基礎(chǔ)課教學(xué)與創(chuàng)新精神齊民友

1根底課教學(xué)與創(chuàng)新精神齊民友武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院湖北武漢430072chiminyou@yahoo樹肝槳疲類回科譜學(xué)活申動(dòng)最宣本質(zhì)靜的特驅(qū)點(diǎn)就闊是飾創(chuàng)新亭或咱創(chuàng)造估.簽韻叮壟鞏旋教學(xué)戰(zhàn)活動(dòng)渣必須虧是搏最具資有創(chuàng)侄造性吉的活爸動(dòng).鍛鼓帳因此建,應(yīng)替該從承教學(xué)卻活動(dòng)失的內(nèi)礦在特厲點(diǎn)來東理解忍如何器培養(yǎng)慘學(xué)生光的創(chuàng)呢造性跨.創(chuàng)室造性帳不是注“旗教箭〞寨出來針的，油而是耗在整遲個(gè)教鳥與學(xué)慰的全墓過程間中背自然竄形成咽，或皮者說擾，也熏陶批而成歇的立.甘創(chuàng)造浪性寧槍可說直是一緞種心彎理素釀質(zhì)欺，一逆種為蓮人處烈事的沉態(tài)度畫或者島習(xí)慣回;它閣是哨一種降最為步珍貴酬的素億質(zhì)男：錦創(chuàng)造獎(jiǎng)始于壇不滿飾足，活始于敘否認(rèn)帖.瞧創(chuàng)造遺始于跳自信愚.饞創(chuàng)造兆始于節(jié)腳下醉的每萍一步于.銀創(chuàng)造掠成于波從零心所撫欲不虜逾矩演.換以唯小平兆邦彥頑的書冠為例便：奮說紫磚小平唯邦彥妨是誰饒？1炕91灘5-垂19尿97仿，是銀日本聰20袍世紀(jì)數(shù)最偉循大的街?jǐn)?shù)學(xué)槽家之如一指.擦是少變有的天同時(shí)壟獲得登Fi禽el灣ds耽獎(jiǎng)〔錢19拜54砌〕和鬧Wo谷lf巾獎(jiǎng)〔狐19少84啦-1咐98料5〕齊的數(shù)柴學(xué)家史之一細(xì).桿此書股是他沃寫的臘教材浴.恐日文創(chuàng)本初特版于洽19別91黑年其(巖深波書遺店出飽版)約，當(dāng)踩時(shí)他磨已經(jīng)犁76徒歲高寸齡餡，于追19效75強(qiáng)年在蘇東京辭大學(xué)成退休亭后，拍在學(xué)爭(zhēng)習(xí)院晨大學(xué)老任教伙.此辰書應(yīng)姻是他丑的晚盒年著成作.籌他在恨晚年檢還主磨編了那么一套處日本手高中院教材嶺，被拐美國渠數(shù)學(xué)累會(huì)譯榨為英討文，異獲得撞廣泛背好評(píng)嫩.伏這傘一位蔑如此菊高齡男以及燒地位柱如此論崇高擁的大雖數(shù)學(xué)問家花所寫肥的書獸充滿卷了創(chuàng)石新精棵神!努對(duì)于顏我們障如何惠創(chuàng)造蠟性地源做好敞根底宜課教掛學(xué)是份很好填的范趁例.恩下面奮從這列本書弦里坦舉幾扶個(gè)例衡子捕，麗來說驢明我費(fèi)們關(guān)拋于教俘學(xué)中發(fā)的創(chuàng)虜新的夫觀點(diǎn)挽.顏誠盡早鵝地比肚較系攝統(tǒng)地啄引入像復(fù)數(shù)遭熟復(fù)數(shù)甲與實(shí)濫數(shù)的崇“贏微積促分押〞姨真正浪地表蹦現(xiàn)出式本質(zhì)櫻的區(qū)暗別，階應(yīng)該嗽從哥勤西販—哄黎曼婆方程活以及寫哥西眾定理淡開始旨.本壩書從拐變量蚊與函奧數(shù)的侵概念冷開始知就打敞破了劫二者紹的界戶限,竿這樣河做有亂許多歌優(yōu)點(diǎn)沃:甘更深還刻地毅表現(xiàn)繡了數(shù)曲學(xué)的顫統(tǒng)一涌性.綁更符鵲合歷捐史發(fā)誦展的腰實(shí)際拾情況恨.杠及早律介紹倉歐拉令公式俯十分仁方便拳教學(xué)興,特紅別是襪后續(xù)刪課程待和其茂他學(xué)汁科的儉課程撤的教徐學(xué).憑舉一陪個(gè)例迎子旗對(duì)于辦微積輛分的揀重要刺問題拿給出甘了比俘一般晶教材脾更加儉精細(xì)屆更加風(fēng)充分綠的處丸理睬現(xiàn)在矩以一招致收榆斂的遭函數(shù)獻(xiàn)項(xiàng)級(jí)粉數(shù)的界逐項(xiàng)瓦積分秩為例忠.先訓(xùn)看盆一個(gè)些習(xí)題循(語出自墨原書吹I,責(zé)職24武7頁顛第4踏2題抓)牽“腥舉例牧說明樣，存污在滿揮足劣并且巾在區(qū)比間善上一樂致收伍斂于顆0的掉連續(xù)惠函數(shù)當(dāng)序列串.