新編高等數(shù)學(xué)PPT全套教學(xué)課件

第一章

函數(shù)高等數(shù)學(xué)是從研究函數(shù)開(kāi)始的。本章將在已有函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解函數(shù)概念，并介紹反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)及初等函數(shù)的主要性質(zhì)，為高等數(shù)學(xué)后續(xù)幾章的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。1高等數(shù)學(xué)-第1章函數(shù)2高等數(shù)學(xué)-第2章極限與連續(xù)3高等數(shù)學(xué)-第3章導(dǎo)數(shù)與微分4高等數(shù)學(xué)-第4章中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用5高等數(shù)學(xué)-第5章不定積分6高等數(shù)學(xué)-第6章定積分及其應(yīng)用7高等數(shù)學(xué)-第7章微分方程8高等數(shù)學(xué)-第8章無(wú)窮級(jí)數(shù)1函數(shù)及其表示法2函數(shù)的特性3初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其表示法4函數(shù)的概念是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克萊在1837年抽象出的，至今仍為人們易于接受，并且較為合理的函數(shù)概念。定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量。D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x

D，變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作因變量自變量y=f(x)數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。對(duì)應(yīng)的y值的變化范圍叫做函數(shù)的值域，記作5由函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)概念有兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則。如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，則這兩個(gè)函數(shù)就是相同的，否則是不同的。求函數(shù)定義域的常見(jiàn)方法：①分式的分母不為零；②偶次根式中被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；③對(duì)數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1，真數(shù)大于零；④實(shí)際問(wèn)題要考慮使問(wèn)題有實(shí)際意義；⑤若函數(shù)由多個(gè)式子表示，求出它們的交集。6例1-1

求下列函數(shù)的定義域：（1）解：由解得所以函數(shù)定義域?yàn)椋?）解：由解得所以函數(shù)定義域?yàn)?求函數(shù)解析式常見(jiàn)方法有定義法、待定系數(shù)法、換元法、配湊法。函數(shù)的表示方法一般有三種：公式法，圖示法，表格法。公式法也叫解析法，常用于理論研究，是我們使用最多的方法。

例1-2求，求。解：令，則，且由得。將代入中，得所以，注意：利用換元法時(shí)要考慮新變量的取值范圍。8

例1-3函數(shù)y=x2，

定義域D=(–，+)，值域W=[0，+)yxy=x2OxOy=x3y

例1-4函數(shù)y=x3，

定義域D=(–，+)，值域W=(–，+)9

例1-5函數(shù)

，定義域D

和值域W

都是除去數(shù)0

之外的全體實(shí)數(shù)，圖像為等軸雙曲線。yxOOyxy=|x|

例1-6函數(shù)，這是絕對(duì)值函數(shù)，定義域D=(–，+)，值域W=[0，+)10

例1-7符號(hào)函數(shù)

定義域D=(–，+)，值域W={–1，0，1}y=sgn

x1-1xyO11例1-8分段函數(shù)：在自變量的不同變化范圍中，用不同的解析式表示的函數(shù)。分段函數(shù)是定義域上的一個(gè)函數(shù)，不是多個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)需要分段求值，分段作圖。y=x2-1y=2x-1yxO1-1-1第二節(jié)函數(shù)的特性131.函數(shù)的有界性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)

的定義域?yàn)镈，區(qū)間

。如果存在正數(shù)M，使得對(duì)于任意

x∈I，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無(wú)界。y=f(x)XM-MyxoxM-MyoX有界無(wú)界14顯然，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界，使上述不等式成立的常數(shù)M不是唯一的，有界性體現(xiàn)在常數(shù)M的存在性。函數(shù)的有界性依賴于區(qū)間，例如：在區(qū)間（1，2）內(nèi)有界，而在區(qū)間（0，1）內(nèi)無(wú)界。函數(shù)函數(shù)的有界性還可以表述為：如果存在常數(shù)M1、M2，使得對(duì)于任意

x∈I，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界，M1

稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的下界，有界，M2

稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的上界。152.函數(shù)的單調(diào)性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)

的定義域?yàn)镈，區(qū)間

。如果對(duì)于區(qū)間I

內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1

及x2，當(dāng)x1

<

x2時(shí)，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)是單調(diào)增加的（簡(jiǎn)稱遞增）；如果對(duì)于區(qū)間I

內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1

及x2，當(dāng)x1

<

x2時(shí)，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)是單調(diào)減少的（簡(jiǎn)稱遞減）。單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。使函數(shù)保持單調(diào)的區(qū)間叫做單調(diào)區(qū)間。16xyoxyo單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)增加函數(shù)的圖像是沿x

軸正向逐漸上升的，可以用符號(hào)↗表示；單調(diào)減少函數(shù)的圖像是沿x

軸正向逐漸下降的，可以用符號(hào)↘表示。例如：判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有觀察圖像法、定義法、求導(dǎo)法等。函數(shù)y=x3，在區(qū)間(–，+)上↗；而函數(shù)y=x2，在區(qū)間(–，0)上↘，在區(qū)間(0，+)上↗。173.函數(shù)的奇偶性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（即若x∈D，則-x∈D），如果對(duì)于任意

x∈D，有f(-

x)=f(x)則稱f(x)為偶函數(shù)；f(-

x)=-f(x)則稱f(x)為奇函數(shù)。yxOx–xyxOx–x18奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的，偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱的。兩個(gè)奇函數(shù)之和仍是奇函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)之和仍是偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)之積是偶函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)之積也是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積是奇函數(shù)。

