t＞0，∴．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查圖象的平移，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，為正常數(shù)．

（Ⅰ）若，且，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對任意，，都有，求的的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ），.........................2分

∵，令，得，或，......