八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)勾股定理練習(xí)題

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)勾股定理練習(xí)題

（含答案解析）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：

一、填空題

1.在R&BC中，ZC=90°,且4C：8c=1：7,48=100米，則AC=米.

2.如圖，AC=BC=10cm,NB=15。，若AD_LBD于點(diǎn)D,則AD的長為

3.若一個(gè)直角三角形的兩邊長分別是4cm,3cm,則第三條邊長是cm.

4.如圖，在心ABC中，ZACB=90°,AB=13,BC=12,分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心、大于的長為

半徑作弧，兩弧相交于E,四兩點(diǎn)，作直線砂交48于點(diǎn)。，連接C。，則的周長是.

5.如圖，在一43c中，NABC=60。，AB=3,BC=5,以AC為邊在q/lBC外作正八軌;。，則8。的長為

1」一中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果是

6.把二次根式（x-1）

1-x

二、單選題

7.如圖，有一塊長方形花圃，有少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走

了（）m的路，卻踩傷了花草.

第1頁共15頁

1

A.5B.4C.3D.2

8.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以A8為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的

面積是（）

A.8B.12C.18D.20

9.將矩形紙片A8CZ）按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AEC/.若AD=6,則菱形AEC尸的面積為

A.2y/3B.3V3C.4D.8

10.如圖，。0是AABC的外接圓，ZB=60°,。尸_LAC于點(diǎn)P,OP=2,則AC的長為（）

A.4B.26C.473D.6百

11.如圖，已知點(diǎn)B、D、C、尸在同一條直線上，ABEF,AB=EF,ACDE,如果B尸=6,DC=3,那

么8。的長等于（）

第2頁共15頁

A

3

A.1B.-C.2D.3

2

12.如圖，，MC中，/847=60。,/347的平分線4。與邊8（：的垂直平分線用。相交于。,￡>￡，48交48

的延長線于E,￡）F_LAC于F,現(xiàn)有下列結(jié)論：①DE=DF;?DE+DF=AD；③MD平分NEDF；④若

AE=3,則AB+AC=6.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

三、解答題

13.如圖1所示的是某超市人口的雙翼閘門，當(dāng)它的雙翼展開時(shí)，如圖2,雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距

離為12cm,雙翼的邊緣AC=BO=62cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角NACP=NBOQ=30。.求當(dāng)雙翼收起時(shí)，可

以通過閘機(jī)的物體的最大寬度.

14.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4,0）,點(diǎn)P在第一象限，且在直線y=-x+6上，設(shè)點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)為&ZiF。的面積為S.

第3頁共15頁

y

(i)求s關(guān)于。的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若20=以，求S的值.

15.已知a滿足|2021-a|+Ja-2022=a.

(l)Ja-2022有意義,a的取值范圍是;則在這個(gè)條件下將|2021-3去掉絕對(duì)值符號(hào)可得|2021-a|=

(2)根據(jù)(1)的分析,求a-202『的值.

參考答案：

1.1072

【分析】首先根據(jù)8C,4c的比設(shè)出BC,4C,然后利用勾股定理列式計(jì)算求得a,即可求解.

【詳解】解：：AC：BC=l：7,

.,.設(shè)AC=a,則BC=7a,

?；NC=90°,

：.AB2^AC2+BC2,

1002=a2+(7iz)2,

解得：a=l0母,

第4頁共15頁

；.AC=10立米.

故答案為：100.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

2.5cm

【分析】由題意可得NACD的度數(shù)為30。，利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)可求

【詳解】AC=BC=10cm，NB=ZBAC=15°,

:.ZACD=ZB+ZBAC=150+15°=30°,

ADLBC,

AD=-AC=-xl0=5

22

故答案為：5cm

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、解含30。角的直角三角形，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵

3.5或不

【分析】分兩種情況，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：①直角三角形的兩邊長分別是4cm,3cm,則

第三條邊長=142+32=5(cm)；

②當(dāng)直角邊為3cm,斜邊長為4cm時(shí)，第三條邊長="二7=々(cm)

故答案為：5或五.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.18

【分析】由題可知，EF為線段BC的垂直平分線，則CD=B。，由勾股定理可得AC=JAB2_BC2=5,則

△ACD的周長為AC+A￡>+CQ=AC+A￡>+BO=AC+A8,即可得出答案.

【詳解】解：由題可知，EF為線段BC的垂直平分線，

：.CD=BD,

'：ZACB=90°,A8=13,BC=12,

:，AC=d24s'—BC°=5,

AACD的周長為AC+4O+C￡)=4C+AO+BO=AC+AB=5+13=18.

第5頁共15頁

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股

定理是詳解本題的關(guān)鍵.

5.7

【分析】方法1：求8。的長度，若能構(gòu)造以2。為邊的直角三角形，通過勾股定理可求得BD,于是過點(diǎn)。

作84延長線的垂線，垂足為E.求出BE,OE是關(guān)鍵.利用//歸。=/〃4。以及4。=8,構(gòu)造一對(duì)全等

三角形，將求。E,AE轉(zhuǎn)化為求AF,CF.