例如：y=x3、y=sinx、y=tanx是奇函數(shù)；

y=x2

、y=cosx是偶函數(shù)。

而有：y=x3+sinx是奇函數(shù)；

y=x2+cosx是偶函數(shù)；

y=x3sinx、y=x2cosx都是偶函數(shù)；y=x3cosx是奇函數(shù)。194.函數(shù)的周期性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈。如果存在一個(gè)不為零的實(shí)數(shù)T，使得對(duì)于任意的

x∈D，有

x±T∈D，且f(x)

=f(x±T)

恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期。

例如：y=sinx、y=cosx是以2π

為周期的周期函數(shù)；

y=tanx是以π

為周期的周期函數(shù)。上述四種特性中，有界性和單調(diào)性是函數(shù)的局部特性，奇偶性和周期性是函數(shù)的整體特性。這四種特性是從不同角度來(lái)研究函數(shù)的。第三節(jié)初等函數(shù)21一、反函數(shù)在函數(shù)關(guān)系中，自變量和因變量的地位往往是相對(duì)的，可以把任意一個(gè)變量看作是自變量或因變量。定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃。如果對(duì)于W中的每一個(gè)

y，都有唯一的

x∈D，使得

f(x)

=y

，此時(shí)得到一個(gè)定義在W上的新函數(shù)，此函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù)，記作而y=f(x)稱為直接函數(shù)。由定義可見(jiàn)，反函數(shù)的定義域是直接函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是直接函數(shù)的定義域。22一、反函數(shù)函數(shù)的實(shí)質(zhì)在于它的定義域和對(duì)應(yīng)法則，而用什么字母表示自變量和因變量是無(wú)關(guān)緊要的。習(xí)慣上常以x

表示自變量，y

表示因變量，因此常常對(duì)調(diào)x與y，把反函數(shù)改寫(xiě)成今后提到的反函數(shù)，一般就是指這種經(jīng)過(guò)改寫(xiě)的反函數(shù)。函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。yxOy=f-1

(x)y=f(x)y=xP(a,b)Q(b,a)23一、反函數(shù)例1-9求函數(shù)（）的反函數(shù)。解：由，解得，將

x與y互換，得一般地，求y=f(x)的反函數(shù)的步驟為：（1）先從y=f(x)中解出

x=f

–1

(y)；（2）再交換x，y，同時(shí)求出新的定義域（即直接函數(shù)的值域）。24二、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是最常見(jiàn)、最基本的函數(shù)?；境醯群瘮?shù)包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。1.常數(shù)函數(shù)（C

為常數(shù)）y=Cy

xOC稱為常數(shù)函數(shù)。其定義域?yàn)?–，+)，

值域?yàn)閧C}。圖像為一條垂直于y

軸的直線。函數(shù)25二、基本初等函數(shù)2.冪函數(shù)（k

為常數(shù)）稱為冪函數(shù)。對(duì)于任意的k，xk

在(0，+)內(nèi)都有定義；對(duì)于不同的k，xk的定義域有所不同。

冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（1，1）。函數(shù)O11y=xy=x2xy26二、基本初等函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)（a

為常數(shù)且a>0，a

≠1）稱為指數(shù)函數(shù)。其定義域?yàn)?–，+)，

值域?yàn)?0，+)。函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（0，1）。函數(shù)yxO(0,1)y=axa>1y=ax0<a<1當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)ax

單調(diào)減少；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)ax

單調(diào)增加。特別的，當(dāng)a=e

時(shí)，指數(shù)函數(shù)為y=ex

（不提底數(shù)時(shí)默認(rèn)特指）。27二、基本初等函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)（a

為常數(shù)且a>0，a

≠1）稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其定義域?yàn)?0，+)，

值域?yàn)?–，+)。函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（1，0）。函數(shù)當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)logax

單調(diào)減少；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)logax

單調(diào)增加。特別的，當(dāng)a=e

時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為y=lnx

（不提底數(shù)時(shí)默認(rèn)特指）。yxO(1,0)y=logaxa>1y=logax

0<a<128二、基本初等函數(shù)5.三角函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx的定義域?yàn)?–，+)，

值域?yàn)閇–1，1]。它是奇函數(shù)，是周期為2π

的周期函數(shù)。三角函數(shù)有六個(gè)，它們是正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)secx，余割函數(shù)cscx。yx-11余弦函數(shù)y=cosx的定義域?yàn)?–，+)，

