高考數(shù)學(xué)沖刺必刷押題密03卷

2023屆高考數(shù)學(xué)沖刺必刷押題密03卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)出，再計(jì)算，最后代模長(zhǎng)公式即可求解【詳解】由題知，于是，所以.故選：D2．已知全集，集合，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出集合，中的不等式，再根據(jù)得出集合，根據(jù)集合并集和補(bǔ)集的定義計(jì)算即可．【詳解】由題可知，，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，故選：B．3．某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1，1，2，3，5，8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個(gè)“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種【答案】A【分析】將兩個(gè)1捆綁在一起，可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種，計(jì)算即可.【詳解】將兩個(gè)1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種.故選：A4．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生即太極生兩儀原理，如圖所示（圖中表示太極，表示陽儀、表示陰儀）．若數(shù)列的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，即為天一對(duì)應(yīng)的經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和0，為衍生到地二時(shí)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和2，為衍生到天三時(shí)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和4，…，按此規(guī)律，則為（

）A．84 B．98 C．112 D．128【答案】C【分析】表示衍生到天十五時(shí)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，計(jì)算得到答案.【詳解】表示衍生到天十五時(shí)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，則.故選：C5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，利用二倍角公式可求出.【詳解】，，得，得，可得，，，，又，得，解得.故選：A6．拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓直徑最小值為(

