八上幾何全等三角形的性質(zhì)八大題型

專題12.1全等三角形的性質(zhì)【八大題型】

【人教版】

【題型1全等圖形的概念】.....................................................................1

【題型2全等三角形的對(duì)應(yīng)元素判斷】...........................................................3

【題型3全等三角形的性質(zhì)（求長度）】.........................................................5

【題型4全等三角形的性質(zhì)（求角度）】.........................................................7

【題型5全等三角形的性質(zhì)（判斷結(jié)論）】......................................................10

【題型6全等三角形的性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】...........................................13

【題型7全等三角形的性質(zhì)（動(dòng)點(diǎn)問題）】......................................................16

【題型8全等三角形的性質(zhì)（證明題）】.......................................................20

?第良噌?三

【知識(shí)點(diǎn)1全等圖形的概念】

能完全重合的圖形叫做全等圖形.

【知識(shí)點(diǎn)2全等圖形的性質(zhì)】

兩個(gè)圖形全等，它們的形狀相同，大小相同.

【題型1全等圖形的概念】

【例1】（2022春?偃師市期末）下列說法不正確的是（）

A.如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同

B.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)

C.全等圖形的面積相等，面積相等的兩個(gè)圖形是全等圖形

D.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等

【分析】直接利用全等圖形的定義與性質(zhì)分別分析得出答案.

【解答】解：4.如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，正確，不合題意；

B.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)，正確，不合題意；

C.全等圖形的面積相等，但是面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意;

D.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，正確，不合題意：

故選：C.

【變式1-1］（2021秋?思南縣期中）有下列說法，其中正確的有（）

①兩個(gè)等邊三角形一定能完全重合；

②如果兩個(gè)圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同；

③兩個(gè)等腰三角形一定是全等圖形；

④面積相等的兩個(gè)圖形一定是全等圖形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)分別分析得出答案.

【解答】解：①兩個(gè)等邊三角形不一定能完全重合，故此選項(xiàng)不合題意：

②如果兩個(gè)圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同，故此選項(xiàng)符合題意：

③兩個(gè)等腰三角形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

④面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

【變式1-2］（2021秋?蔡甸區(qū)期中）如圖，有①?⑤5個(gè)條形方格圖，每個(gè)小方格的邊長均為1,則②?⑤

中由實(shí)線圍成的圖形與①中由實(shí)線圍成的圖形全等的有（）

【分析】本題可通過旋轉(zhuǎn)，看后邊四個(gè)實(shí)線圖形能和①中圖形完全重合的便是①的全等形.

【解答】解：②以右下角頂點(diǎn)為定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，兩個(gè)實(shí)線圖形剛好重合，

③中為平行四邊形，而①中為梯形，所以不能和①中圖形完全重合，

④可上下反轉(zhuǎn)成②的情況，然后旋轉(zhuǎn)可和①中圖形完全重合，

⑤可旋轉(zhuǎn)180°后可和①中圖形完全重合，

故選：C.

【變式1-3］（2021春?寧德期末）在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長都為1.沿著圖中的虛線,

可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形.在所有的分割方案中，最長分割線的長度等于

【分析】沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形.畫出所有的分割方案，即可得到最長

分割線的長度.

【解答】解：分割方案如圖所示：

故答案為：7.

【知識(shí)點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)】

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平分線、

高線均相等）

【題型2全等三角形的對(duì)應(yīng)元素判斷】

【例2】（2021秋?南沙區(qū)期末）如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則/I的度數(shù)是

A.115°B.65°C.40°D.25°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N2,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：由三角形內(nèi)角和定理得，Z2=180°-115°-25°=40°,

?..兩個(gè)三角形全等，

二/1=/2=40°,

故選：C.

【變式2-1］（2021秋?大連期中）如圖，AABN沿AACM,NB和/C是對(duì)應(yīng)角，A8和AC是對(duì)應(yīng)邊，其

它對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角正確的是（）

B.48AN和NCAB是對(duì)應(yīng)角

C.AM和8M是對(duì)應(yīng)邊D.8N和CN是對(duì)應(yīng)邊

【分析】全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)在對(duì)應(yīng)位置，按順序找即可.關(guān)鍵要細(xì)心，找對(duì)對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.