方法2：利用義43。=448以及4。=8,構(gòu)造“一線三等角”的全等模型，轉(zhuǎn)移、集中已知條件，建立與

8。的聯(lián)系，再將8。置于直角三角形中求解.

方法3：根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的思想，在形外構(gòu)造以A8為邊的等邊三角形，使已知條件可圍繞點(diǎn)8與點(diǎn)C形成可

解的直角三角形.

方法4：根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的思想，也可在形內(nèi)構(gòu)造以A8為邊的等邊三角形，使己知條件可圍繞點(diǎn)8與點(diǎn)C形

成.BDE,將8。直接置于這個(gè)三角形中加以解決.

方法5：根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的思想，也可在形外構(gòu)造以B。為邊的等邊三角形，使已知條件可圍繞點(diǎn)A與點(diǎn)B形

成=BCE,將BD轉(zhuǎn)化為BE加以解決.

【詳解】方法1：如圖，過點(diǎn)。作QE_L胡延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF，BC于點(diǎn)F,得ZAFC=ZAED=90°.

因?yàn)椤耙裕┦堑冗吶切危?/p>

所以4C=AD,ZDAC=60°.

因?yàn)锳BAC+ZABC+ZACB=\80°,

ABAC+ADAC+ZEAD=\SQ0,

又NA8C=ND4c=60。，

所以NACF=NZME,

所以RfAAFCRt\DEA,

所以"'MDE,CF=AE.

第6頁共15頁

在尸中，ZBAF=90°-ZABC=90°-60°=30°,

所以=AF=-43,

222

7

所以CF=3C-3F=-,

2

所以AE=CF=~,BE=AB+AE=3+-=—,DE=AF=2g.

2222

在RMDE中，由勾股定理得BD=yjBE2+DE2=J(—)2+(->/3)2=7.

V22

方法2：如圖，延長8c到點(diǎn)E,使CE=AB=3,過點(diǎn)B作BE工DE于點(diǎn)F.

因?yàn)榘?8是等邊三角形，

所以4C=AD,ZACD=60°.

因?yàn)閆ACE=ZACD+ZDCE=ZABC+ABAC,ZABC=ZACD=6()。，

所以NDCEn/BAC.

又因?yàn)镃E=4?,AC=CD,

所以AABCSACED^SAS),

所以DE=BC=5,ZE=ZABC=6O°,

所以5E=3C+CE=5+3=8.

在RfABEF中,EF=BE-cos60°=4,BF=EF-tan60=4>/3>

所以DF=DE-EF=5-4=1.

在RtABDF中，由勾股定理求得BD=yjBF2+DF2=J(4舟+『=7.

(在BDE中,也可作。尸_LBE于點(diǎn)片求BD.)

方法3：如圖，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△A8O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得A4EC,連接8E,再過點(diǎn)E作坊_L3C交

CB的延長線于點(diǎn)F.

第7頁共15頁

D

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得

所以8￡>=￡C,AE=AB,ZEAC-ZBAD,

所以NE4B=NC4￡>=60。，

所以E4B是等邊三角形，

所以3￡=A5=3,ZAB￡=60°,

所以NEBC=ZABE+ZABC=60。+60。=120°,

所以ZEBF=180°-NEBC=60°.

在RrAEFB中EF=E8-sin60"=3x@=^^,FB=￡Bxcos60=-,

222

所以在RfAEPC中EC=Jf1廣+FC：=J("尸+(|+5尸=749=7，

所以BO=EC=7.

方法4：如圖，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心.將..ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得，A￡L>,連接4E,再過點(diǎn)。作。尸_LBC的

延長線于點(diǎn)F.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△AE￡>絲/XABC,

所以O(shè)E=5C=5,AE=AB,AEAD=ZBAC,ZAED=ZABC=60°,

所以NB4E=NC4D=60。，

所以ZXABE是等邊三角形，

所以3E=AB=3,ZA￡B=60°,

所以ZBED=ZAEB+ZAED=600+60°=120°,

第8頁共15頁

所以NDEF=180°-ABED=60°.

在RfADEF中,￡>F=D￡sin60°=5x—=—，EF=DEcosbtf=-,

222

所以在RrAB。尸中，BD=dDF?+BF?-J(歲了+(3+|了=749=7.

方法5：如圖，以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將一A48逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得.DCE,連接BE,再過點(diǎn)E作斯交

8c的延長線于點(diǎn)F.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得,DCE絲

所以BD=DE,CE=AB=3,ZDCE=ZDAB,ZADB=ZCDE,

所以NBE>E=NA￡>C=60。,

所以一是等邊三角形，

所以BE=B￡>,

又因?yàn)镹ABC+NADC+Za4Z）+N3CD=360。（四邊形內(nèi)角和為360。），

而NBCE+ZBAD+ZBCD=360°（周角），

所以N8CE=120。，

所以ZECF=180°-ZBED=60°.

