新教材數(shù)學蘇教版課件123復數(shù)的幾何意義

復數(shù)的幾何意義必備知識·自主學習1.復平面導思1.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與有序實數(shù)對(a,b)有怎樣的對應關系?2.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與向量有怎樣的對應關系?【思考】有些同學說,實軸上的點表示實數(shù),虛軸上的點表示虛數(shù),這句話對嗎?提示:不正確.實軸上的點都表示實數(shù);除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù),原點對應的有序實數(shù)對為(0,0),它所確定的復數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實數(shù).2.復數(shù)的幾何意義(1)對應關系:復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)___________________.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量

.因此,復數(shù)z=a+bi、復平面內的點Z(a,b)和平面向量之間的關系可用下圖表示.復平面內的點Z(a,b)為方便起見,常把復數(shù)z=a+bi說成點Z或向量,并且規(guī)定相等的向量表示同一個復數(shù).(2)本質:建立了復數(shù)與復平面上的點,復數(shù)與向量的對應關系.(3)應用:通過兩種對應關系的建立,可以直觀、有效地表示復數(shù),便于理解復數(shù)的意義.3.復數(shù)的模(1)定義:向量的模叫作復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模;(2)記法:復數(shù)z=a+bi的模記作____________;(3)公式:|z|=|a+bi|=

(a,b∈R).|z|或|a+bi|4.復數(shù)加、減法的幾何意義(1)如圖所示,

設復數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)對應的向量分別為,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是,與z1-z2對應的向量是;(2)實質:利用幾何圖形的變換解釋復數(shù)的加、減運算(數(shù)形結合);(3)應用:廣泛應用于復數(shù)的加、減運算及復數(shù)與三角形、四邊形等結合的題目.【思考】|z1-z2|的幾何意義是什么?提示:表示復數(shù)z1,z2對應的兩點Z1與Z2間的距離.即兩個復數(shù)的差的模就是復平面內與這兩個復數(shù)對應的兩點間的距離.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)在復平面內,對應于實數(shù)的點都在實軸上. ()(2)復數(shù)的模一定是正實數(shù). ()(3)復數(shù)z1>z2的充要條件是|z1|>|z2|. ()提示:(1)√.根據(jù)實軸的定義,x軸叫實軸,實軸上的點都表示實數(shù),反過來,實數(shù)對應的點都在實軸上,如實軸上的點(2,0)表示實數(shù)2.(2)×.復數(shù)的模一定是實數(shù)但不一定是正實數(shù),如:0也是復數(shù),它的模為0不是正實數(shù).(3)×.如-1>-2,但|-1|<|-2|.2.(2020·北京高考)在復平面內,復數(shù)z對應的點的坐標是(1,2),則i·z= ()【解析】選=1+2i,i·z=i(1+2i)=-2+i.3.(教材二次開發(fā):例題改編)在復平面內,復數(shù)z1=1+i與z2=1+3i分別對應向量和,其中O為坐標原點,則||等于 ()A.

B.2 C.

【解析】選B.=-=(1,3)-(1,1)=(0,2),所以||=2.關鍵能力·合作學習類型一復數(shù)與復平面上點的對應關系(數(shù)學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.復數(shù)z=cosθ+isinθ(i為虛數(shù)單位)其中θ∈

,則復數(shù)z在復平面上所對應的點位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.復數(shù)z1=1+

i和z2=1-

i在復平面內的對應點關于 ()A.實軸對稱B.一、三象限的角平分線對稱C.虛軸對稱D.二、四象限的角平分線對稱3.已知復數(shù)z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.當復數(shù)z在復平面內對應的點滿足下列條件時,求a的值(或取值范圍).(1)在實軸上;(2)在第三象限.【解析】1.選C.因為θ∈

,所以cosθ<0且sinθ<0,所以該復數(shù)所對應的點位于復平面上的第三象限.2.選A.復數(shù)z1=1+

i在復平面內的對應點Z1為(1,

).復數(shù)z2=1-

i在復平面內的對應點Z2為(1,-

).點Z1與Z2關于實軸對稱.3.復數(shù)z=(a2-1)+(2a-1)i的實部為a2-1,虛部為2a-1,在復平面內對應的點為(a2-1,2a-1).(1)若z對應的點在實軸上,則有2a-1=0,解得a=