值域?yàn)閇–1，1]。它是偶函數(shù)，是周期為2π

的周期函數(shù)。yx-1129二、基本初等函數(shù)正切函數(shù)y=tanx的定義域?yàn)椋?/p>

值域?yàn)?–，+)。它是奇函數(shù)，是周期為π

的周期函數(shù)。余切函數(shù)y=cotx的定義域?yàn)椋?/p>

值域?yàn)?–，+)。它是奇函數(shù)，是周期為π

的周期函數(shù)。yxyx30二、基本初等函數(shù)6.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)y=arcsinx是y=sinx的反函數(shù)，其定義域?yàn)閇–1，1]，值域?yàn)?，是單調(diào)增加的奇函數(shù)。yxO1-1反余弦函數(shù)y=arccosx是y=cosx（x∈[0，π]）的反函數(shù)，其定義域?yàn)閇–1，1]，值域?yàn)閇0，π]，是單減函數(shù)。1-1yxO31二、基本初等函數(shù)反正切函數(shù)y=arctanx是y=tanx的反函數(shù)，其定義域?yàn)?–，+)，值域?yàn)椋菃握{(diào)增加的奇函數(shù)。yxOxyO反余切函數(shù)y=arccotx是y=cotx（x∈(0，π)

）的反函數(shù)，其定義域?yàn)?–，+)，值域?yàn)?0，π)

，是單減函數(shù)。32三、復(fù)合函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù)就是基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的加減乘除四則運(yùn)算得到的函數(shù)。例如就是簡(jiǎn)單函數(shù)。而若設(shè)

y=u3

，u=1+2x，則后者代入前者可得函數(shù)

定義設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)镈，而函數(shù)u=φ(x)的值域?yàn)閆

；若D

∩

Z，則稱函數(shù)y=f

[φ(x)]為變量x

的復(fù)合函數(shù)。此函數(shù)即為由

y=u3

、u=1+2x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。33三、復(fù)合函數(shù)解：（1）復(fù)合函數(shù)可以看作由簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成，其定義域?yàn)閇–1，1]。例1-10將復(fù)合函數(shù)分解成簡(jiǎn)單函數(shù)：

（1）；（2）及

（2）復(fù)合函數(shù)可以看作由簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成，其定義域?yàn)?–，+)。及注意：不是任何兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。34三、復(fù)合函數(shù)解：（1）復(fù)合函數(shù)可以看作由下面三個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成：例1-11將復(fù)合函數(shù)分解成簡(jiǎn)單函數(shù)：

（1）；（2）

（2）復(fù)合函數(shù)可以看作由下面四個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成：復(fù)合函數(shù)不僅可以由兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成，也可以由三個(gè)或三個(gè)以上的簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成。，，，，，

這種將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合，在后面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中是十分重要的。

35三、復(fù)合函數(shù)

定義

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并且可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

例如等都是初等函數(shù)。而分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，如符號(hào)函數(shù)y=sgnx就不是初等函數(shù)。絕對(duì)值函數(shù)函數(shù)y=|x|雖可分段表示，但由于故仍是初等函數(shù)。今后我們遇到的函數(shù)有許多不是初等函數(shù)，但在本課程中具體討論的大都是初等函數(shù)。Thank!第二章

極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)是研究函數(shù)變化性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科，極限理論是基礎(chǔ)，極限方法是基本方法，高等數(shù)學(xué)的重要概念都是通過(guò)極限來(lái)定義的。本章介紹極限的概念、性質(zhì)及運(yùn)算法則，在此基礎(chǔ)上建立函數(shù)連續(xù)的概念，討論連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。1數(shù)列的極限2函數(shù)的極限3無(wú)窮小與無(wú)窮大4極限的運(yùn)算法則5兩個(gè)重要極限6函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)數(shù)列的極限40極限的概念是由于求某些問(wèn)題的精確解而產(chǎn)生的，我們先介紹古代數(shù)學(xué)家劉徽（魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家），利用圓的內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓的面積的方法——割圓術(shù)。設(shè)有一圓，先做內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2，再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3，依次逐漸將邊數(shù)加倍。這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：這就是一個(gè)數(shù)列。“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。一、數(shù)列的概念A(yù)1，A2，A3，……，An，……41一般地說(shuō)，按自然數(shù)1，2，3，……編號(hào)依次排列的一列數(shù)稱為一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。其中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)，xn，稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。通項(xiàng)為xn

的數(shù)列可以簡(jiǎn)記為數(shù)列{xn}。數(shù)列{xn}可以看成自變量為正整數(shù)的函數(shù)：一、數(shù)列的概念x1，x2，x3，……，xn，……在幾何上，數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1，x2

，x3，……，

xn

，……42例如，以下都是數(shù)列：一、數(shù)列的概念一般項(xiàng)是一般項(xiàng)是一般項(xiàng)是43對(duì)于數(shù)列，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，它能否無(wú)限趨向于一個(gè)常數(shù)，如果能的話，這個(gè)常數(shù)又是什么，如何求出？二、數(shù)列極限的定義割圓術(shù)中的數(shù)列A1，A2，A3，……，

An，……，從其幾何意義上可知，隨著n無(wú)限增大，

An

的值也逐漸增大，并且無(wú)限的接近圓的面積A。定義

設(shè)有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，當(dāng)n

無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于a

，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a

，記作如果這樣的常數(shù)a不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散?；颍ǎ?4二、數(shù)列極限的定義（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；例2-1觀察下列數(shù)列{xn}的極限：解：（1）；（2）；（3）發(fā)散；（4）；（5）當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列發(fā)散（無(wú)限增大）；（6）45為了方便起見(jiàn)，有時(shí)也將當(dāng)n→∞

