第三章信號檢測與估計理論3

3.5信號統(tǒng)計檢測的性能

以上討論了信號統(tǒng)計檢測理論的主要檢測準則，并給出了相應(yīng)的判決式

，這些準則都需要計算似然比函數(shù)，但似然比檢測門限隨采用的準則不同而變化;且都與判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)有關(guān)。

似然比檢驗的判決表示式為判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)可表示為

顯然，通過檢測門限，將P(H1|H0)和P(H1|H1)聯(lián)系了起來通常，似然比檢驗又進行化簡，得到檢驗統(tǒng)計量l（x）的形式判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)可表示為在例3.3.1中，檢驗統(tǒng)計量和檢測門限分別為

其判決概率為

圖3.11判決概率P（H1|H0）和P（H1|H1）示意圖

二元確知信號統(tǒng)計檢測的三個主要準則的基本概念：貝葉斯準則先驗概率已知，代價因子指定，使平均代價最?。蛔钚∑骄e誤概率準則先驗概率已知，代價因子，使平均錯誤概率最??；奈曼－皮爾遜準則在約束下，使最大。圖3.12接收機工作特性（ROC）信噪比圖3.13檢測概率PD與信噪比d的關(guān)系信噪比證明過程如下：圖3.14接收機工作特性在不同準則下的解貝葉斯準則平均最小錯誤概率準則圖3.14接收機工作特性在不同準則下的解N-P準則法拉第：工作方法很重要

3.6M元信號的統(tǒng)計檢測

實際問題中，除了常用的二元信號檢測外，還會遇到M

（M2

）元信號檢測的問題，例如，多元通信問題，天氣預(yù)報問題等。3.6.1M元信號統(tǒng)計檢測的貝葉斯準則

1.M元信號統(tǒng)計檢測的基本概念（見3.2節(jié)）信號有M種狀態(tài)，相應(yīng)假設(shè)為；判決域分成，且滿足圖3.15M元信號檢測模型

合理劃分判決域，以得到最佳判決；判決結(jié)果，共種；判決概率，其中，種是正確判決概率，種是錯誤判決概率。

2.貝葉斯準則各假設(shè)的先驗概率已知；各種判決的代價因子賦定的條件下，使平均代價

最小的準則，就是M元信號檢測的貝葉斯準則。平均代價的分析表示式

根據(jù)判決域Ri的劃分3.6.1式，將3.6.2式寫為3.6.3式因為判決域Ri可表示為

平均代價C的分析表示式為分析：

C中第一項為固定代價；

C中第二項是M個積分項之和，為貝葉斯平均代價的可變項，與判決域的劃分有關(guān)。為得到使平均代價C最小的最佳判決域，令

則判決規(guī)則應(yīng)選擇使Ii最小的假設(shè)為判決成立的假設(shè)

時，判決假設(shè)Hi成立。這意味著判決假設(shè)Hi成立的判決域是通過求解M-1個不等式組成的聯(lián)立不等式獲得的。當(dāng)M＝2時，結(jié)果就是二元信號檢測貝葉斯準則時的似然比檢驗。

如果定義似然比函數(shù)為

和函數(shù)

即利用似然比表示判決規(guī)則，那么判決規(guī)則就是選擇使Ji(x)為最小的對應(yīng)假設(shè)成立。

3.6.2M元信號檢測的最小平均錯誤概率準則

1.最小平均錯誤概率準則各假設(shè)的先驗概率已知；各種判決的代價因子。這時的平均代價就成為平均錯誤概率，使最小的檢測準則就是元信號檢測的最小平均錯誤概率準則。分析：類似于貝葉斯準則的分析方法，令

并且，當(dāng)滿足時，判決假設(shè)成立。這也意味著判決假設(shè)成立的判決域是通過解個方程組成的聯(lián)立方程獲得的。當(dāng)時，結(jié)果就是二元信號檢測最小平均錯誤概率準則時的似然比檢驗。最小平均錯誤概率

