福建省莆田市云峰初級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

福建省莆田市云峰初級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線x+y=a與圓x2+y2=1交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．±1 D．±2參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；方程思想；演繹法；直線與圓．【分析】先由向量關(guān)系推出OA⊥OB，結(jié)合直線方程推出A、B兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，然后求得a的值．【解答】解：由滿足，得，因?yàn)橹本€x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上并且在圓上；所以（0，1）和（0，﹣1）點(diǎn)都適合直線的方程，a=±1；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，向量的模的有關(guān)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．2.等比數(shù)列中，，則“”是“”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B3.函數(shù)的大致圖象是

參考答案：A4.閱讀圖中所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（

）

A．123

B.38C．11

D．3參考答案：C5.已知平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量，，它們的夾角是60°，與、向量的夾角都為30°，且，若，則值為（

）A. B. C.2 D.4參考答案：D【分析】由在的角平分線上，得到，即，再由，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算列出方程，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得在的角平分線上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中解答中熟記平面向量的基本定理，得到，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.下列命題中錯(cuò)誤的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β參考答案：D7.關(guān)于的不等式()的解集為,則的最小值是A． B． C． D．參考答案：C8.函數(shù)，若，，，則有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D，在上為減函數(shù)，且時(shí)，時(shí)，，且，，且，且，，在上單調(diào)遞減，，即，故選D.

9.已知集合，則滿足條件的事件的概率為

；集合的元素中含奇數(shù)個(gè)數(shù)的期望為

．參考答案：

(1).0

(2).2點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值”.常利用排列組合、枚舉法、概率公式求概率.10.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則滿足的正整數(shù)的值為（

）

A.10

B.11

C.12

D.13參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則sinx·siny的最小值為_(kāi)_________。參考答案：12.若有以下命題：

①若，則；②圖象與圖象相同；③在區(qū)間上是減函數(shù)；④圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.其中正確的命題是

.參考答案：②③④13.已知等比數(shù)列{an}中，a3=4，a6=，則公比q=．參考答案：【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a3=4，a6=，∴4q3=，則公比q=．故答案為：．14.向量滿足:,,在上的投影為,,，則的最大值是

．參考答案：

不妨設(shè)向量有相同的起點(diǎn)，終點(diǎn)分別為．由在上的投影為知，由知：在以為直徑的圓上．

故當(dāng)向量過(guò)中點(diǎn)時(shí)，其模最大，此時(shí)：=（）=，由知，在以為圓心，1為半徑的圓上，故當(dāng)共線時(shí)最大，故==15.已知的導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時(shí)，則不等式的解集是

.參考答案：令則由，可得，所以為偶函數(shù).又當(dāng)時(shí)，，即.由，得，所以，解得.16.已知，且，那么取最小值時(shí)，

．參考答案：

17.水平桌面α上放有4個(gè)半徑均為2R的球,且相鄰的球都相切(球心的連線構(gòu)成正方形).在這4個(gè)球的上面放1個(gè)半徑為R的小球,它和下面4個(gè)球恰好都相切,則小球的球心到水平桌面α的距離是

．參考答案：3R三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)

（1）若的表達(dá)式； （2）若函數(shù)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍

參考答案：解：（1）（2）x－2+0－0+↗極大↘極小↗ 上最大值為13 （3）上單調(diào)遞增 又 依題意上恒成立

①在 ②在 ③在 綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b≥0略19.（本題滿分12分）為了研究某種農(nóng)作物在特定溫度下（要求最高溫度滿足：）的生長(zhǎng)狀況，某農(nóng)學(xué)家需要在十月份去某地進(jìn)行為期十天的連續(xù)觀察試驗(yàn).現(xiàn)有關(guān)于該地區(qū)10月份歷年10月份日平均最高溫度和日平均最低溫度（單位：）的記錄如下：

(Ⅰ)根據(jù)本次試驗(yàn)?zāi)康暮驮囼?yàn)周期，寫出農(nóng)學(xué)家觀察試驗(yàn)的起始日期.(Ⅱ)設(shè)該地區(qū)今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高溫度的方差和最低溫度的方差分別為，估計(jì)的大??？（直接寫出結(jié)論即可）.(Ⅲ)從10月份31天中隨機(jī)選擇連續(xù)三天，求所選3天每天日平均最高溫度值都在之間的概率.參考答案：見(jiàn)解析考點(diǎn)：概率綜合解：（Ⅰ）農(nóng)學(xué)家觀察試驗(yàn)的起始日期為7日或8日．

（Ⅱ）最高溫度的方差大．

（Ⅲ）設(shè)“連續(xù)三天平均最高溫度值都在之間”為事件A，

則基本事件空間可以設(shè)為，共計(jì)29個(gè)基本事件

由圖表可以看出，事件A中包含10個(gè)基本事件，所以，

所選3天每天日平均最高溫度值都在之間的概率為20.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差d≠0，a1=1，且，，成等比數(shù)列．可得=×，解得d，即可得出．（2）==．利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．【解答】（1）解：設(shè)數(shù)列{an}的公差d≠0，a1=1，且，，成等比數(shù)列．∴=×，解得：=a1?a9，∴（1+2d）2=1×（1+8d），d≠0，解得d=1．∴an=1+n﹣1=n．（2）證明：==．∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn=+++…++=＜．∴Tn＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足a1=1，Sn+1=4Sn+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求證：＜2n﹣1．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】（1）由Sn+1=4Sn+1，Sn=4Sn﹣1+1，n≥2時(shí)，可得：an+1=4an，又可得a2=4a1．因此利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）利用．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】（1）解：由Sn+1=4Sn+1，Sn=4Sn﹣1+1，n≥2時(shí)，可得：an+1=4an，又a1=1，a2+a1=4a1+1，可得a2=4，∴a2=4a1．∴對(duì)于n∈N*，an+1=4an，因此數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4．∴an=4n﹣1．（2）證明：∵．∴＜1+2+22+…+2n﹣1==2n﹣1．因此＜2n﹣1．22.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為2，點(diǎn)在C上．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在x軸上的射影為M，線段AM的中點(diǎn)為N，直線BN交C于點(diǎn)P，證明：直線AB的斜率與直線AP的斜率乘積為定值．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的定值問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（I）求出C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），推出a，b，即可求解橢圓方程．（II）設(shè)A（x1，y1），P（x2，