時(shí)|

xn|

無(wú)限增大的情況說(shuō)成是數(shù)列{xn}趨向于∞，或稱其極限為∞（但這不表示數(shù)列是收斂的），記作二、數(shù)列極限的定義或（）如果當(dāng)n足夠大時(shí)能夠限定xn的正負(fù)，且當(dāng)n→∞

時(shí)|

xn|

無(wú)限增大，則可記作或（）例如46下面給出數(shù)列極限的嚴(yán)格定義（ε—N

定義）：二、數(shù)列極限的定義恒成立，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a；如果這樣的常數(shù)a

不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散。數(shù)列{xn}收斂于a

的幾何意義為：對(duì)于任意給定的ε>0

，當(dāng)n>N時(shí)，所有的點(diǎn)xn

落在（a–ε，a+ε）內(nèi)，數(shù)列中只有有限個(gè)點(diǎn)（至多只有N個(gè)）落在其外。定義

設(shè)有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)ε

（無(wú)論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式xx2xN+2xN

+1aa+a-47性質(zhì)1（極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。三、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{xn}一定有界。推論

無(wú)界數(shù)列一定是發(fā)散的。注意：數(shù)列有界數(shù)列收斂的必要而非充分條件。如數(shù)列{(-1)n+1

}有界，但卻是散數(shù)列。

第二節(jié)函數(shù)的極限49數(shù)列是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)，它的極限只是一種特殊的整標(biāo)函數(shù)的極限。

現(xiàn)在我們討論定義在實(shí)數(shù)集合上的一般的函數(shù)的極限。關(guān)于函數(shù)的極限，我們主要討論兩種情形：（1）自變量x

的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大或者說(shuō)趨于無(wú)窮大（記作x→∞）時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值

f(x)

的總的變化趨勢(shì)；（2）自變量x

無(wú)限接近于有限值x0

或者說(shuō)趨于有限值x0（記作x→

x0

）時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(x)

的總的變化趨勢(shì)；50定義

設(shè)函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M

為某一正數(shù)）時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A，當(dāng)|x|

無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)

無(wú)限的接近于A

，則稱A為函數(shù)f(x)

當(dāng)x→∞時(shí)的極限，或簡(jiǎn)稱為f(x)

在無(wú)窮大處的極限，記作一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限考慮函數(shù)，當(dāng)|x|

無(wú)限增大時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y

就無(wú)限的趨近于0

，我們稱當(dāng)x

趨于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)以0

為極限?；颍ǎ┤绻@樣的常數(shù)A

不存在，則稱當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)

沒(méi)有極限（或稱極限不存在）。51定義

設(shè)函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M為某一正數(shù)）時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么小），總存在正整數(shù)X，使得當(dāng)

|x|

>X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式類似于數(shù)列的極限，也可以給出嚴(yán)格的ε—X

定義：一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限如果定義中限制

x只取正值或者只取負(fù)值，我們就分別記為或稱為f(x)在正無(wú)窮大處或負(fù)無(wú)窮大處的極限。則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限。52對(duì)于一些簡(jiǎn)單函數(shù)，通過(guò)觀察函數(shù)值或圖形就可以得到函數(shù)當(dāng)

x→∞時(shí)的極限，如：一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義中的

|x|

>X如果改為x

>X（x<–X），就可得到

f(x)在正無(wú)窮大處或負(fù)無(wú)窮大處的極限。于是容易得到：一般來(lái)講，如果（或），則直線

y=A就是函數(shù)y=f(x)的圖像的水平漸近線。53注意：定義不要求f(x)

的在點(diǎn)

x0

有定義，因?yàn)楫?dāng)x→x0時(shí)x≠x0

。二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

的附近有定義，若存在常數(shù)A，當(dāng)x無(wú)限趨向于x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限，記作或（）如果這樣的常數(shù)A不存在，則稱當(dāng)x→x0

時(shí)函數(shù)f(x)沒(méi)有極限（或稱極限不存在）。上述定義也可以解釋為：只要x與x0足夠接近（即|x–x0|足夠?。?，就可以使f(x)

與A任意接近（即|f(x)

–A|任意?。?。54點(diǎn)a稱為這個(gè)鄰域的中心，δ

稱為這個(gè)鄰域的半徑。并且可以看出，U(a，δ

)也就是以點(diǎn)

a為中心，長(zhǎng)度為2δ

的開(kāi)區(qū)間(a–δ，a+δ

)。二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義

設(shè)a與δ

是兩個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)集{x

||x–a|<δ}稱為點(diǎn)a

的

δ

鄰域，記作U(a，δ

)，即為了闡述函數(shù)的局部性態(tài)，還經(jīng)常用到鄰域的概念，它表示某點(diǎn)附近的所有點(diǎn)的集合。aa–δa+δxaa–δa+δx55二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限

U(a，δ

)表示與點(diǎn)

a的距離小于δ

的點(diǎn)的全體。有時(shí)用到的鄰域需要把中心去掉，將U(a，δ

)的中心a去掉后，稱為點(diǎn)a

的去心δ

鄰域，記作由此，也可以給出函數(shù)在一點(diǎn)處極限的嚴(yán)格的ε—δ

定義：定義

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0

的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么?。?，總存在正整數(shù)δ，使得當(dāng)

