2023新教材高中數(shù)學第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析章末綜合提升教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析章末綜合提升類型1回歸分析回歸分析在統(tǒng)計中占有重要地位，高考中經(jīng)常涉及，難度在逐步增加，主要以回歸分析為主，考查方程擬合、預(yù)測分析等．求解的關(guān)鍵是先求出經(jīng)驗回歸方程，其中求eq\o(b,\s\up8(^))和eq\o(a,\s\up6(^))可借助于計算器完成．【例1】為研究某種圖書每冊的成本費y(元)與印刷冊數(shù)x(千冊)的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并作了初步處理，得到了下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(u)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))2eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))(yi－eq\x\to(y))15.253.630.2692085.5－230.30.7877.049其中ui＝eq\f(1,xi)，eq\x\to(u)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,u)i．(1)根據(jù)散點圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋eq\f(d,x)哪一個更適宜作為每冊成本費y(元)與印刷冊數(shù)x(千冊)的回歸方程類型？(只要求給出判斷，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01)．(3)若該圖書每冊書定價為10元，則至少應(yīng)該印刷多少千冊才使銷售利潤不低于78840元？(假設(shè)能夠全部售出，結(jié)果精確到1)(附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，v1)(ω2，v2)…(ωn，vn)，其經(jīng)驗回歸方程eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))ω的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(ω))[解](1)由散點圖判斷，y＝c＋eq\f(d,x)適宜作為每冊成本費y(元)與印刷冊數(shù)x(千冊)的回歸方程．(2)令u＝eq\f(1,x)，先建立y關(guān)于u的經(jīng)驗回歸方程，由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)2)＝eq\f(7.049,0.787)≈8.96，∴eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))＝3.63－8.96×0.269≈1.22，∴y關(guān)于u的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋8.96u，從而y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋eq\f(8.96,x)．(3)假設(shè)印刷x千冊，依題意：10x－1.22＋eq\f(8.96,x)·x≥78.840．即8.78x≥87.8，解得x≥10，∴至少印刷10千冊才能使銷售利潤不低于78840元．類型2獨立性檢驗獨立性檢驗問題是統(tǒng)計的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題，常與其他知識點交匯命題，難度中等，以客觀題為主．獨立性檢驗問題的求解策略(1)等高條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高條形圖，依據(jù)頻率差異來粗略地判斷兩個變量的相關(guān)性．(2)χ2統(tǒng)計量法：通過公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，先計算χ2，根據(jù)小概率值α的獨立性檢驗，推斷H0是否成立，最后得出結(jié)論．【例2】某校鼓勵即將畢業(yè)的大學生到西部偏遠地區(qū)去支教，校學生就業(yè)部針對即將畢業(yè)的男、女生是否愿意到西部支教進行問卷調(diào)查，得到的情況如下表所示：性別支教合計愿意去支教不愿意去支教女生20男生40合計70100(1)完成上述2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析愿意去西部支教是否與性別有關(guān)？解：(1)2×2列聯(lián)表如下：性別支教合計愿意去支教不愿意去支教女生302050男生401050合計7030100(2)零假設(shè)H0：支教與性別相互獨立，即是否愿意去西部支教與性別無關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2＝eq\f(100×300－8002,50×50×30×70)≈4.762>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為是否愿意去西部支教與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算，女生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為eq\f(30,50)＝0.6，eq\f(20,50)＝0.4；男生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為eq\f(40,50)＝0.8，eq\f(10,50)＝0.2．由eq\f(0.4,0.2)＝2可見，女生不愿意去支教的頻率是男生不愿意去支教的頻率的2倍．于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認為女生不愿意去支教的概率明顯大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明顯與性別有關(guān)．類型3獨立性檢驗與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用獨立性檢驗在實際中有著廣泛的應(yīng)用，是對實際生活中數(shù)據(jù)進行分析的一種方法，通過這種分析得出的結(jié)論對實際生活或者生產(chǎn)都有一定的指導(dǎo)作用．近幾年高考中較少單獨考查獨立性檢驗，經(jīng)常與統(tǒng)計、概率等知識綜合，頻率分布表、頻率分布直方圖與獨立性檢驗融合是常見的考查形式，一般需要根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，從而解決問題．【例3】某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調(diào)查，在高三全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若頻率分布直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；(2)學習小組成員發(fā)現(xiàn)，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學生進行了調(diào)查，得到下列2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為視力與學習成績有關(guān)聯(lián)？視力學習成績合計名次在1～50名名次在951～1000名近視413273不近視91827合計5050100(3)在(2)中調(diào)查的100名學生中，按照分層隨機抽樣在不近視的學生中抽取了6人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習慣，并且在這6人中任取2人，求抽取的2人中，恰有1人年級名次在1～50名的概率．[解](1)由頻率分布直方圖可知第一組有3人，第二組有7人，第三組有27人．因為后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為90，公差小于0，所以后四組的頻數(shù)依次為27，24，21，18．所以視力在5.0以下的人數(shù)為3＋7＋27＋24＋21＝82(或者100－18＝82)，故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為1000×eq\f(82,100)＝820．(2)零假設(shè)H0：視力與學習成績相互獨立，即視力與學習成績無關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得χ2＝eq\f(100×41×18－32×92,50×50×73×27)≈4.110>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為視力與學習成