式中

2.最大似然準則在等先驗概率的情況下，，則有

這樣，個中最小的那個對應(yīng)個最大的那個。于是，選擇個中最大的那個對應(yīng)的假設(shè)成立，稱為元信號檢測的最大似然準則。

M元信號檢測的最大似然準則時的平均錯誤概率

例3.6.1

設(shè)四元數(shù)字通信系統(tǒng),各假設(shè)為

其中,;,相互統(tǒng)計獨立;先驗概率相等;。設(shè)計最佳檢測系統(tǒng)。

解由題意得各假設(shè)下的似然函數(shù)為采用四元信號檢測的最大似然準則.各假設(shè)下的比較量由似然函數(shù)整理得

其中,。通過解聯(lián)立方程得時，判決成立；類似地得時，判決成立；時，判決判決成立；時，判決成立。

現(xiàn)在討論檢測性能。由于檢驗統(tǒng)計量是高斯分布的，容易求得所以在各種假設(shè)Hj下，檢驗統(tǒng)計量l(x)的概率密度函數(shù)為

于是各判決概率為其中，是各假設(shè)成立的判決域。最小平均錯誤概率為課后作業(yè)

對前面確知信號檢測內(nèi)容的復(fù)習(xí)3.2信號統(tǒng)計檢測的基本概念信號不同狀態(tài)的假設(shè)；不同狀態(tài)信號的統(tǒng)計描述；根據(jù)信號統(tǒng)計特性的差異，作出合理地判決；判決結(jié)果為，判決概率為；

最佳判決的實質(zhì)是滿足某種指標要求的判決域最佳劃分，數(shù)學(xué)上表示為最佳判決式。

最佳判決的性能分析，關(guān)鍵是要求出檢驗統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)，進而求出判決概率，最終分析檢測性能。3.33.4

二元確知信號統(tǒng)計檢測的三個主要準則的基本概念：貝葉斯準則先驗概率已知，代價因子指定，使平均代價最?。蛔钚∑骄e誤概率準則先驗概率已知，代價因子，使平均錯誤概率最??；奈曼－皮爾遜準則在約束下，使

最大。二元確知信號的統(tǒng)計檢測

二元確知信號統(tǒng)計檢測的最佳判決式：似然比檢驗判決式化簡為檢驗統(tǒng)計量與檢測門限比較的最佳判決式或

檢測性能分析：根據(jù)檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計特性；求出其概率密度函數(shù)；根據(jù)最佳判決式，積分求出各種判決概率；進而求出其檢測性能。3.5信號統(tǒng)計監(jiān)測的性能3.6M元確知信號的統(tǒng)計檢測我們可以把二元確知信號統(tǒng)計檢測的貝葉斯準則、最小平均錯誤概率準則的概念、理論和方法推廣應(yīng)用到M元確知信號的統(tǒng)計檢測中。

信號的分類

信號有多種分類方法，我們這里分為：

1.確知信號它是確定的時間函數(shù)。舉例：常數(shù)A

正弦、余弦信號

式中，振幅，頻率，相位確知，或者是時間的確定函數(shù)。

2.參量信號

(1)具有未知或隨機參量的信號

3.7參量信號的統(tǒng)計檢測

舉例：未知或隨機參量

(2)隨機相位信號式中，振幅，頻率是確知參量，但相位是隨機參量。

(3)隨機振幅和隨機相位信號式中，頻率是確知參量，振幅和相位是隨機參量。

(4)隨機頻率信號

式中，振幅和相位是確知參量，頻率是隨機參量。

3.7參量信號的統(tǒng)計檢測

前面關(guān)于信號的統(tǒng)計檢測的討論，各假設(shè)可一般地表示為其中，信號是確知信號。針對確知信號的統(tǒng)計檢測，似然函數(shù)由的統(tǒng)計特性決定，稱為簡單假設(shè)檢驗。如果信號中含有未知或隨機參量，則各假設(shè)可一般地表示為這樣，似然函數(shù)不僅與的統(tǒng)計特性有關(guān)，而且與信號參量有關(guān)，表示為，統(tǒng)計學(xué)中稱為復(fù)合假設(shè)檢驗。這里，我們討論二元參量信號的復(fù)合假設(shè)檢驗問題。3.7.1參量信號統(tǒng)計檢測的基本概念