逢〞停答案柿其實(shí)蠻不難徹，例鍛如取忌即可務(wù)女〔咽或封均可魂〕藝.誠要點(diǎn)蘋何在初？節(jié)某個(gè)涌區(qū)間擊上的教連續(xù)肅函數(shù)知的一凡致收隨斂序暈列容攝許在帶積分何號(hào)下響求極玩限，轉(zhuǎn)應(yīng)該描限制秒于此忽區(qū)間坑為緊祥〔通塌常教槽材上鋒總說覺“偶有界冤閉區(qū)嚴(yán)間〕唯.什緊性顏的作春用爪.現(xiàn)兵在通某用的嗎教材涌的一非個(gè)通烘病歌在于蹤沒有族看到欲緊性通的極章端重程要性筆.偷.存當(dāng)錯(cuò)非緊回時(shí)不星一定中是巴郵拿赫禁空間聾.害它的豬對(duì)偶挺空間頑更是坊一個(gè)踢麻煩津問題桑.迅這個(gè)饑問題犧與艷構(gòu)造昌廣義犧函數(shù)暴〔如牌函數(shù)浮〕的泳關(guān)系鳳.誼自變甩量手變?yōu)榇颉不蛉觥撑c災(zāi)函數(shù)里值變飼為綠〔或濁〕在糖幾何藝形象做上藏互為擁“宿逆變紗〞茫.馳還有武沒有谷其他盆的聯(lián)歇系秩？撈級(jí)職如果誘說以蹲上只燈是我探們對(duì)卻于這躁個(gè)題新目的伶“埋教學(xué)微建議齡〞呢，下后面那么悄是原季書作斬者爺巷關(guān)于規(guī)積分傭號(hào)下恰取極趟限的肯問題凍進(jìn)一吵步展殃開.乘原書忽I,充19撲7頁叼給出帆了以葵下定戀理:跨“嚷定理躁5.利10獨(dú)(情Ar心ze騙l放à國定白理)給堅(jiān)設(shè)在稱閉區(qū)倆間愿上，科函數(shù)異床誕連續(xù)背，并誘且一縮致有酸界，槍即存弦在不訴依賴沿于賀的常白量移使得冤在介上恒葬有植成立使.齒如果聚函數(shù)漏序列徹到喂襲收斂賤，并睜且其咽極限名在羽上連規(guī)續(xù)，肥那么礦妥傻剛存籍這個(gè)確結(jié)果箏(以徐及上渣面的魂習(xí)題躍)老都不班是特滋別偏趁僻的柱,例免如可胳以參放看菲妨赫金然哥爾技茨?項(xiàng)微積蔽分學(xué)及教程貢?〔亡第二開卷〕北.但蘭是此葉書不展是把趟這些蜻進(jìn)一叮步的摘展開誦作為些可有野可無萄的附典加,壺而是咬作為渾完整殺的論照述的練有機(jī)誕組成淋局部懷來看棚待.墳要點(diǎn)露何在風(fēng)？火本定嗽理是竿勒貝綢格控睬制收給斂定密理胡的特估例叔.參您的父學(xué)生圍學(xué)勒栗貝格缸積分術(shù)理論歡感到哈抽象翠嗎陡？他綿們路敢不抓敢應(yīng)聲用馳這個(gè)茶理論鄰的具芳體結(jié)躺果于腔自己昌的工曠作中曲？進(jìn)仗而，目對(duì)于卡數(shù)學(xué)災(zāi)中更勾深刻慘的結(jié)狂果，犯他們財(cái)是否樓愿意抄學(xué)？河學(xué)了假以后找有沒排有具畢體的撥好處汁？挨本書啦把這蠅個(gè)定便理用磁于含智參數(shù)輔的積臘分在補(bǔ)積分夠號(hào)下趙求導(dǎo)蓮數(shù)〔躍見原映書脈Ⅱ班，2上67筋頁定饑?yán)?謝.1怎9樣〕抖.緩關(guān)于含交換其極限神次序矩的問瞧題嚷,就閉我所獎(jiǎng)見,緒本書性是最摧清楚敗明確療而且霞不繁無瑣的剪一本雙.啟本書浩非常匪注意捎前瞻忠性青.乞如上將所述穩(wěn),已裁經(jīng)注盡可竟能早殖地引伙入復(fù)雀數(shù),蕩應(yīng)用布線性充代數(shù)眼的概珍念(搬如向銀量,辯矩陣麥等等涼)解扮決微絞積分杯的問刪題聚,現(xiàn)喚在還杜與所麥謂僻“龜精密腎分析男〞炸連接炭起來色.覺雅不但宇瞻前厲,而處且顧徐后么.留我國副的情覺況是早:浩進(jìn)了遇大學(xué)委就忘江了中土學(xué)摟;對(duì)大學(xué)戶數(shù)學(xué)屬系畢碎業(yè)以讀后去籠教中秀學(xué)時(shí)桶,栽又努覺得慎大學(xué)清學(xué)的嚷東西扁完全馳沒有蘆用企(駁實(shí)際話上是坡不會(huì)效用古);鵲大學(xué)男數(shù)學(xué)招系隨很少穗想到道擔(dān)任釋中學(xué)省教師名是很禮大一濤局部暑學(xué)生標(biāo)的出際路豎,培貞?zhàn)B合緣格的運(yùn)中學(xué)將教師圈是大殺學(xué)不哈應(yīng)推作辭的靠義務(wù)藥.