三角形內(nèi)角和定理

關(guān)于三角形內(nèi)角和定理第1頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三學習目標1、通過拼圖驗證三角形內(nèi)角和。2、能理解和掌握三角形內(nèi)角和定理的證明過程。3、能靈活應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進行簡單的計算和推理證明。第2頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)情趣：內(nèi)角三兄弟之爭

在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F結(jié)可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起了……”“為什么？”老二很納悶。

同學們，你們知道其中的道理嗎？第3頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三驗證：三角形的三個內(nèi)角和是180°圖1圖2

圖3ABCCBAABBCC

BAB第4頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三結(jié)論

三角形三個內(nèi)角的和等于ABC已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°180°命題的正確性還要嚴密的推理證明想一想：如何證明呢？三角形內(nèi)角和定理：證法一證法二證法三證法四第5頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°ABC證法一證明：作BC的延長線CD，在△ABC的外部以CA為一邊，CE為另一邊作∠1=∠A.則CE∥BA﹙內(nèi)錯角相等，兩直線平行﹚∴∠2=∠B﹙兩直線平行，同位角相等﹚∵∠BCA+∠1+∠2=180°∴∠BCA+∠A+∠B=180°再此證法中,通過做角等把三角形的三個角移到一起，想一想還有沒有與此類似的方法？D2E1為了證明的需要，在原圖形上添畫的線叫作輔助線。在平面幾何里，輔助線通?；商摼€。返回第6頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三證法二已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°ABCDE證明：過點A畫DE∥BC∴∠１＝∠B，∠２＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠１＋∠BAC＋∠２＝１８０°（平角定義）

∴∠B＋∠BAC＋∠C＝１８０°２１返回第7頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三證法三已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°ABCＤFE證明：在BC上取一點D，過點D畫DE∥BA，DF∥CA∴∠BDF＝∠C，∠EDC＝∠B,(兩直線平行，同位角相等）∠EDF=∠DEC=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠BDF＋∠EDF＋∠EDC＝１８０°

∴∠A＋∠B＋∠C＝１８０°返回第8頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三證法四已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°ABCD證明：過點C作CD∥BA∴∠ACD＝∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∠BCD＋∠B＝１８０°（兩直線平行，同內(nèi)角互補）∴∠BCA＋∠ACD＋∠B＝１８０°即∠BCA＋∠A＋∠B＝１８０°返回第9頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三ABCD三角形的外角：

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．第10頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三畫圖并思考：畫一個△ABC，你能畫出它的所有外角來嗎？請動手試一試．同時想一想△ABC的外角共有幾個呢？歸納：

每一個三角形都有６個外角．每一個頂點相對應(yīng)的外角都有２個．每個外角與相鄰的內(nèi)角是鄰補角．第11頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三124三角形的外角與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?外角A3BCD相鄰內(nèi)角不相鄰內(nèi)角思考1相鄰的內(nèi)角：不相鄰的兩內(nèi)角：第12頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三探究？三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：如圖△ABC中，則

∠ACB+∠ACD＝180°

ABCD？？

結(jié)論：三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角即三角形的外角與它相鄰內(nèi)角的和為180°第13頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三ABC

△ABC的外角∠ACD與它不相鄰的內(nèi)角∠A、∠B有怎樣的關(guān)系？D探究？

∠ACD=∠A+∠B

能證明這個結(jié)論嗎？第14頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三結(jié)論1、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。ACBD如圖,∠ACD是△ABC的一個外角,試說明∠ACD=∠B+∠A你能說出三角形的外角與每一個不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系嗎?∵∠ACD=∠B+∠A∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B結(jié)論2、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。第15頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三ABCD證明：△ABC中∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和定理）∠ACB+∠ACD=180°（平角定義）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代換）∠ACD=∠A+∠B第16頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三歸納總結(jié)：

推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

推論2：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。由公理、定理直接得出的真命題叫做推論。第17頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三3、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。2、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；1、三角形的一個外角與它相鄰的內(nèi)角互補；三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：第18頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三

160°110°練一練：1、求下列各圖中∠1的度數(shù)。50°

45°

1

35°

120°

1第19頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三試比較∠1、∠A的大小關(guān)系？你能比較∠2、∠A的關(guān)系么？再試試看。2PABCD1第20頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三練一練：2、把圖中∠1、∠2、∠3按從大到小的順序排列，并說明理由。解：∠1＞∠2＞∠3