.(2)若z對應的點在第三象限,則有解得-1<a<

.【解題策略】利用復數(shù)與點的對應解題的步驟(1)找對應關系:復數(shù)的幾何表示法即復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復平面內的點Z(a,b)來表示,是解決此類問題的根據(jù).(2)列出方程:此類問題可建立復數(shù)的實部與虛部應滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.【補償訓練】求當實數(shù)m為何值時,復數(shù)z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復平面內的對應點分別滿足下列條件:(1)位于第四象限;(2)位于x軸的負半軸上.【解析】(1)由題意,知解得

即-7<m<3.故當-7<m<3時,復數(shù)z的對應點位于第四象限.(2)由題意,知由②得m=-7或m=4.因為m=-7不符合不等式①,m=4符合不等式①,所以m=4.故當m=4時,復數(shù)z的對應點位于x軸的負半軸上.類型二復數(shù)和向量的對應關系及加減運算的幾何意義(數(shù)學抽象、直觀想象)

角度1復數(shù)與向量的對應

【典例】(1)在復平面內,O為原點,向量表示的復數(shù)為-1+2i,若點A關于直線y=-x的對稱點為B,則向量表示的復數(shù)為 ()A.-2-i B.1+2iC.-2+i D.-1+2i(2)在復平面內,把復數(shù)3-

i對應的向量按順時針方向旋轉

,所得向量對應的復數(shù)是 ()

iC.

-3i D.3+

i【思路導引】(1)根據(jù)向量的坐標,求出點A的坐標,再根據(jù)點的對稱性求點B的坐標,最后根據(jù)點B的坐標求出的坐標.(2)根據(jù)復數(shù)求出復數(shù)對應向量的坐標,再根據(jù)角的旋轉求終邊向量對應的復數(shù).【解析】(1)選C.由題意得A(-1,2),則B(-2,1),所以向量表示的復數(shù)為-2+i.(2)選B.復數(shù)對應的向量的坐標為(3,-),按順時針方向旋轉后得到新向量的坐標為(0,-2),所得向量對應的復數(shù)為-2i.【解題策略】復數(shù)與平面向量的對應關系(1)根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應關系,可知當平面向量的起點在原點時,向量的終點對應的復數(shù)即為向量對應的復數(shù),反之復數(shù)對應的點確定后,從原點引出的指向該點的有向線段,即為復數(shù)對應的向量.(2)解決復數(shù)與平面向量一一對應的問題時,一般以復數(shù)與復平面內的點一一對應為工具,實現(xiàn)復數(shù)、復平面內的點、向量之間的轉化.角度2復數(shù)加減運算的幾何意義

【典例】如圖所示,平行四邊形OABC的頂點O,A,C對應復數(shù)分別為0,3+2i,-2+4i,試求:(1)所表示的復數(shù),所表示的復數(shù);(2)所表示的復數(shù);(3)所表示的復數(shù)及的長度.【思路導引】(1)根據(jù)點O,A,C的坐標,應用求向量坐標的方法求出,,的坐標,然后轉化為復數(shù).(2)根據(jù)復數(shù)與向量的關系,利用向量法求向量的坐標.【解析】(1)=-,所以所表示的復數(shù)為-3-2i.因為=,所以所表示的復數(shù)為-3-2i.(2)因為=-,所以所表示的復數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)=+,它所對應的復數(shù)z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||=注意書寫的規(guī)范性:手寫向量時必須加箭頭,注意向量的相等與相反之間的關系.【解題策略】用復數(shù)加、減運算的幾何意義解題的技巧(1)形轉化為數(shù):利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數(shù)運算去處理.(2)數(shù)轉化為形:對于一些復數(shù)運算也可以給予幾何解釋,使復數(shù)作為工具運用于幾何之中.【題組訓練】1.在復平面內,O為原點,向量對應的復數(shù)為-1-2i,若點A關于實軸的對稱點為B,則向量對應的復數(shù)為 ()A.-2-i B.2+iC.1+2i D.-1+2i【解析】選D.由題意可知,點A的坐標為(-1,-2),則點B的坐標為(-1,2),故向量對應的復數(shù)為-1+2i.2.(2020·泰安高一檢測)已知復數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虛數(shù)單位),它們對應的點分別為A,B,C,O為坐標原點,若=x+y(x,y∈R),則x+y=__________.