總例如默可以畏問一坐個(gè)問扁題:喇“墻定義匆〞堅(jiān)對(duì)不薄對(duì)？趕首韻答案追應(yīng)該懶是：令不對(duì)贊.因紀(jì)為這鎮(zhèn)個(gè)式啊子的新左方掃把冪鍬的指扔數(shù)寫徐成了豎分?jǐn)?shù)捷,就腥是永隱含層地承丈認(rèn)了予:換右方使根號(hào)漏的兩材個(gè)指垃數(shù)的碑關(guān)系霉恰好喉是分炒子與樹分母他的關(guān)猶系都.這場(chǎng)恰好滾就是碌需要纖證明疊的.辛本書熄的定夢(mèng)義方章法(怎我作月了一貴些改珍動(dòng))員是:蘇“愈定義滲〞裕這種跌有理珠數(shù)指遵數(shù)冪頃為逃方程皇的唯組一正汗實(shí)數(shù)紐根踐.再貸證明殿和貝恰好讀是分曉母和晌分子綁的關(guān)榆系.巡所以早這個(gè)番根可氧以合旬理地峰寫為妥.演當(dāng)評(píng)是一閣般的圖有理纖數(shù)時(shí)衫如何拌證明幕？稍鉆脊需刊以上支可見砌本書規(guī)I,諒社72螞-8層8頁蜘.澡張由穴幸屯從蒸這幾幅個(gè)例企子看語:筍小平執(zhí)邦彥自的書納有哪皺些優(yōu)表點(diǎn)和廟創(chuàng)新凝？色抓住擠了數(shù)繪學(xué)內(nèi)澆容的漁不斷賢開展糾的殊實(shí)質(zhì)記，而介不是獵把它戚看成殿固定播不變?cè)实?櫻不可松逾越諷的,滴也不騎停留翠在形昂式燥推導(dǎo)病的表經(jīng)面上預(yù)；努臣力建往立數(shù)擁學(xué)各朵個(gè)部固分的戶開展鹽和立相互膀聯(lián)系罪，而省不是其把作心為一箏個(gè)整妹體的天數(shù)學(xué)門過度動(dòng)地劃蓮分為辣互不泳相關(guān)某的釀“幕分支肚〞拾.占提供粱了許裹多問散題的低新的猜處理書方法環(huán)，使拌我們睡不會(huì)導(dǎo)誤認(rèn)激為奧“瘡數(shù)學(xué)蹦〔具概體地跪說：襪微積旦分〕流〞機(jī)只能蜜有我俗們熟麻悉的揀那恨一種洲理解冬，叼那舞一種餡講法糕.屠表達(dá)榆了高衰度的母?jìng)€(gè)性眨，正桃如小賴平邦慮彥可喘以室“況反常鍋人之水道而揪行曬〞墓，我棕們也訪可以爹“化反小惱平邦錫彥之趴道而繭行餃〞故.蔑沒有硬多樣防性，旬就沒脂有創(chuàng)姿造性學(xué).否鼓勵(lì)禮教師亡和學(xué)巨生走稼自己?jiǎn)柕穆饭?知俱疏總之揉：一弓方面攪要德去粗腎取精藏，去怕偽存嗎真，逗由此犯及彼挨，由算表及探里警.焦到達(dá)爹對(duì)數(shù)扔學(xué)的透規(guī)矩丙〔即酒內(nèi)在徹的規(guī)計(jì)律〕倆的認(rèn)險(xiǎn)識(shí)，詢做到革中規(guī)砌中矩察.咳另一課方面羨，可楊以根驚據(jù)自旱己〔皆教師原或?qū)W姐生〕供的具予體情汗況以維及學(xué)寒術(shù)上擇的愛熔好、棉習(xí)慣擴(kuò)、長(zhǎng)積處與傅短處底等等糕來教假設(shè)好〔蠟或?qū)W暈好〕委一門生課程吳，從鉆中得戲到對(duì)板于數(shù)怕學(xué)科肌學(xué)的壯真意贏的理榜解岡.羅綜合丹這兩尿個(gè)方鵝面，走就是鈴前面盲說的恒“陶從無心所賢欲不君逾矩頭〞謀.敬標(biāo)句從這虹個(gè)意首義上枝說，旦教與館學(xué)都浪是一猾種姥“啞再創(chuàng)握造喝〞—陳—掙從創(chuàng)皮造中司學(xué)創(chuàng)哲造角.城這當(dāng)材然是晨一個(gè)伙艱苦虜而又藥漫長(zhǎng)順的過宰程乎.視附序罵錄帖小平權(quán)邦彥淺一書音的兩睜點(diǎn)說互明抖關(guān)于閣冪運(yùn)資算塊冪運(yùn)續(xù)算綠是指平數(shù)函駁數(shù)和哭冪函車數(shù)概渣念的潑根底展:假設(shè)漠視鍬為變注量,舊就得偉到冪鞭函數(shù)墨;假設(shè)蕩視吵為變撲量,歇那么得鼻到指華數(shù)函桐數(shù).岸為什嶄么要暑求窮，我尾已經(jīng)堅(jiān)在另融文中家作了障嚴(yán)格睛的論陸證,損這里現(xiàn)不再燙說明態(tài).舒冪延運(yùn)算翻有3勵(lì)條基耳本定辯律(堅(jiān)我稱銷為指最數(shù)定宅律)賊:塔1.經(jīng)毅沃鬧許你鴉善局騎激研卻誠勢(shì)票觸2.醒柄匙3.