).A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出直線方程，通過聯(lián)立拋物線與直線方程，求出以為直徑的圓的圓心和半徑，再求出的長(zhǎng)度，利用的面積相等表示出的內(nèi)切圓半徑表達(dá)式，求表達(dá)式最小值即可.【詳解】由題意知，設(shè)直線的方程為，.由得，，故，，.，以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到軸的距離為，故.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由的面積公式得，，即，故.令，則且，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，.因此的內(nèi)切圓直徑最小值為.故選：B7．已知，（b＞1），則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別取，，，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解判斷.【詳解】若，則，∴，，，故A錯(cuò)．若，則，∴，，故B錯(cuò)．若，則，，．對(duì)于C，，故C對(duì)，對(duì)于D，，而，故D錯(cuò)，故選：C．8．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對(duì)任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，確定函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，，轉(zhuǎn)化得到，根據(jù)單調(diào)性得到答案.【詳解】設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：D二多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．甲袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙袋中裝有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黑球．先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出一球．用，，分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．，，兩兩互斥 B．C．與B是相互獨(dú)立事件 D．【答案】AB【分析】對(duì)于A，由互斥事件的定義判斷，對(duì)于B，由條件概率的公式求解即可，對(duì)于C，由獨(dú)立事件的定義判斷，對(duì)于D，由求解【詳解】對(duì)于A，由題意可知，，不可能同時(shí)發(fā)生，所以，，兩兩互斥，所以A正確，對(duì)于B，由題意可得，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以，所以與B不是相互獨(dú)立事件，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知D是錯(cuò)誤的，故選：AB10．對(duì)于函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．在上是單調(diào)函數(shù)【答案】ABC【分析】求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求得函數(shù)的極大值，可判定A正確，D錯(cuò)誤；再由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到在上必有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合，可判定B正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合作差比較，可判定C正確.【詳解】由函數(shù)，可得，其中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，故A正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，可得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以在上必有一個(gè)零點(diǎn)，由，所以為的一個(gè)零點(diǎn)，又由在上單調(diào)，所以在上無零點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故B正確；因?yàn)椋?，可得，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以C正確.故選：ABC.11．如圖，平面四邊形中，是等邊三角形，且，是的中點(diǎn).沿將翻折，折成三棱錐，在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得與所成角為銳角B．棱上總會(huì)有一點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，D．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是【答案】BC【分析】取中點(diǎn)，連接，，可證明即可判斷A；取中點(diǎn)，連接，可證明平面判斷B；三棱錐的體積最大，的投影在棱上時(shí)，此時(shí)平面，進(jìn)而可證明平面得判斷C；過作，過點(diǎn)作交于，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系求解得可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)榍?，所以，所以，故要使三棱錐的體積最大，則最大，所以當(dāng)?shù)耐队霸诶馍蠒r(shí)，最大，且，此時(shí)平面，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，所以，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉橹苯侨切危赃^作，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平面，所以，過點(diǎn)作交于，如圖所示，所以四邊形為矩形，所以，所以在中，，即，在中，，即，進(jìn)而解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故錯(cuò)誤.故選：BC12．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．曲線在點(diǎn)處的切線可能與直線垂直C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得到導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，從而可求參數(shù)的取值范圍，即可判斷A選項(xiàng)；假設(shè)滿足條件的切線存在，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的科率，得到的值，結(jié)合A項(xiàng)結(jié)果推出矛盾，可得B不正確；由，利用整體替換思想得到，最后根據(jù)的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)得到，可得C正確；由，利用整體替換思想可知若D正確，則只需，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可證得結(jié)論，從而判斷D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，，即，，A正確；對(duì)于B，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，若該切線與直線垂直，則，即，與矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知：，即，則，由A知：，由二次函數(shù)性質(zhì)知：，C正確；對(duì)于D，由題意知：，即，又，，即；要證，只需證，即證，即證，設(shè)，則只需證，令，則，在上單調(diào)遞增，，，則，D正確.故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D項(xiàng)，求解這類極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵：一是消參，把極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之后，需要利用兩個(gè)變量把參數(shù)表示出來，再巧妙地把兩個(gè)極值點(diǎn)通過消參向求證的結(jié)論逐漸靠近；二是消“變”，即減少變量的個(gè)數(shù)，只有把不等式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)“變量”的式子后，才能建立與之相應(yīng)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行求解．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分。13．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)___________．【答案】（答案不唯一）【分析】取，再驗(yàn)證奇偶性和函數(shù)值即可.【詳解】取，則定義域?yàn)镽，且，，，滿足.故答案為：.14．在正三棱柱中，，若該三棱柱內(nèi)接于球O，且三棱錐的體積為，則球O的表面積最小為_________.【答案】【分析】由三棱錐的體積為，求得，根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式求得，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，正三棱柱中，，且該三棱柱內(nèi)接于一球O，三棱錐的體積為，可得，解得，因?yàn)槿庵钦庵?，設(shè)為正的外接圓的圓心，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)闉榍虻陌霃?，所以球的表面積最小值為為.故答案為：.15．已知，則__________.【答案】【分析】先根據(jù)，得到，再由，令，兩邊相加求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，得，又，即，令，兩邊相加得：，故答案為?6．大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)）一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點(diǎn)，①與的面積比為___________；②設(shè)，則___________．【答案】【分析】①根據(jù)類比圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找到與的面積聯(lián)系即可.②利用向量加減法的三角形法則，用，表示出即可.【詳解】如圖：連接，由題意知，且分別為的中點(diǎn)，.所以，,得.，，化簡(jiǎn)得，所以故答案為：①；②.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．問題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足___________．(1)求角A的大??；(2)若D為線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，求的面積．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選擇①：由正弦定理邊化角得方程，求解即可.選擇②：由正弦定理角化邊得關(guān)于三邊的方程，代入余弦定理可得.選擇③：由正弦定理邊化角，再由展開計(jì)算可得結(jié)果.（2）設(shè)，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）若選擇①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若選擇②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若選擇③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；（2）設(shè)，，，在中，用余弦定理可得，即①，又∵在中，，即.即，即②，在中，用余弦定理可得，即③，③+①可得，將②式代入上式可得，．18．設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，，是和的等比中項(xiàng)，的前項(xiàng)和為，.（1）求和的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）求.【答案】（1），；（2）（i）；（ii）【分析】（1）因?yàn)椋呛偷牡缺戎许?xiàng)，根據(jù)等比中項(xiàng)可求得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，利用與的關(guān)系，證出是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中和的通項(xiàng)公式，列出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法，分成奇數(shù)組和偶數(shù)組，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和；將分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)求出結(jié)果；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出結(jié)果；分別求解出后，相加求得的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，即，解得，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，故，因?yàn)?，所以，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，，，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.（2）（i）解：，所以.（ii）解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，，所以，故，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，以及運(yùn)用分組求和法、裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．19．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)與平面所成的角的正弦值為【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)椋?，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.20．互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達(dá)，具有極高的繁殖系數(shù)，對(duì)近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅(jiān)實(shí)施方案》，對(duì)全市除治攻堅(jiān)行動(dòng)做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；(2)為營造“廣泛發(fā)動(dòng)、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進(jìn)行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊(duì)參加，經(jīng)抽簽確定第一場(chǎng)在甲鎮(zhèn)舉行．比賽規(guī)則：每場(chǎng)比賽直至分出勝負(fù)為止，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場(chǎng)在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束．當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為．假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲鎮(zhèn)代表隊(duì)的最終得分記為X，求．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平均數(shù)的計(jì)算公式求得，再利用方差的計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可得解；（2）先根據(jù)題意得到的所有可能取值，再利用獨(dú)立事件的概率公式分別求得各個(gè)取值的概率，從而利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，得，因?yàn)?，同理，所以，所以總樣本的平均?shù)為，方差.（2）依題意可知，的所有可能取值為，設(shè)“第場(chǎng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，“第場(chǎng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，則，所以，，，所以.21．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問：以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)以線段為直徑的圓過定點(diǎn)和．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解，進(jìn)而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解，（2）聯(lián)立直