【解析】由條件可知若=x+y(x,y∈R),則(3,－2)=(－x+y,2x－y),所以

解得x=1,y=4,所以x+y=5.答案:5類型三復數(shù)的模(直觀想象、數(shù)學運算)

角度1復數(shù)模的計算

【典例】已知復數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,則復數(shù)z=______.

【思路導引】設z=a+bi(a,b∈R)代入等式后,可利用復數(shù)相等的充要條件求出a,b.【解析】設z=a+bi(a,b∈R),則|z|=

,代入方程得a+bi+

=2+8i,所以

解得所以z=-15+8i.答案:-15+8i【變式探究】設復數(shù)z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)【解析】選B.因為所以

,即a2+4<5,所以a2<1,即-1<a<1.角度2復數(shù)模的幾何意義

【典例】如果復數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ()A.1 B.

C.2 D.

【思路導引】根據(jù)絕對值的幾何意義,求出點Z在復平面內對應的集合,再求出|z+i+1|的最小值.【解析】選A.設復數(shù)-i,i,-1-i在復平面內對應的點分別為Z1,Z2,Z3,因為|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉化為動點Z在線段Z1Z2上移動,求|ZZ3|的最小值,因為|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.【解題策略】復數(shù)幾何意義的應用|z1-z2|表示復平面內z1,z2對應的兩點間的距離.利用此性質,可把復數(shù)模的問題轉化為復平面內兩點間的距離問題,從而進行數(shù)形結合,把復數(shù)問題轉化為幾何圖形問題求解.【題組訓練】1.(2020·全國Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,則|z|= ()A.0 B.1 C.

【解析】選C.因為z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=.2.(2020·泉州高一檢測)若復數(shù)z滿足z(-1+2i)=

(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z在復平面內對應的點位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為z=

,所以該復數(shù)在復平面內對應的點位于第三象限.3.已知復數(shù)z=3+ai,且|z|<4,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】方法一:因為z=3+ai(a∈R),所以|z|=

,由已知得32+a2<42,所以a2<7,所以a∈(-

,

).方法二:利用復數(shù)的幾何意義,由|z|<4知,z在復平面內對應的點在以原點為圓心,以4為半徑的圓內(不包括邊界),由z=3+ai知z對應的點Z在直線x=3上,所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合.由圖可知:-

<a<

.備選類型復數(shù)的模及其幾何意義的應用技巧(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)【典例】已知復數(shù)z的模為2,則|z-i|的最大值為________.

【思路導引】利用復數(shù)的幾何意義求解.【解析】由題意知,復數(shù)z對應點的集合是以原點O為圓心,2為半徑的圓,|z-i|表示圓上的動點與點(0,1)的距離,由數(shù)形結合易知,最大值為3.答案:3【解題策略】(1)復數(shù)的模為實數(shù),求復數(shù)模的步驟為:步驟一:將復數(shù)化為z=a+bi(a,b∈R)的形式;步驟二:代入公式|z|=

求復數(shù)的模.(2)在復平面內,兩點Z1,Z2間的距離=|z1-z2|是復數(shù)幾何意義的基礎,模的幾何意義常與不等式、最值、解析幾何等知識相結合,綜合考查數(shù)學問題,利用幾何意義轉化條件和結論往往可取得事半功倍的效果.【跟蹤訓練】(2020·高臺高二檢測)若復數(shù)z滿足|z|=2,則

的取值范圍是________.

【解析】由于復數(shù)z滿足|z|=2,故復數(shù)z對應的點在以原點為圓心,半徑為2的圓上,設圓上任意一點的坐標為(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π).表示圓上的點到(3,0)和(-3,0)兩點距離之和,即,①式平方得26+2,由于cos2θ∈[0.1],所以169-144cos2θ∈[25,169],所以∈[5.13],所以26+2∈[36,52],所以答案:

1.(2020·全國Ⅰ卷)若z=1+i,則|z2-2z|= ()A.0 B.1 C.

【解析】選D.