鄭懲夾當(dāng)軋為正腿整數(shù)脾時(shí),賞冪就行是連促乘積忍;這塵時(shí),詢上述誼3條地定律瞇是自尺明的所,我撇們不懶再證駱明.基現(xiàn)在鬧要討肆論的桌是授為有抓理分今數(shù)的膚情況朋,即驢指數(shù)凝為曠，而疫均為恭正整修數(shù)的餡情況班(士為睬也可原以,兇但為榆簡(jiǎn)單貿(mào)計(jì),潑我們很不仔止細(xì)說弄明)光.以魔下,碼所謂項(xiàng)分?jǐn)?shù)依均指襯有理胸分?jǐn)?shù)捐,所撲以如籃像晨之類占的數(shù)斑暫不定討論寒,留車待下夕面悠為一益般實(shí)蕩數(shù)時(shí)跟再說妥.請(qǐng)首先暗是當(dāng)王為有康理分紐數(shù)時(shí)盒〔特本別是億時(shí)〕叼冪運(yùn)導(dǎo)算拋的定胳義問胡題.鮮小平址邦彥納書上鞭是用脹的反深函數(shù)更來定術(shù)義描的.太為此白，他立需要財(cái)先證饒明嚴(yán)鵝格單茫調(diào)連夢(mèng)續(xù)函港數(shù)必賊有反柱函數(shù)鉛存在攔，并護(hù)且在破講坑時(shí)就篩已經(jīng)弱明確蘭地證包明了靜它在版上嚴(yán)支格單勝調(diào)連倍續(xù).稼這些缺都比哪我國多通用遼的多結(jié)數(shù)數(shù)嫁學(xué)分輪析教糟材講犯得更積好.影我在芒另一底篇文旬章里記那么用攀了以栽下定呀義：河定義牧１．按即方遺程屯的算雖術(shù)根療〔即霉正實(shí)挪數(shù)根粘〕．烈算術(shù)丈根的做存在押和唯在一性甲沒有副用代壞數(shù)的訪根本樓定理長(zhǎng)來證姑明，涌因?yàn)檗k它只哥能保督證方部程盞有復(fù)倘根存格在，含而碎無法望保證須有唯簡(jiǎn)一正踐實(shí)根歡存在辯.搞所以編我是燦用連志續(xù)函叨數(shù)的哈中間怪值定畝理來獄證明禮的．敞這與逼反函茂數(shù)定衛(wèi)理是肉完全本等價(jià)制的．慢進(jìn)一裂步蓋的情括況有氧兩個(gè)準(zhǔn)方法肢來定善義：舌或者店定義千為忘的蘆次冪限；或穩(wěn)者定碰義為尤的芳次方歐根，竭即惑定義市２．賊扔即方誓程猾果勒資砍報(bào)殺淘梁燦英蒸為鞭洲厚〔１窯〕建的算羊術(shù)根悔．畫這里訊只是凳一個(gè)乞暫時(shí)彩的記惠號(hào)．辱現(xiàn)在禮的中鄰學(xué)教岡材時(shí)視常就崖說：嶄分?jǐn)?shù)隆冪違的定苦義就產(chǎn)是梁．微必須與明確燦指出伏，這曾個(gè)說泰法是過失誤鉆的，婚因?yàn)橹袼[芳含地忽規(guī)定夕了乘緊方的布次數(shù)鐘與開拌方的憐次數(shù)決的關(guān)議系〔臣也就堵是方隸程〔注１〕生左右還雙方青的兩北個(gè)乘攜方次嫌數(shù)的境關(guān)系飄〕是砌分?jǐn)?shù)縫分子灑與分亦母的侄關(guān)系袖，而閥這一掃點(diǎn)正糾是需搞要著殘力論廣證的亭事情昌．正條因?yàn)榘W如此廈，我蠶們?cè)谝m定義老２后冶面特閱意提浪醒：郵“因這里隨只是斜一個(gè)左暫時(shí)塑的記遮號(hào)漢〞簡(jiǎn)．見中學(xué)購教材多還有設(shè)一點(diǎn)哭遺漏鞋：在需中是窯先開剪方后永乘方裁還是塞先乘斥方后葉開方碼？顫看來旬似乎壁是先畫對(duì)頌乘冤次方伏，再砌對(duì)特開次茶方．賄定義議２那么緣很明影白是滔這樣盲作的傍．因銜此自倦然有將一個(gè)錘問題醒：可艷否先吉開方老后乘贊方，次即定帖義聯(lián)為匪？實(shí)級(jí)際上緣不但鼻可以爸，而雅且有誠時(shí)還掃更好貌．原沾因下悼面再除說．伏在下沉面的從討論焦中，總我們春暫時(shí)恒限制膨冪忽為正死，所棋以輪負(fù)指獨(dú)數(shù)的纖問題紡因?yàn)檑櫛葦M寄明確呆，不奧會(huì)有澆什么灣誤解哀，所欲以這司里不授說了樸.覺我們托先來處證明奏先開何方后寸乘方優(yōu)也是鮮可以觀的．津定理景１．筋定義剛２中嫂的伯就是稀定義延１中浸的兵的克次方熊．占證明寨．記親定義龜１中還的相為恒，它鞭的存典在和靠唯一俯性上怎面已蘇經(jīng)說袍了．捧它是多一個(gè)腳正實(shí)傍數(shù)，庸因此罪可以孩對(duì)它淺求任劈意正電整數(shù)扯次冪施．由秋定義旱１，家雙方暈求逢次冪昂有珍．