321ABCDE第21頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三

321ABCDE解：∵∠1是△BDE的外角，∠2是△ADC的外角∴∠1＞∠2,∠2＞∠3∴∠1＞∠2＞∠3第22頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三例1.已知:如圖6-14,在△ABC中,∠1是它的一個外角,E為邊AC上一點,延長BC到D,連接DE.求證:∠1>∠2.證明:∵∠1是△ABC的一個外角(已知),∴∠1>∠3(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角).∵∠3是△CDE的一個外角(外角定義).∴∠3>∠2(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角).∴∠1>∠2(不等式的性質(zhì)).CABF1345ED2第23頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三

321ABC564例1

已知：如圖，∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角求證：∠1+∠2+∠3=360°結(jié)論：三角形的外角和等于360°通常把一個三角形每一個頂點處的一個外角的和叫做三角形的外角和。第24頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三三角形的外角和

對于三角形的每個內(nèi)角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的三個外角相加所得的和，叫做三角形的外角和。結(jié)論：三角形的外角和等于180°

第25頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三123BACPNMDEF挑戰(zhàn)一下！∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿＿＿。360°第26頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三ABCDE(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)第27頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三思考題１：在△ABC中，∠

B=48°

，∠

C=82°那么

∠A等于多少度呢？答：∠A＝５０°這樣的三角形是銳角三角形。有三個角都是銳角的三角形是銳角三角形。思考題３：在△ABC中，∠

B=48°

，∠

C=４2°那么

∠A等于多少度呢？答：∠A＝９０°思考題２：在△ABC中，∠

B=4３°

，∠

C=３2°那么∠A等于多少度呢？答：∠A＝１０５°這樣的三角形是鈍角三角形。有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。這樣的三角形是直角三角形。有一個角是直角的三角形是直角三角形。思考題４：如何按角給三角形分類呢？請大家思考相互討論。第28頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三三角形直角三角形斜三角形銳角三角形鈍角三角形直角邊直角邊斜邊三角形按角的大小分類直角三角形可以用符號Rt△表示，直角三角形可以寫成Rt△ABC。第29頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三思考題５：在△ABC中，∠

C=９０°

，∠

A=∠B，那么

∠A和∠B，等于多少度呢？答：∠

A=∠B＝４５°兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形思考題６：在Rt△

ABC中，∠

C=９０°

，∠

A與∠B的和等于多少度？答：∠

A＋∠B＝９０°你能用一句話概括這個命題嗎？三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于１８０°推論１：直角三角形的兩個銳角互余。推論１：直角三角形的兩個銳角互余。推論１：直角三角形的兩個銳角互余。推論１：直角三角形的兩個銳角互余。推論１：直角三角形的兩個銳角互余。推論１：直角三角形的兩個銳角互余。推論１：直角三角形的兩個銳角互余。第30頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三證明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形內(nèi)角和定理）∠C=90゜（已知）∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代換）∴∠A+∠B=180゜－90゜=90゜（等式性質(zhì)）即∠A+∠B=90゜ABC已知：在△ABC中，∠C＝90゜求證：∠A＋∠B＝90゜

隨堂練習?第31頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三實際問題（二）一個已損壞的三角形零件如圖經(jīng)檢驗量得，∠A＝３１°∠B＝５９°，你能推算出另一個角的度數(shù)嗎？AB實際問題數(shù)學化數(shù)學問題源于生活實踐，反過來數(shù)學又為生活實踐服務(wù)第32頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三練習一：在ABC中，（1）∠C=90°，∠A=30°，則∠B=

；（2）∠A=50°，∠B=∠C，則∠B=

；（3）∠A—∠C=25°，∠B—∠A=10°，則∠B=

。第33頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三

已知:在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，

BD是AC邊上的高。求∠DBC的度數(shù)。ABCD┎練習二第34頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三例1：

如圖，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D。（1）圖中有幾個直角三角形？是哪幾個？說出它們的直角和斜邊。（2）∠1、∠2有什么關(guān)系？∠B、∠2有什么關(guān)系？為什么？∠1和∠B是不是相等？為什么？C┒ABD12┏第35頁，講稿共41頁，2023年5月2日，星期三學會了一個定理及一個推論三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于１８０°推論１：直角三角形的