0<|x–x0

|

<δ

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限。56二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限其幾何意義為：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ

，當(dāng)x落在x0

的去心δ

鄰域內(nèi)時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖形完全落在以為y=A中心線，寬為2ε

的帶狀區(qū)域內(nèi)。例2-2對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可以根據(jù)觀察判斷出它的極限：y=f(x)A+

AA–yx

x0–x0

x0

+O（1）（C為常數(shù)）；（2）；（3）（4）57前面給出的x→

x0

時(shí)函數(shù)f(x)的極限，自變量x是從左右兩側(cè)趨近于的，但有時(shí)我們只能或只需考慮x是僅從左側(cè)趨近于x0（即x<

x0

）的情形，或是僅從右側(cè)趨近于x0（即x>

x0

）的情形，為此，通常將類似可以定義右極限為三、單側(cè)極限

x<

x0

時(shí)，x→

x0

時(shí)的情況記作

x>

x0

時(shí)，x→

x0

時(shí)的情況記作定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

的左側(cè)附近有定義，若存在常數(shù)A，使得當(dāng)x從左側(cè)無(wú)限趨向于x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0

時(shí)的左極限，記作58左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。右極限為三、單側(cè)極限定理

當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)在點(diǎn)x0處的左、右極限存在且都等于

A，即例2-3設(shè)，求1Oxy解左極限為所以59因此；又由于三、單側(cè)極限例2-4設(shè)，討論x→0

時(shí)及x→1

時(shí)f(x)的極限。解由于，所以x→1

時(shí)f(x)的極限不存在，或稱不存在。60性質(zhì)1（函數(shù)極限的唯一性）如果存在，則極限唯一。性質(zhì)2（有極限函數(shù)的局部有界性）如果存在，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有界，即存在常數(shù)M，使得在點(diǎn)x0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有第三節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大62一、無(wú)窮小無(wú)窮小的概念在極限的研究中有及其重要的作用。定義在自變量x的某個(gè)變化過(guò)程中，若函數(shù)

f(x)的極限為零，則稱f(x)在該變化過(guò)程中為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。例2-5因?yàn)椋院瘮?shù)是當(dāng)x→∞時(shí)的無(wú)窮小。例2-6因?yàn)椋院瘮?shù)(x–

1)是當(dāng)x→1

時(shí)的無(wú)窮小。例2-7因?yàn)?，所以函?shù)sinx

是當(dāng)x→0

時(shí)的無(wú)窮小。注意：不要把無(wú)窮小與絕對(duì)值很小的數(shù)混為一談，無(wú)窮小是一個(gè)以0為極限的函數(shù)，能作為無(wú)窮小的常數(shù)只有0，其它任何常數(shù)，無(wú)論其絕對(duì)值多么小，也不是無(wú)窮小。63一、無(wú)窮小下面定理說(shuō)明了無(wú)窮小與函數(shù)極限的密切關(guān)系：由無(wú)窮小的定義，不難理解無(wú)窮小的下列性質(zhì)：性質(zhì)1

有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小。性質(zhì)2

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。性質(zhì)3

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。推論

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。定理在自變量x的某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)

f(x)有極限A的充分必要條件為：f(x)可以表示為A與一個(gè)同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小

的和，即64一、無(wú)窮小注意：無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和不一定是無(wú)窮?。粌蓚€(gè)無(wú)窮小的商不一定是無(wú)窮小。例2-8求極限解：由于，，所以例2-9求極限解：由于，，所以65二、無(wú)窮小的比較兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小，但無(wú)窮小的商就不易確定了?？梢?jiàn)兩個(gè)無(wú)窮小的商，可以是無(wú)窮小，可以是無(wú)窮大，也可以是常數(shù)或極限為常數(shù)的變量，這是因?yàn)闊o(wú)窮小在趨于零的過(guò)程中快慢不同。例如，當(dāng)x→0

時(shí)，x，2x，x2，x3，x

+x2都是無(wú)窮小，而此時(shí)為了比較無(wú)窮小，我們引入無(wú)窮小的階的概念。66二、無(wú)窮小的比較定義

設(shè)及是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且，則

（1）如果，則稱是比高階的無(wú)窮小，記作；

（2）如果，則稱是比低階的無(wú)窮?。?/p>

（3）如果，則稱與是同階的無(wú)窮小；

（4）如果，則稱與是等價(jià)無(wú)窮小，記作。顯然，等價(jià)無(wú)窮小是同階無(wú)窮小的特殊情形。67二、無(wú)窮小的比較由定義可見(jiàn)，當(dāng)x→0

時(shí)，x2是x的高階無(wú)窮小，即x2=o(x)

，而x2是x3的低階無(wú)窮小，x與2x是同階無(wú)窮小。關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，有下面定理：定理