末但是碑是正曉整數(shù)晃，從蠻而孫就是喂一個(gè)耍連乘會(huì)積捏，所時(shí)以筆因此行，狂是方標(biāo)程株的算窮術(shù)根涌〔注鉗意鴨是正運(yùn)實(shí)數(shù)前〕而君按照循定義似１，亦即冤助弱商撕溫如愿陜包欣正〔格２〕戴埋這毛個(gè)證數(shù)明的安要害隙是：瑞把檔的有四理分胸?cái)?shù)冪類變成芳的正慌整數(shù)呈冪．韻反正涼作為億方程倍的算塞術(shù)根裹是正摩實(shí)數(shù)擺，它繪的正照整數(shù)苗冪就路是簡(jiǎn)豐單的甩連乘創(chuàng)積，蓄所以狐可以醋應(yīng)用依前面農(nóng)講的掘指數(shù)血定律嫌．以漆后許億多證厲明都哲是這亭樣來宋的．玻這就巴是為腫什么擇前面匹說先繪開方嫩后乘悶方有水時(shí)更常好．索另一摟個(gè)更續(xù)重要陜的問吃題是具：有掙理分肝數(shù)役可以魄寫成股不同合形狀旁的分晝數(shù)，珍如跨等等闖，于憶是就草有不個(gè)同的牽和煮．所屆以至瓶關(guān)重懼要的窮是要?jiǎng)蜃C明疼定理蔑２．輸如果繁為正憤整數(shù)奏，控那么對(duì)旨于里有繼形切濤窯碼負(fù)肢村始霧核贈(zèng)〔３丟〕昏有了諸這個(gè)買定理廢以后央，我碑們才嚼看見姥了健中底確實(shí)弄是一掏個(gè)有精理分儀數(shù)．普〔但秋是我均們下蘋面還培會(huì)給末出一鴉個(gè)符稠合現(xiàn)科代數(shù)內(nèi)學(xué)要姨求的老形式山化的田證明餐，雖遵然這找對(duì)于竄大多府?dāng)?shù)雨中學(xué)治老師之——大更不漿說是素全部鼠中學(xué)歐生俱——斑是完游全不抖必要關(guān)的〕煙．證辭明的勢(shì)方法吐和定梳理１恢的證忌明方裁法是糊一樣喉的．刺證明汗．胸對(duì)前乘以跳次方旱．由肌于象即拉所以威由〔依２〕艙式有扇第一籠步的卷方括剪號(hào)處憶我們井應(yīng)用訂了〔沿２〕抄式；栗第二擁步最怎外層小的方聲括號(hào)掘處遍，我科們利普用了港為正偉整數(shù)毛，從此而可叫以利誕用前壟面關(guān)傅于冪餓運(yùn)算嶄的指河數(shù)定拍律的關(guān)第２獅條；寶最后求一步她那么是辛定理肉的假罪設(shè)．品同樣萍，我懶們也編有命這樣胖，就和扇是同孝一個(gè)甘方程罷的算騎術(shù)根租〔潤和嚷是正討實(shí)數(shù)頓從定忙義２鍬中已芳經(jīng)明贊確〕烈．由綱算術(shù)肺根的獄唯一賢性即哄知二卸者相庸等．喬證畢慘．穿課真以上酸只考螞察了駐冪為鹽正的訊情況順.如底果冪無為負(fù)息，也孤不會(huì)軟有大劃的難負(fù)處，興所以昨不再稈討論女.票在小耽平邦關(guān)彥的麻書中盼，以恰上全短部?jī)?nèi)煉容只總寫了肚不到旗１頁塵的篇析幅．盤他說傻：＂助在本遙節(jié)，記我們除將對(duì)泄在高廟中數(shù)所學(xué)中故學(xué)過忘的指倘數(shù)函墳數(shù)和益對(duì)數(shù)憤函數(shù)苗進(jìn)行懼嚴(yán)格妄的論門證單＂由磚此可砍見日漿本對(duì)孕高中盞學(xué)生逼和教足師是鍛什么吵樣的孝要求慧！我布比擬帥詳細(xì)途地寫份了這債么多筋，無餡非是蓮感到趕此書培言簡(jiǎn)靠意駭華,而批自己層教了尾這么但多年惠的書痕，其惹實(shí)沒深有把抄最基個(gè)本的抗東西篇講清籌楚，很實(shí)在丑汗顏倍,所基以多老寫了他幾句國.耳下面斷再來淡證明睡對(duì)于桑有理絹分?jǐn)?shù)夢(mèng)冪，庭冪運(yùn)摸算的惰３條矩定律輩也成柿立．泄因?yàn)轱炞C法蔥完全咬一樣糖，下郊面只賀證明悶第一貸條：必如果歷為正帽整數(shù)抖，摧而舊，那么伸有鮮進(jìn)議嬸靜崇爆老滿排暗外簽〔４梁〕惕證明堵．隱將上貼式左蟻方乘專次方委．因踏為港是正紋整數(shù)計(jì)，所最以可謙以應(yīng)憂用冪能運(yùn)算黃的第蔥３條早定律掉而有熱這里異我們測(cè)用了癥上面奴的超證明膛，以戚及對(duì)府于正霉整數(shù)遷冪的筆指數(shù)萍定律損的第悄一條沾．欲由此仍可見惠〔４羨〕式醋左方身是方望程芒的算灑術(shù)根壓．因遮此亭定理冬證畢首．卷為了檢更好災(zāi)地理疾解以并及教魄好一慰個(gè)數(shù)釣學(xué)問想題,勒一個(gè)傲有效脖的方杏法是魄注意嘴瞻前蕉顧后擔(dān):我戀們不胡妨回組憶一肺下小禮學(xué)生寨學(xué)分繡數(shù)運(yùn)段算的輩情況浙.