江蘇省蘇州市醫(yī)療器械廠職業(yè)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

江蘇省蘇州市醫(yī)療器械廠職業(yè)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義在R上的函數(shù)則f(3)的值為()A.－1

B.－2

C．1

D．2參考答案：B2.已知直線和平面，且在內(nèi)的射影分別為直線和，則和的位置關(guān)系是A.相交或平行

B.相交或異面

C.平行或異面

D.相交、平行或異面參考答案：D由題意，若，則利用線面平行的判定，可知，從而在內(nèi)的射影直線和平行；若，則在內(nèi)的射影直線和相交于點(diǎn)A；若，，且直線和垂直，則在內(nèi)的射影直線和相交；否則直線和異面綜上所述，和的位置關(guān)系是相交﹑平行或異面，選D．3.設(shè)為平面，為直線，以下四組條件，可以作為的一個(gè)充分條件的是 A． B． C． D．參考答案：4.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，BC=1，CC1=2，則沿正方體表面從A點(diǎn)到C1點(diǎn)的最短距離是

（

）

A．2

B．

C．

D．

參考答案：答案：D5.已知M=，N=，若對(duì)于所有的，均有則的取值范圍是(

)Ａ.

Ｂ.（）Ｃ.[]

Ｄ.[]參考答案：C略6.湖面上飄著一個(gè)小球，湖水結(jié)冰后講球取出，冰面上留下一個(gè)半徑為，深的空穴，則取出該球前，球面上的點(diǎn)到冰面的最大距離為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】球的截面性質(zhì)G8解析：設(shè)球半徑為R，則有,解得R=10，所以球面上的點(diǎn)到冰面的最大距離為R+R－2=18cm，則選B.【思路點(diǎn)撥】一般遇到球的截面問(wèn)題，通常利用球的截面性質(zhì)尋求截面圓的半徑與球半徑的關(guān)系進(jìn)行解答.7.已知向量＝（2，1），＝（1，3），則向量2﹣與的夾角為（）A．45° B．105° C．40° D．35°參考答案：A【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，3），∴2﹣＝（3，﹣1），∴（2﹣）＝6﹣1＝5，||＝，|2﹣|＝，設(shè)量2﹣與的夾角為θ，∴cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，8.由曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為（）A．B．C．D．參考答案：9.如下圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，現(xiàn)有質(zhì)地均勻的粒子散落在矩形內(nèi)，則粒子落在內(nèi)的概率等于A．

B． C．

D．參考答案：C10.由直線,,曲線及軸所圍成的封閉圖形的面積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】定積分；微積分基本定理.

B13

解析：，故選A.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定積分的幾何意義，及微積分基本定理求解.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若存在，滿足,則稱是的一個(gè)“友好”三角形.

(i)在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（請(qǐng)寫(xiě)出符合要求的條件的序號(hào)）①；②；③.

(ii)若存在“友好”三角形，且，則另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為_(kāi)__.參考答案：②；【考點(diǎn)】解斜三角形【試題解析】(i)對(duì)①：因?yàn)樗寓俨淮嬖凇坝押谩比切危?/p>

對(duì)②：若，

同理：故②存在“友好”三角形；

對(duì)③：若滿足，則或，都不能構(gòu)成三角形，故③不存在“友好”三角形。

(ii)若存在“友好”三角形，且，或，

分析知。又所以有，

解得：．12.已知一元二次不等式的解集為{，則的解集為

.參考答案：{x|x<-1或x>1}13.下面求的值的偽代碼中，正整數(shù)的值可以為

．

參考答案：2013,2014,2015.14.計(jì)算

參考答案：15.．已知函數(shù)是偶函數(shù)，時(shí)恒成立（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），且，則不等式的解集為參考答案：略16.若數(shù)列滿足(為常數(shù)，,)，則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差，已知正數(shù)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且，，成等比數(shù)列，，設(shè)集合，取的非空子集，若的元素都是整數(shù)，則為“完美子集”，那么集合中的完美子集的個(gè)數(shù)為

