2023學(xué)年完整公開(kāi)課版動(dòng)態(tài)問(wèn)題

專題八動(dòng)態(tài)問(wèn)題專題點(diǎn)播動(dòng)態(tài)問(wèn)題是近幾年各地區(qū)數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)題，這種題型是在幾何圖形上設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中存在的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊關(guān)系進(jìn)行研究考查.問(wèn)題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合性.動(dòng)態(tài)問(wèn)題通常有直線運(yùn)動(dòng)、曲線運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和滾動(dòng)等；從圖形中運(yùn)動(dòng)的部分看有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)、體動(dòng)等，寧夏的中考試題中一般在幾何圖形上設(shè)計(jì)點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題背景.這種題型是對(duì)幾何圖形性質(zhì)更深層次地考查與探索，是對(duì)幾何作圖、圖形的變化更深層次地理解與應(yīng)用，要求考生具有較為綜合的圖形理解和運(yùn)動(dòng)變化的思維，培養(yǎng)考生的幾何分析推理思維和想象能力，也為高中的幾何知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下更好的操作探究思維基礎(chǔ).在寧夏的中考數(shù)學(xué)試卷中必不可少，尤其最近幾年有考查更為頻繁，綜合性越來(lái)越強(qiáng)的趨勢(shì)，多以幾何綜合題形式出現(xiàn).寧夏每年的最后一題都是動(dòng)態(tài)問(wèn)題(如：2016年第26題在矩形的邊上設(shè)計(jì)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)；2015年第26題用兩個(gè)三角板共頂點(diǎn)的面轉(zhuǎn)動(dòng)型問(wèn)題；2014年第26題在三角形邊上設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)垂線(實(shí)質(zhì)是線動(dòng))；2013年第26題在平行四邊形邊上設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作垂線(實(shí)質(zhì)是線動(dòng))；2012年第26題在矩形邊上設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作垂線(實(shí)質(zhì)是線動(dòng))).解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題需要從運(yùn)動(dòng)與變化的角度去觀察和研究圖形，把握運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，需要用化“動(dòng)態(tài)”為“靜態(tài)”，“變化”與“不變”去研究和解決.有時(shí)要把方程、函數(shù)、不等式等知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題是求變量與變量之間的關(guān)系時(shí)，通常是要建立函數(shù)模型或不等式模型求解，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題是求圖形之間的特殊位置關(guān)系與特殊值時(shí)通常建立方程模型去求解.解題時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)題目的突破口，具備綜合的解題技巧.從寧夏近幾年的中考試題看，我們要善于發(fā)現(xiàn)，找準(zhǔn)共同點(diǎn)，從下面的經(jīng)典例題中體會(huì)命題規(guī)律，探求方法，練出技巧，在中考中從容應(yīng)對(duì).考法示例［方法點(diǎn)撥］根據(jù)給出的題設(shè)背景和圖形背景，探究圖形中某些邊、線段或平面內(nèi)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，探究這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中所構(gòu)成的特征情形或特殊圖形，綜合方程、函數(shù)、幾何知識(shí)等解決相關(guān)問(wèn)題.我們可以看看寧夏此類題型的圖形設(shè)計(jì)：探究幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題類型1解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)問(wèn)題找到突破口，“以靜探動(dòng)，以動(dòng)求靜”，先用擬定關(guān)系或數(shù)量作為解決問(wèn)題的條件，以求出問(wèn)題中的待定關(guān)系或數(shù)量，也可稱為“用靜求動(dòng)”.在解答問(wèn)題時(shí)，往往需要我們重新作圖操作分析.示例1如圖，在矩形ABCD中，AB=3米，BC=4米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0＜t＜2.5).(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB；(2)設(shè)四邊形ABQP的面積為y，當(dāng)t為何值時(shí)，y的值最??？并求出這個(gè)最小值.

［點(diǎn)評(píng)］本題主要考查的是二次函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)求得PE的長(zhǎng)，從而得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系式是解第(2)問(wèn)的關(guān)鍵.1.(2016·寧夏)如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿AB向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，仍以每秒1個(gè)單位的速度，沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)，連接QP，QD，PD.若兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒(0＜x≤3)，解答下列問(wèn)題：(1)設(shè)△QPD的面積為S，用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最小值？并求出最小值；(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？試說(shuō)明理由.變式訓(xùn)練

［方法點(diǎn)撥］以平面直角坐標(biāo)系為載體，在幾何圖形或函數(shù)圖象上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)，綜合運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)的解析式解決相關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題.寧夏的中考試題中此類問(wèn)題的設(shè)計(jì)較少.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)問(wèn)題找到突破口，用含字母的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵，先用已有的條件或關(guān)系式，確定問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，也可稱為“用變量定坐標(biāo)”.在解答問(wèn)題時(shí)，往往需要我們重新作圖操作分析.探究平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題類型2示例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(4，0)，(4，3).動(dòng)點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)O，B同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒.(1)寫出直線AC的解析式；(2)記△MPA的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式(0＜t＜4)；(3)若點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)S=1.5且△QAN為等腰三角形時(shí)，求直線AQ的解析式

變式訓(xùn)練

精題精練1.（2018·濰坊）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是4厘米，∠B=60°，動(dòng)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度自B點(diǎn)出發(fā)沿折線BCD運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)停止.若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記△BPQ的面積為S厘米2，下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是()D2.如圖，A，B是半徑為1的⊙O上兩點(diǎn)，且OA⊥OB，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在⊙O上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s），弦BP的長(zhǎng)為y，那么下列圖象中可能表示y與x函數(shù)關(guān)系的是()A.①B.③C.②或④D.①或③D3.(2018·棗莊)如圖1，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BP的長(zhǎng)度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線部分的最低點(diǎn)，則△ABC的面積是___________.124.（2018·盤錦）如圖①，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△PAB面積為y，如果y與x的函數(shù)圖象如圖②所示，則矩形ABCD的面積為_(kāi)___________.245.如圖，已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.（1）求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)把B(3,0)代入y=-x2+mx+3，得0=-32+3m+3,解得m=2.∴y=-x2+2x+3.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）.(2)連接BC交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)PA+PC的值最小.設(shè)Q是直線l上任意一點(diǎn)，連接AQ，CQ，BQ.∵直線l垂直平分AB,∴AQ=BQ，AP=BP,∴AQ+CQ=BQ+CQ≥BC,BC=BP+CP=AP+CP,即AQ+CQ≥AP+CP.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0).把B(3，0)，C(0,3)代入，得∴∴直線BC的解析式為y=-x+3.當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2.∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).0=3k+b,3=b,k=-1,b=3.

點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形.∴OD=OB=OC=OA.∵△CED和△COD