如撇果有親幾個(gè)名分?jǐn)?shù)維要處養(yǎng)理,愧最好灰是先練求出旋公分臨母,倍最方丟便的弦方法俊是把學(xué)幾個(gè)端分母瘡乘起冰來,報(bào)如同炸上面慰的慌那樣草,而雕不必吼求最樹小公北分母拌.作渣了通駝分以綿后,但就完構(gòu)全成腎了分哄子的葵正整景數(shù)運(yùn)戒算鐮——醋分?jǐn)?shù)維問題滿化成稀了正鬧整數(shù)詞.我簽們這蔽里也勝是一圈樣:寨先乘偵上城次方謎,就權(quán)把分下數(shù)冪乳的運(yùn)忌算化薄成了薯正整亭數(shù)冪雅的運(yùn)滿算.取可見既從原督理到釀方法長(zhǎng)都是枕相通及的.芒以上照都是醬“值顧后糕〞悔.再餐說坑“窯瞻前槽〞殼.我籃們講碗的冪把運(yùn)算仰與小避學(xué)講皺分?jǐn)?shù)劉不同質(zhì)之處菜僅在炭于乘疊法變陶成了立乘方犧,除腐法變建成了睬開方瓦——舌這正吵是對(duì)議數(shù)的騰思想佩.如熄果再半進(jìn)一易步，龍想一瘦下如盆果對(duì)梅于冪雷運(yùn)算扶沒有瓶如此石清楚芝的理盒解，抽指數(shù)羽函數(shù)桂該怎藝么教全？豈吸非大蘇廈立脹在完刊全靠雕不住嗚的基菌礎(chǔ)上慕？對(duì)后于學(xué)諒生當(dāng)代然不躺能這致樣要社求，寧但是破作為語一個(gè)敗教師素，養(yǎng)悟成這態(tài)樣的送瞻前蜻顧后鑒的好薪習(xí)慣酒，無腎疑是張會(huì)得嫂到豐根厚的憲報(bào)償執(zhí)的.幼但是屬前面沫所講耀只不毅過是嘩“皆體會(huì)蜘〞湊：應(yīng)數(shù)學(xué)止里少傾不了蓋某些妄只可詞意會(huì)陜的參“埋體會(huì)障〞渠，但懸是終劣究應(yīng)么該用院清晰芹明確具的語襖言把拼它表多達(dá)出刷來那.所奸以，泛形式羨化蟲是不痰可避得免的洽，是自一大繭進(jìn)步訊.下狂面我喝們?cè)嚢簣D把旦它形歲式化卻.俊什么境是分惹數(shù)紅？一揚(yáng)個(gè)燒販餅３么個(gè)人予均分曠，每開人得夠個(gè).完教小打?qū)W生靜這就銷夠了驢.但乘是對(duì)姿成熟騾的中斑學(xué)老仍師，焦這是言不行稼的.魚現(xiàn)代皮對(duì)分泊數(shù)的醬理解符，就俗是廈把分僑數(shù)考草慮成嗓為一濕個(gè)有托序的莖整數(shù)皮對(duì)睡，臣其中柴.所霜謂揉“秒有序定〞芬其實(shí)芒就是汽說前源項(xiàng)是敲分子摟，后析項(xiàng)是請(qǐng)分母蝴，次煤序不松得混岡淆；民就是攏分母嚼不得復(fù)為０缺.但乏是馬是同蝕一個(gè)吐分?jǐn)?shù)庭，所諷以在導(dǎo)這類眼有序園的整念數(shù)對(duì)攤的集鉆合里銜需要賽引入竹一個(gè)紋等價(jià)右關(guān)系躍：假設(shè)民適合慎關(guān)系侵式：綠就說疫這兩張個(gè)有疫序的額整數(shù)左對(duì)等友價(jià)，就并且恥記作促確實(shí)豬是一族種等坦價(jià)關(guān)管系，膀因?yàn)楹谒咝队幸跃拢撤駰l性字質(zhì)：沈自反盆性習(xí)：小對(duì)稱抄性條：假設(shè)墾那么攻傳遞胡性慌：假設(shè)亡而且蜂那么追這些齒性質(zhì)污都不港再證熊明了踏.向以后爬就稱潔這個(gè)逝等價(jià)酸類為站一個(gè)摸分?jǐn)?shù)肝，并濤且把藝記作渡假設(shè)揚(yáng)那么說結(jié)以上習(xí)所述植全都剖可以妻在一約本較耽完備柴的現(xiàn)敢代代雪數(shù)教攪本里齊找到衣，是母每一沈個(gè)大鋪學(xué)數(shù)卵學(xué)系蕩的學(xué)勾生都巨應(yīng)該蛙學(xué)過犯的〔槍或者薄可以流容易私學(xué)懂云的〕武.因幟為手關(guān)邊沒江有參繁考書仍，就錯(cuò)不再潤指出我出處搭了，粉而是件回到策分?jǐn)?shù)賺冪問表題上王來.辰回到按用于著定義約的方臣程〔寨１〕犯.粒我們碎現(xiàn)在華不再癥用折這個(gè)志暫時(shí)聽的記獎(jiǎng)號(hào)役.但物無論添如何肝，這憑個(gè)方丹程的控解〔頓存在蔬和唯街一性貢問題甩已經(jīng)喪解決押了〕乞總是牧的函塞數(shù).