在自變量同一變化過(guò)程中，如果，，且存在，則證68二、無(wú)窮小的比較求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可以用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替；在求分式的極限時(shí)，分子及分母中的無(wú)窮小因子也可以用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替。如果用來(lái)代替的無(wú)窮小選取適當(dāng)?shù)脑挘梢允褂?jì)算簡(jiǎn)化。在后面的極限計(jì)算中我們會(huì)遇到利用等價(jià)無(wú)窮小代換來(lái)求極限的例子。需要注意的是，當(dāng)分子或分母是若干項(xiàng)的和或差時(shí)，一般不能對(duì)其中某一項(xiàng)作等價(jià)無(wú)窮小的代換。69三、無(wú)窮大（1）limf(x)=∞并不表示f(x)有極限，無(wú)窮大“∞”不是數(shù)，只是一個(gè)符號(hào)；

（2）無(wú)窮大是無(wú)界函數(shù)，但是無(wú)界函數(shù)不一定是無(wú)窮大；

（3）無(wú)窮大是一個(gè)絕對(duì)值無(wú)限大的變量，任何絕對(duì)值很大的常數(shù)都不是無(wú)窮大。定義在自變量x的某個(gè)變化過(guò)程中，若函數(shù)

f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱f(x)在該變化過(guò)程中為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大，可以記作limf(x)=∞。例如，當(dāng)x→0

時(shí)，

，cotx

都是無(wú)窮大；當(dāng)x→0+

時(shí)，

，lnx

都是無(wú)窮大；當(dāng)x→+∞

時(shí)，x3，ex

，lnx

都是無(wú)窮大。注意70三、無(wú)窮大定義如果（或），則直線x=x0是函數(shù)y=

f(x)的圖像的鉛直漸近線。例2-10因?yàn)?，所以直線x=1是曲線的鉛直漸近線。無(wú)窮大與無(wú)窮小有如下關(guān)系：定理

在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小；反之，如果f(x)為無(wú)窮小且f(x)≠0，則為無(wú)窮大。例2-11當(dāng)x→0

時(shí)，x3是無(wú)窮小，而是無(wú)窮大。例2-12當(dāng)x→∞

時(shí)，x

+1是無(wú)窮大，而是無(wú)窮小。第四節(jié)極限的運(yùn)算法則72一、極限的四則運(yùn)算在下面的討論中，極限過(guò)程的自變量的趨向沒(méi)有標(biāo)出，表示對(duì)任何一個(gè)自變量的變化過(guò)程都成立，只要在同一問(wèn)題中自變量的趨向相同即可。并且這些運(yùn)算法則對(duì)于數(shù)列的極限也是同樣適用的。注意：定理中的（1）（2）都可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，但不可應(yīng)用到無(wú)窮多個(gè)數(shù)列的情形。定理

如果，，則

（1）

（2）

（3）當(dāng)B≠0時(shí)，73一、極限的四則運(yùn)算由（2）可得下面推論：下面計(jì)算一些函數(shù)的極限。推論如果limf(x)存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，則

（1）

（2）例2-13求解74一、極限的四則運(yùn)算由上例可以看出，求多項(xiàng)式函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，只要用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即例2-14求解75一、極限的四則運(yùn)算例2-15求解這里分母的極限不為零，于是可見(jiàn)，求有理分式函數(shù)（其中P(x)，Q(x)都是多項(xiàng)式函數(shù)）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，如果Q(x0)≠0，也只需用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即76一、極限的四則運(yùn)算例2-16求解這里分母的極限不為零，于是例2-17求解x→3時(shí)，分子分母的極限都為零，不能分別取極限再求商，注意到分子分母都具有公因子x–3，而x→3

時(shí)x≠3，可以消去公因子后再求極限，于是注意：對(duì)于這種Q(x0)=0且P(x0)=0的有理分式函數(shù)，在求當(dāng)x→x0時(shí)的極限時(shí)，分子分母一定都具有公因子x–x0，由于當(dāng)x→x0時(shí)x≠x0，所以分子分母可以消去不為零的公因子后再求極限。77例2-18求解一、極限的四則運(yùn)算78一、極限的四則運(yùn)算例2-19求解當(dāng)x→1

時(shí)，分母的極限為零，分子的極限為3，不能用商的極限運(yùn)算法則，但由于于是由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系可得79一、極限的四則運(yùn)算例2-20求解注意：對(duì)于Q(x0)=0且P(x0)≠0的有理分式函數(shù)，求當(dāng)x→x0時(shí)的極限時(shí)，可以先求其倒數(shù)的極限，再利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系得到結(jié)果。再來(lái)看一些當(dāng)x→∞時(shí)有理分式函數(shù)的極限。80一、極限的四則運(yùn)算例2-21求解由于分子分母的極限都是∞，所以不能用商的極限運(yùn)算法則。做適當(dāng)變形，即分子分母同時(shí)除以它們的最高次冪x3，然后取極限，得81一、極限的四則運(yùn)算例2-22求解分子、分母同時(shí)除以x3，然后取極限，得82一、極限的四則運(yùn)算例2-23求解由上例，以及無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系可得一般地，對(duì)于當(dāng)x→∞時(shí)有理分式函數(shù)的極限，當(dāng)a0≠0，b0≠0，m，n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有以下結(jié)論：83二、復(fù)合函數(shù)求極限對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)和有理分式函數(shù)f(x)，只要f(x)在點(diǎn)x0處有定義，則當(dāng)x→x0時(shí)f(x)的極限值就是f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值。這里我們指出，一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)處都具有這樣的性質(zhì)，即如果f(x)是基本初等函數(shù)，定義域?yàn)镈，而x∈D，則例如，f(x)=sinx是基本初等函數(shù)，而點(diǎn)在它的定義域內(nèi)，所以下面給出一個(gè)復(fù)合函數(shù)求極限的定理。84二、復(fù)合函數(shù)求極限定理