在信號含有未知或隨機參量下的復(fù)合假設(shè)檢驗的概念、理論和方法，就是參量信號的統(tǒng)計檢測。這樣，在參量信號下，無論是二元、M元，無論何種統(tǒng)計檢測準則，如果仍然選擇確知信號的方法，則其檢測結(jié)果的性能與未知參量有關(guān)，具有不確定性和隨機性。因此，需要研究參量信號的統(tǒng)計檢測問題，與在各假設(shè)下的概率密度函數(shù)完全確定不同，復(fù)合假設(shè)檢驗必須與未知參量相適應(yīng)。符號說明：3.7.2參量信號統(tǒng)計檢測的基本方法

(1)最大似然估計法。用最大似然估計估計未知參量，將估計量用在似然比檢驗中,稱為廣義似然比檢驗。3.7.2參量信號統(tǒng)計檢測的基本方法（2）貝葉斯方法。把未知參量看作是隨機過程的一個實現(xiàn)，并給它指定先驗概率密度函數(shù)或者其他先驗知識，將隨機參量用概率密度函數(shù)來描述，在此基礎(chǔ)上，用貝葉斯準則實現(xiàn)信號的檢測。隨機參量的概率密度函數(shù)已知的情況隨機參量猜測先驗概率密度函數(shù)的情況未知參量的奈曼?皮爾遜準則信號檢測3.7.3廣義似然比檢驗其方法是首先由觀測信號的概率密度函數(shù)利用最大似然估計方法求參量的最大似然估計，所謂參量的最大似然估計，就是使似然函數(shù)達到最大的作為未知參量的估計量，記為，然后用求得的估計量代替似然函數(shù)中的未知參量，使問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇_知信號的統(tǒng)計檢測。這樣

設(shè)在假設(shè)下，似然函數(shù)為

其中，是未知參量。由似然函數(shù)，利用最大似然估計方法求得估計量，從而得，進而構(gòu)成似然比檢驗稱為廣義似然比檢驗。如果假設(shè)是簡單的，假設(shè)是復(fù)合的，則廣義似然比檢驗為關(guān)于參量的最大似然估計，將在第5章中討論。3.7.4貝葉斯方法

根據(jù)未知參量的統(tǒng)計特性及其先驗知識，采用貝葉斯準則實現(xiàn)信號的統(tǒng)計檢測。

1.隨機參量的概率密度函數(shù)已知情況信號的統(tǒng)計檢測中，我們關(guān)心的是信號屬于哪個狀態(tài)的最佳判決問題。所以，如果把看成是隨機參量的函數(shù)，我們可以用統(tǒng)計平均的方法去掉隨機參量的隨機性，即和

然后構(gòu)成似然比檢驗它也可以退化為假設(shè)是復(fù)合的，而假設(shè)是簡單的。

2.猜測隨機參量概率密度函數(shù)情況若未知，但可合理猜測，則用猜測的進行統(tǒng)計平均處理。

例如，隨機振幅服從瑞利分布，隨機相位服從均勻分布等，都帶有一定的猜測性。

3.未知參量的奈曼—皮爾遜準則信號檢測

在下，使最大。但由于存在未知或隨機的參量，所得通常是參

量的函數(shù)。所以，采用奈曼——皮爾遜準則檢測，需要對結(jié)果進行檢驗。若下，無論參量取何值，都是最大的，稱為最大一致勢檢驗，奈曼皮爾遜準則可用。若下，某些參量取值，最大，但另一些參量取值，不再是最大的，最大一致勢檢驗失敗，奈曼皮爾遜準則不能用。3.7.5M元參量信號的統(tǒng)計檢測廣義似然比檢驗，統(tǒng)計平均方法，猜測隨機參量先驗概率密度函數(shù)方法等，均可應(yīng)用于元參量信號的統(tǒng)計檢測中。

例3.7.1

研究二元參量信號的統(tǒng)計檢測問題。

其中，是信號參量；。研究具有不同特性時的信號統(tǒng)計檢測問題。

解

兩個假設(shè)下的似然函數(shù)分別為和

（1），確知信號參量時，由化簡得最佳判決式（2），確知信號參量時，最佳判決式為

（3）為隨機參量，且已知，則

化簡得最佳判決式顯然，這是一個雙邊檢驗，即和，判決假設(shè)成立；，判決假設(shè)成立。請考慮這樣判決的合理性（