癢因?yàn)槠菰谡閭€(gè)過膚程中疏一直宅沒有度變動(dòng)讀，所饑以這殿個(gè)函叫數(shù)可窗以寫血作鵝但是薪，定承理２開告訴文我們艇它其肝實(shí)是離所成拴的等掏價(jià)類目的函湖數(shù)，濟(jì)所以享應(yīng)該烤寫成峰當(dāng)然陰最自料然的醋記號(hào)大應(yīng)該幅是太，因迅為當(dāng)陪而恒就是擔(dān)正整宅數(shù)亡時(shí)，璃我們儲(chǔ)一直鹿用的越記號(hào)姐是賤可見走這不樓但不盛是暫津時(shí)的摩記號(hào)黎，而供且是晚只能續(xù)使用痰這個(gè)哀記號(hào)蠅.洞關(guān)于姻具有竄一般活實(shí)數(shù)諸指數(shù)示的冪甚運(yùn)算因?yàn)槿尾鈱?shí)透數(shù)如另何用舌極限盯方法恥加以此定義馳，并返證明獎(jiǎng)前面星說的套冪運(yùn)零算的荷3條艇定律斯，一享般書欲上都攜講過盲.雖噸然不走一定糠好懂謎，卻取不會(huì)捷引起麻誤解筑，所濱以這盜里也患不說瞧了.花２．皆一磁個(gè)習(xí)溫題狡這一羞局部恥是關(guān)議于一乳個(gè)數(shù)味學(xué)分襖析習(xí)使題，簽與中背學(xué)教蔑學(xué)無居關(guān)．中小平乏邦彥返的這辣本書蒙?允微積輩分入鞋門處Ⅰ霉，一僑元微談積分多?第城22竹4劇頁有梳如下臨的題尋目：末“省舉例除說明黑，存振在滿那么足桿并且貓?jiān)趨^(qū)鉛間霧上一菊致收陵斂于憂的連裙續(xù)函沉數(shù)序山列.陵〞班題目鹽本身研并不蠢難.泄書上途也有謹(jǐn)答案待,與薄下面竊所說勸相同母:建只需教找一紙個(gè)在令區(qū)間庭上有堡界的戰(zhàn)連續(xù)肆函數(shù)景使得漸，然飼后再欣令鋸即可早.裂喇翅在積還分吐中作煉變量喉變換早，就演有怠在區(qū)監(jiān)間丟上一眨致收側(cè)斂于毒０由違的有魄界性涼是自諒明的受.支例如仙，取加等等納均可賺.考問題末在于情這個(gè)客題目章說明凳了什啟么？由我們癥在數(shù)束學(xué)分蓮析中爛都學(xué)副過：扇“予假設(shè)區(qū)棕間暴上的通連續(xù)嚴(yán)函數(shù)渾序列短在此烏區(qū)間長(zhǎng)上一鑄致收污斂于鳥０，密那么必確可在擴(kuò)積分戚號(hào)下往取極驗(yàn)限而內(nèi)得游〞清為什朝么不米能仿距照上貓面的叔例子惜來構(gòu)儲(chǔ)造一密個(gè)反侮例來烏推翻昂數(shù)學(xué)專分析安的這驢個(gè)有追根本崇重要屯性的胸定理站呢？門至少樓可以謙這樣遮來看吼:如輕果作啟前面斤那樣濱的變狗量變廊換腦,積像分偏積分搬區(qū)間偵短了沒一大袍截,啄當(dāng)藍(lán)時(shí),齊積分番區(qū)間蔑趨為辭一點(diǎn)旋,當(dāng)掛然就素不再月可能港.胳小平晚邦彥瑞為什描么出穗這樣波一個(gè)糊題目揚(yáng)?我垂想是款因?yàn)槌晕覀償?duì)那絮個(gè)一充致收覆斂序稍列可屯以在謠積分序號(hào)下征取極擱限的哪定理安“炮太熟絡(luò)悉航〞匹，所槍以飄覺得脈陰溝填里翻包不了升船,反也就奮不太到細(xì)心輩了掩,以番為在號(hào)無窮石區(qū)間端上它欺也成直立.易我乍摟一看蘆這個(gè)濃題目沾,心譜里一無驚,畝才想饅到過貍?cè)?duì)膊此并贈(zèng)未真戶懂.剖其實(shí)帖這樣鵝的情秋況,片我們?cè)试趯W(xué)劣或者處教數(shù)敘學(xué)分夾析課占程時(shí)償,并放不少寄見.斗小平考邦彥擾的書勺里就雀有不柿少我足們自雜以為賺沒有幫問題差而其征實(shí)應(yīng)廣該細(xì)消細(xì)想櫻一想賊的材莊料.塵再分同析一近下我棟們的趕證法乘.既病然在陳函數(shù)噸前面爛加了伍因子再就把雹一條圾曲線置壓低季到原椅來高梯度的刊但是角，這雀條曲運(yùn)線下截面的嘴面積貴就只擁會(huì)趨秩向0配,而項(xiàng)為什蠻么表畫示面翠積的謹(jǐn)積分俯始終固為割呢?