設(shè)函數(shù)u=

φ(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限等于a，即，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=a

處有定義且，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在且等于f(a)，即定理表明，滿足定理?xiàng)l件的情況下，函數(shù)符號(hào)可以和極限符號(hào)交換次序。例2-24求解85二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-25求解例2-26求解86二、復(fù)合函數(shù)求極限注意：在求一些無(wú)理分式函數(shù)的極限時(shí)，如果分子分母都是趨于零的，可以通過(guò)先進(jìn)行有理化，再約去公因子的方法求極限。例2-27求解87二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-28求解雖然此題不是無(wú)理分式，但由于相減的兩項(xiàng)都是趨于無(wú)窮的，因此也需要用有理化的方法來(lái)做。88二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-29求解此題相減的兩項(xiàng)都是趨于無(wú)窮大的，因此需要通分后再計(jì)算。第五節(jié)兩個(gè)重要極限90一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限準(zhǔn)則I

設(shè)在變量的某一變化過(guò)程中，對(duì)于函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)，有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=

limh(x)=A，則lim

f(x)=A。這個(gè)準(zhǔn)則對(duì)于數(shù)列的極限也是同樣適用的。利用這個(gè)準(zhǔn)則，可以證下列重要極限：91一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限證明：如圖2-6，設(shè)單位圓O，圓心角∠AOB=x，過(guò)A點(diǎn)作圓的切線，與OB的延長(zhǎng)線交于D點(diǎn)，再作BC⊥OA，于是可得：，，這里（

）

顯然：

?AOB的面積<扇形AOB的面積<?AOD的面積而?AOB的面積扇形AOB的面積?AOD的面積92一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限從而有（），即（）兩邊同時(shí)除以sinx，得，于是由于cosx與都是偶函數(shù)，則上式當(dāng)時(shí)也成立。（）因?yàn)?，，所以由?zhǔn)則I93一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限對(duì)于第一個(gè)重要極限，其一般形式為：（方框□代表同一變量）例2-30求解例2-31求解94例2-32求解例2-33求解一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限95例2-34求解利用變量代換，令x=sint，則當(dāng)x→0

時(shí)t→0，且arcsinx=t，于是類似的，也可以得到由第一個(gè)重要極限，以及上面幾個(gè)例子，我們得到了一些常用的等價(jià)無(wú)窮小：一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）96例2-35求解由于當(dāng)x→0

時(shí)，sin3x~3x，tan5x~5x，所以例2-36求解由于當(dāng)x→0

時(shí)，sinx~x，arctanx~x，所以一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限97二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限如果數(shù)列{xn}滿足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1

≤…，則稱數(shù)列{xn}是單調(diào)增加數(shù)列；如果數(shù)列{xn}滿足x1≥x2≥…≥xn

≥xn+1

≥…，則稱數(shù)列{xn}是單調(diào)減少數(shù)列。單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。準(zhǔn)則II

如果無(wú)窮數(shù)列{xn}單調(diào)且有界，則數(shù)列必收斂。前面曾經(jīng)講過(guò)，收斂數(shù)列必有界，但有界數(shù)列不一定收斂，現(xiàn)在由準(zhǔn)則II說(shuō)明：如果數(shù)列有界并且是單調(diào)的，就一定收斂。利用這個(gè)準(zhǔn)則，可以證明下列重要極限：98二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限考慮數(shù)列的情形，設(shè)，由下表可以看出，xn是單調(diào)增加的，且越來(lái)越接近某一常數(shù)：可以證明無(wú)窮數(shù)列{xn}是單調(diào)增加且有界的（小于3），所以是存在的，這個(gè)極限是無(wú)理數(shù)，通常用記號(hào)e

來(lái)表示，即1210100100010000100000……22.252.593742.704812.716922.718142.71827……99二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限無(wú)理數(shù)e的值為2.71828182845904523536…，以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)?？梢宰C明，當(dāng)x趨向于+∞或–∞時(shí)，函數(shù)的極限都存在且都等于e，所以利用變量代換，令，則當(dāng)x→∞時(shí)，z→0，于是可得100二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限對(duì)于第二個(gè)重要極限，其一般形式為：例2-37求解（三角?代表同一變量）101二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限例2-38求解102二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限例2-39求解103二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限例2-40求解104二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限例2-41求解例2-42求解令

u=ex–1，即x=ln(1+u)，則當(dāng)x→0

時(shí)，u→0，于是由上面兩例，我們又得到了常用的等價(jià)無(wú)窮?。簂n(1+x)~x（x→0），ex–1~x

（x→0）105三、冪指函數(shù)的極限形如f(x)g(x)（其中f(x)>0）的函數(shù)叫做冪指函數(shù)。第二個(gè)重要極限就是冪指函數(shù)的極限。冪指函數(shù)的極限的一般計(jì)算方法為：在自變量同一變化過(guò)程中，如果limf(x)=A>0，limg(x)=B，則106三、冪指函數(shù)的極限例2-43求解107三、冪指函數(shù)的極限例2-44求解108三、冪指函數(shù)的極限例2-45求解第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性110一、函數(shù)連續(xù)性的概念自然界中有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化，行星的運(yùn)動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等，都是連續(xù)變化的。這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性，高等數(shù)學(xué)中所討論的主要是連續(xù)變化的量。我們先引入改變量的概念，設(shè)變量u從初值u1