．參考答案：63根據(jù)等方差數(shù)列的即時(shí)定義得，，令，則，由得可取1,2,3……6，即集合中有六個(gè)整數(shù)，于是中的完美子集的個(gè)數(shù)為個(gè)．17.（4分）已知函數(shù)f（x）=asin+cos（a∈R），且f（x）≤f（）恒成立．給出下列結(jié)論：①函數(shù)y=f（x）在[0，]上單調(diào)遞增；②將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)；③若k≥2），則函數(shù)g（x）=kx﹣f（2x﹣）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．其中正確的結(jié)論是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）參考答案：①③【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】：①=a+，由f（x）≤f（）恒成立，可得a＞0，=a+，解得a，可得f（x），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出單調(diào)性；②將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，可得y==，即可判斷出圖象的奇偶性；③利用奇函數(shù)的定義可得：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．f（0）=0．若k≥2，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=kx﹣f（2x﹣）≥2x﹣2sinx=2（x﹣sinx）＞0，無(wú)零點(diǎn)；同理x＜0時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，即可判斷出．解：①=a+=a+，∵f（x）≤f（）恒成立，∴a＞0，=a+，解得a=．∴f（x）==，由x∈[0，]，可得∈，∴函數(shù)y=f（x）在[0，]上單調(diào)遞增，①正確；②將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，可得y==，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)不是偶函數(shù)，②不正確；③f（﹣x）=﹣f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．f（0）=0．若k≥2，則當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=kx﹣f（2x﹣）=kx﹣2sinx≥2x﹣2sinx=2（x﹣sinx）＞0，無(wú)零點(diǎn)；同理x＜0時(shí)，無(wú)零點(diǎn)．綜上可得：函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故③③正確．因此只有：①③正確．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)為常數(shù)），(1）若，且函數(shù)的值域?yàn)?，求的表達(dá)式；(2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3）設(shè)且為偶函數(shù)，判斷能否大于零？參考答案：（1）由題意，得：

，解得：，所以的表達(dá)式為：.(2）

5分圖象的對(duì)稱軸為：由題意，得：解得：

(3）是偶函數(shù)，

，不妨設(shè)，則又，則大于零.

19.（本小題14分）已知函數(shù)（k∈R），（備注：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）證明：且參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B12【答案解析】(1)當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)．；(2)k≥1；（3）證明：略.解析：(1)∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）∴f′（x）=﹣k，當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）為增函數(shù)，當(dāng)k＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=當(dāng)f′（x）＜0，即1＜x＜時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)f′（x）＞0，即x＞時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，綜上所述，當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)．（2）由（Ⅰ）知，當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≤0不恒成立，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)．當(dāng)x=時(shí)，f（x）取最大值，f（）=ln≤0∴k≥1，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）（3）由（Ⅱ）知k=1時(shí)，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2∴＜1﹣，取x=3，4，5…n，n+1累加得，∵==＜=

∴+…+＜+++…+=，（n∈N，n＞1）．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范圍；（Ⅲ）由（1）可知，若k=1，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)有f（x）≤0，由此得到lnx＜x﹣2（x＞1），依次取x的值為2，3，…，n，累加后利用放縮法可證不等式成立．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在[1,2]上的單調(diào)性；（2）令函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)m，判斷m與e的大小，并說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）由已知，且①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增…………1分②當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，有兩個(gè)根，，因?yàn)?，所?°當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增…3分2°當(dāng)時(shí)，令，，解得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；…5分3°當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；……6分（2）函數(shù)則則，所以在上單調(diào)增當(dāng)，所以所以在上有唯一零點(diǎn)當(dāng)，所以為的最小值由已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則所以則…………………9分則，得令，所以則，所以所以在單調(diào)遞減，因?yàn)樗栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)所以…………………12分

21.四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求PA與平面ACE所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）要證CE∥平面PAB，只要證明CE平行于平面PAB內(nèi)的一條直線即可，由E為PD的中點(diǎn)，可聯(lián)想找PA的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF后，證明BCEF是平行四邊形即可證得答案；（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)G，連接EG，則EG∥AP，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求EG與平面ACE所成的角的正弦．連接BG交AC于O，連接OE，證得平面ACE⊥平面OEG，交于直線OE，過(guò)G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH為EG與平面ACE所成的角，即∠GEO，運(yùn)用解直角三角形，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）證明：如圖，取PA的中點(diǎn)F，連結(jié)FE、FB，則FE∥BC，且FE=AD=BC，∴BCEF是平行四邊形，∴CE∥BF，而B(niǎo)F?平面PAB，∴CE∥平面PAB；（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)G，連接EG，則EG∥AP，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求EG與平面ACE所成的角的正弦．連接BG交AC于O，連接OE，由AC⊥EG，AC⊥BG，可得AC⊥平面OEG，即有：平面ACE⊥平面OEG，交于直線OE，過(guò)G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH為EG與平面ACE所成的角，即∠GEO，由EG=1，GO=，可得EO=，可得sin∠GEO==，則PA與平面ACE所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面平行的判定，考查了求線面角的方法，解答的關(guān)鍵是通過(guò)線面垂直求得線面角，屬中檔題．22.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，Q是拋物線上的一點(diǎn)，．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)(2,0)作直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)A，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）存在，【分析】（Ⅰ）由題意可知，設(shè)，由即可求出p的值，從而得到拋物線C的方程；（Ⅱ）對(duì)直線l的斜率分情況討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知x軸上任意一點(diǎn)A（不與點(diǎn)重合），都可使得x軸平分；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由題意可得，設(shè)直線l的方程為：與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)