壇問題勢(shì)出在省自變厚量也沸在變墳化:樂由櫻變成亦了悼所以毫軸上爭(zhēng)的單限位長(zhǎng)皇度厘相應(yīng)襲于原弱來的晨軸上壞的長(zhǎng)泉度霞也就畏是說葵,曲仆線在滅高度勿被壓養(yǎng)低到雨原來罵的高板度的錯(cuò)的同哭時(shí),靈其水妨平的睛長(zhǎng)度噸卻被底拉伸盜了籃倍,聚所以嶄曲線滿下方巷的面估積是凱不變職的,疾所以躺自變眾量前艇多一療個(gè)因棚子志和函悟數(shù)值蟲前多田一個(gè)起因子碗從幾如何上股看作頁用恰銹好相編反.脆這一乞點(diǎn)與匆“樓協(xié)變打〔耐co逢va音ri飄an缸t貫〕伐〞厭和綁“些逆變纏(島co毒nt悔ra歲va蘋ri膝an躲t聾)仰〞供的相板互關(guān)嗓系有遭點(diǎn)類掘似.殘協(xié)變軟和逆齡變是巨現(xiàn)代個(gè)數(shù)學(xué)特中很角根本篇的概卡念，射其實(shí)押在此年已見呆端倪陪.我蜻在前循面講度了誕瞻前革顧后惠的道傻理，鼓不要咳以為驗(yàn)現(xiàn)代錯(cuò)的東病西一傾定是和最最裝抽象貞難懂生的東飄西.陪上面陣已經(jīng)伙屬于易瞻前辯了，遞其實(shí)膨可以喂再往夢(mèng)前面華走一宏步，尖看一童個(gè)中壞學(xué)教恩學(xué)中盆就已世經(jīng)有糟點(diǎn)忽饒悠人弦的小道問題套：函籌數(shù)累的圖鄉(xiāng)像與寄的圖工像的櫻位置匠〔不荷妨只鵝看棍的情攪況〕惕關(guān)系束，恰靠好是竄在覺左方攪相距刻處，夾而跡的圖毀像是升把紅的圖角像向?yàn)a右移絡(luò)動(dòng)一憤個(gè)雙又見席協(xié)變咐和逆獵變的遺關(guān)系礎(chǔ)！院不妨肝想得排更寬棒闊一價(jià)些：丘既然坦已經(jīng)婆看見稠了滾的幾辱何意膨義，勵(lì)何妨杰再看估一看并的幾龜何意奴義〔役但是粱我們澇現(xiàn)在拼限于掏.前僵一個(gè)腫因子抬表示奪在嶼軸方譜向上案把高跳度提碼升頸倍，季自變真量上自的因麥子赤顯然播表示箏在蛾軸方味向上扁向原航點(diǎn)收撐縮到驗(yàn)原有地的耍所以變，如壯果這筍個(gè)函示數(shù)的庸圖像猴是一吃個(gè)鐘匠形，紹那么當(dāng)愈時(shí)應(yīng)籍該能訊夠得謹(jǐn)?shù)揭魂杺€(gè)蘭“參函數(shù)逆〞濃.因漲此我羅們應(yīng)賠該可涉以證咐明:催當(dāng)著沖是一干個(gè)緊象支集跑連續(xù)真函數(shù)刑時(shí)，填應(yīng)有貧所有型這一片切都妻不難介證.斥當(dāng)然炎可以錯(cuò)考慮宜原來癢的肺就有傅緊支盞集的頭情況擴(kuò)，或牌者錢的情丟況等亞等.漁這樣蛙做，玉目的絞并不劍在于粒想得坑到某累個(gè)新背定理筍〔有時(shí)時(shí)也錫會(huì)得姿到很吹有意相思的閃結(jié)果杏〕，偏而在賠于加私深自盈己的刪理解松，使偷自己穩(wěn)在一綱門非飽常古晉老的柴課程閱〔包值括中劈學(xué)教堵材〕半里更和加如駁魚得鈔水.懇這里維說的豈“改水煙〞絹就是扮廣義達(dá)函數(shù)悅.這檢就令違人聯(lián)吸想到輔朱熹堤的名紹詩?恐讀書滑有感克?曰孕：永“晝半畝李方塘妥一鑒騰開，聞天光忠云影蟲共徘渴徊.往問覺渠哪攻得清樹如許圓，為帽有源工頭活喬水來金.白〞廚通篇服沒有挖一個(gè)肚“延書恥〞燦字，匯可是踢讀書暫教書繭的道到理算抗是講押透了普.其蔑實(shí)，快讀書陶和教遭書與濁其說飼是方玻法問巧題，扇更是沾一個(gè)奧心態(tài)卵問題科，是崗怎樣燙使自結(jié)己讀簡(jiǎn)書教籮書很訂愉快既，撕“五不那富么累嫌〞江，而弦且不榴斷得晶到源技頭活儉水，棕如醍咐醐灌矩頂，題天光勤云影樹，既絡(luò)在書仇中，驅(qū)又在吊心中松，相莖印相哄通，民豈不扒快哉款！醉閑話弱打住開，回躺到連狡續(xù)函添數(shù)的敗一致凍收斂胖問題蓮.我手們都驕知道屆有限瓶閉區(qū)棄間歉上的澤連續(xù)挽函數(shù)吳構(gòu)成樂一個(gè)蛾巴拿膽赫空究間，偽其中咬的收陽斂性撓就是格一致黨收斂俯.可顯是就葉沒有歌注意硬到，攪開區(qū)管間不像行，產(chǎn)無界好區(qū)間適不行興.現(xiàn)醉代數(shù)滅學(xué)很是明確橋地只戒講誠“想緊集約合走〞晉，這幫使得譽(yù)不少霸學(xué)生等糊涂脖，還曉有不璃少人當(dāng)覺得圈數(shù)學(xué)更家受院了布克爾巴株基之烏害.臭他們堤很少富去想胞，連鈔續(xù)函豈數(shù)可翻以達(dá)廣到最團(tuán)大最印小值蘿、連求續(xù)函腿數(shù)又龍是一愛致連