在RfAECF中,EF=CE-sin60'=3x^=—,CF=CEcos60=,

222

所以在RfABE尸中，BE=4E尸+BF。=’（空產(chǎn)+（5+|了=屈=7.

所以BD=BE=7.

6.-Vkx

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可以判斷x-1的符號(hào)，即可化簡.

第9頁共15頁

【詳解】解：（x-i）\p^=（x-i）^^=（x-i）^H=—VT7.

V1-X|l-x|l-x

故答案是：X.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確根據(jù)二次根式有意義的條件，判斷1-X>O,從而正確化簡|l-x|

是解決本題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理計(jì)算得花圃內(nèi)一條“路”的長度，從而完成求解.

【詳解】根據(jù)題意，得：長方形花圃的四個(gè)角為90°

；?花圃內(nèi)的一條“路”長=V52+122=13m

,僅僅少走了5+12-13=4m

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解.

8.D

【分析】根據(jù)勾股定理解得AB?的值，再結(jié)合正方形的面積公式解題即可.

【詳解】在MBC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,

AB2=AC2+BC2=42+22=20

???以AB為一條邊向三角形外部作的正方形的面積為=20,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

9.A

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得/D4尸=NOA凡OA=AD,再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得/。4尸=

ZOAE,然后求出NOAE=30。，再利用勾股定理求出OE,可得AE,再根據(jù)菱形的面積公式列式計(jì)算即可

得解.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)得，ZDAF—ZOAF,OA—AD—,

在菱形AECF中，ZOAF=ZOAE,

；./OAE=1x900=30。，

3

：.AE=2OE,

...在Rf/kAOE中，由勾股定理得：O^+OE2=AE2,

2

3+0爐=4OE,

第10頁共15頁

，0E=1或。E=-1（舍去），

：.AE=2OE=2,

菱形AECF的面積=AEA￡>=2百.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，

熟練掌握翻折變換的性質(zhì)并求出NO4E=30。是解題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】由圓周角定理得出/AOC=2NB=I20。，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出NOAC=

ZOCA=30°,由垂徑定理得出AP=CP,由勾股定理得出AP=2g,即可得出答案.

【詳解】解：???NB=60。,

ZAOC=2ZB=120°,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

'：OPVAC,

：.AP=CP,OA=2OP=4,

AP=力O*—。產(chǎn)=2百，

.,.AC—2AP=4y/3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理

和垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

11.B

【分析】由ABEF得NB=NF,由ACDE得NACB=NEDF,從而證明△ABC之得BC=F￡>,即

可求得8。的長.

【詳解】解：EF,

:.NB=NF,

"：ACDE,

：.NACB=NEDF,

在小EF￡>中，

第11頁共15頁

ZACB=ZEDF

ZB=ZF,

AB=EF

:?△ABgXEFD(AAS),

；.BC=FD,

:?BC-DC=FD-DC,

:?BD=FC,

：.BD=^-(BF-DC)=：(6-3)=-.

222

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形全的的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形全的的判定方法是解

題的關(guān)鍵.

12.C

【分析】①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知/EAD=NFAD=30。，故止匕可知ED=g,DF=1,

從而可證明②正確；③若DM平分NADF,則/EDM=90。，從而得到/ABC為直角三角形，條件不足，不

能確定，故③錯(cuò)誤；④連接BD、DC,然后證明△EBDgADFC,從而得至ljBE=FC,從而可證明④；

【詳解】如圖所示：連接BD、DC,

①：AD平分NBAC,DE±AB,DFXAC,

ED=DF,

.,.①正確；

@VZEAC=60°,AD平分NBAC,

ZEAD=ZFAD=30°,

DE±AB,

.\ZAED=9O0,

AZAED=90°,ZEAD=30°,

.".ED=yAD,

同理：DF=！AQ,

2

DE+DF=AD,

...②正確；

③由題意可知：ZEDA=ZADF=60°,

第12頁共15頁

假設(shè)MD平分/ADF,則NADM=30。，則NEDM=90。,

又,.?/E=NBMD=90°,

ZEBM=90°,

/ABC=90°,

,/ZABC是否等于90。不知道

.??不能判定MD平分NADF,

故③錯(cuò)誤；

④；DM是BC的垂直平分線,

；.DB=DC,

在RtABED和RtACFD中

\DE^DF

[BD=DC

：.RtABED^RtACFD,

BE=FC,

AB+AC=AE-BE+AF+FC,

又：AE=AF,BE=FC,

AB+AC=2AE,

當(dāng)AE=3時(shí)，AB+AC=6,

故④正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握本

題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵；

13.74cm

第13頁共15頁

［分析］過點(diǎn)A作AELC尸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BFLOQ于點(diǎn)F,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得/歸=31

cm,同理可得，BF=31cm,然后結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AELCP于點(diǎn)E,過點(diǎn)2作8FLDQ于點(diǎn)F,

圖2

在&AACE中，NACE=30°,

AE=；AC=；x62=31(cm),

同理可得，8F=31cm,

又?.?雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為12cm,

.*.3