改變到終值u2，終值與初值的差u2

–u1就叫做變量u的改變量（也叫增量），記作注意：?u是一個(gè)整體記號(hào)，是變量u的改變量，它可以是正的，也可以是負(fù)的。但自變量的改變量不能為零。下面討論函數(shù)的連續(xù)性。111一、函數(shù)連續(xù)性的概念定義

設(shè)函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x=x–x0趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的增量?y=f(x0+?x)

–f(x0)也趨于零，即則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)。如果記x=x0+?x，則f(x0+?x)

=f(x)，而?x→0等價(jià)于x→x0，?y→0（即f(x)

–f(x0)→0）等價(jià)于f(x)

→

f(x0)

，因此函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)的定義也可敘述如下：或112一、函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)。定義

設(shè)函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，即由定義可知，函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)則f(x)

在點(diǎn)

x0

處必有極限，但f(x)

在點(diǎn)

x0

處有極限時(shí)不一定在點(diǎn)

x0

處連續(xù)，甚至f(x)

在點(diǎn)

x0

處可能沒(méi)有定義。相應(yīng)于函數(shù)左、右極限的概念，給出函數(shù)左、右連續(xù)的概念。113一、函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處左（右）連續(xù)。如果函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0處及其左（右）側(cè)附近有定義，且滿足顯然可見(jiàn)，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)既是左連續(xù)的，又是右連續(xù)的。在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間包括端點(diǎn)，則函數(shù)在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。114一、函數(shù)連續(xù)性的概念現(xiàn)在此結(jié)論可以表述為：在前面我們?cè)赋?，基本初等函?shù)f(x)

在其定義域內(nèi)的任何一點(diǎn)

x0處都滿足基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處都是連續(xù)的。也就是說(shuō)，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。如果函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，那么該點(diǎn)也叫做間斷點(diǎn)。定義

如果函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0不連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0間斷。相應(yīng)的點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。115一、函數(shù)連續(xù)性的概念由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念可知，設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0的某鄰域內(nèi)（至多除了點(diǎn)x0本身）有定義，如果f(x)

在點(diǎn)

x0處有下列情形之一，則點(diǎn)x0是f(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)。（1）在點(diǎn)

x0處沒(méi)有定義，即f(x0)不存在；通常把f(x)

在點(diǎn)

x0的左、右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)，除第一類間斷點(diǎn)以外的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)。（2）不存在；（3）在點(diǎn)

x0處有定義，且存在，但是。116二、初等函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義及極限的四則運(yùn)算，容易知道：定理設(shè)函數(shù)f(x)

與g(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù)，則，在點(diǎn)

x0處有（1）f(x)±g(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù)；（2）f(x)·g(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù)；（3）

當(dāng)g(x0)≠0

時(shí)，在點(diǎn)

x0處連續(xù)；另外，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)求極限的法則，也可以得到：定理

設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，且

φ(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=u0處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點(diǎn)x=x0處也是連續(xù)的。117二、初等函數(shù)的連續(xù)性最后，我們也指出：?jiǎn)握{(diào)增加（減少）的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加（減少）且連續(xù)的。前面已經(jīng)指出，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，現(xiàn)在又給出了連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，因此可以得到重要結(jié)論：

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。有了初等函數(shù)的連續(xù)性，當(dāng)我們求初等函數(shù)在其定義域內(nèi)某點(diǎn)的極限時(shí)，只需求函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。118二、初等函數(shù)的連續(xù)性例2-46設(shè)，是連續(xù)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a

的值。解由于函數(shù)3–cosx在(–∞，0)上連續(xù)，ae2x

在(

0，+∞)上連續(xù)，所以只需考察函數(shù)

f(x)在分段點(diǎn)x=0

處的連續(xù)性。由于而且f(0)=a

因此，如果

f(x)在點(diǎn)x=0

處連續(xù)，只需，即a=2119三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有一些重要性質(zhì)，包括有界性定理、最值定理、介值定理等。定理（有界性定理）若函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在閉區(qū)間[a，b]上一定有界。定理（最大值最小值定理）若函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在閉區(qū)間[a，b]上一定有最大值和最小值。如果x0使f(x0)=0，我們就稱x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。定理（零點(diǎn)定理）若函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。120三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理也可表述為：

如果函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ

<b），使得從幾何上看，定理表示：如果連續(xù)的曲線y=f(x)的兩個(gè)端點(diǎn)位于x軸的不同側(cè)，則曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。f(ξ

)=0（a<ξ

<b）ab