【解答】解：:△ABN絲Z\ACM,N8和NC是對(duì)應(yīng)角，AB與AC是對(duì)應(yīng)邊，

.?.對(duì)應(yīng)邊：AN與AM,BN與CM；

對(duì)應(yīng)角：ZBAN=ZCAM,NANB=NAMC.

故選：A.

【變式2-2］（2021春?泰興市期末）邊長都為整數(shù)的△ABC和△OEF全等，AB與OE是對(duì)應(yīng)邊，AB=2,

BC=4,若△￡>EF的周長為奇數(shù)，則。尸的值為（）

A.3B.4C.3或5D.3或4或5

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得AC的范圍，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求解.

【解答】解：4c的范圍是2V4CV6,則AC的奇數(shù)值是3或5.

△A8C和△￡）￡下全等，A8與0E是對(duì)應(yīng)邊，貝U￡>E=AB=2,

當(dāng)QF=AC時(shí)，￡>尸=3或5.

當(dāng)OF=2C時(shí)，￡）廠=4.

故選：D.

【變式2-3］（2021秋?魯?shù)榭h期末）如果AABC的三邊長分別為3,5,7,△QEF的三邊長分別為3,3x

-2,2y-L若這兩個(gè)三角形全等，則x+y=.

【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列出方程，解方程分別求出x、y,計(jì)算即可，注意分類討論.

【解答】解：?.?兩個(gè)三角形全等，

A3x-2=5,2y-1=7或3x-2=7,2y-1=5,

解得：工=（，y=4或x=3,y=3,

則x+y=,或6,

19

故答案為：刀或6.

【題型3全等三角形的性質(zhì)（求長度）】

【例3】（2021秋?青田縣期末）如圖，已知△A8C絲△￡>￡r，B,E,C,尸在同一條直線上.若"=8ca

BE=2cm,則CE的長度（）cm.

A.5B.4C.3D.2

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出求出8￡=Cb=2c/〃，再求出答案即可.

【解答】解：VAABC^ADEF,

:?BC=EF,

：.BC-CE=EF-CE,

:.BE=CF,

?；BE=2cm,

：.CF=BE=2cm,

■:BF=8cm,

:.CE=BF-BE-CF=8-2-2=4（cm）,

故選：B.

【變式3?1】（2022秋?巴南區(qū)期末）如圖，/\ABC^/\BDE,AB.LBDfAB=BDfAC=4fDE=3,CE的

長為（）

A

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可得到結(jié)論.

【解答】解：,:△AB84BDE,

：.BE=AC=4.BC=DE=3,

工CE=BE-BC=\,

故選：A.

【變式3-2］（2020秋?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，已知△A8C絲△08，點(diǎn)A,C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)。，E,BC交

10,CF=4,則EE的長為（）

C.6D.7

【分析】根據(jù)全等三角形性質(zhì)，可得：/ABC=NDBE,進(jìn)而得出得出NFBE=NE,

得出BF=EF即可.

【解答】解：,:XNBCmXDBE,

：.ZABC=ZDBEfBE=BC,

ZABC-ZDBF=ZDBE-NDBF,

?/NABD=NE,

:./FBE=/E,

：.BF=EF=BC-CF=]0-4=6,

故選：C.

【變式3?3】（2021春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，ZVIBC中，點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在邊A3、BC±,連結(jié)AE、DE,

若△ADEg△3DE,ACAB：BC=2：3：4,且△ABC的周長比△AEC的周長大6.則aAEC的周長為

可設(shè)AC=2x,AB=3x,BC=4x.△ABC的周長比△AEC的周長

大6,可推斷出x=2,故AC=4,BC=8.由△AOEg/XBDE,得AE=BE,故CAAEC=AE+EC+AC=

BE+EC+AC^BC+AC^12.

【解答】解：VAADE^△￡￡>￡,

:.BE=AE.

：.CMEC=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC.

VAC：AB：BC=2：3：4,

二設(shè)AC=2x,AB=3x,BC=4x.

,：/XABC的周長比△AEC的周長大6,

/.CAABC-C/\AEC=6.

：.CAB+BC+AC)-(BC+AC)=6.

；.48=3x=6.

."C=2x=4,8C=4x=8.

二CAAEC=BC+AC=8+4=12.

故答案為：12.

【題型4全等三角形的性質(zhì)（求角度）】

【例4】（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC嶺Z\A'B'C,邊B'C'過點(diǎn)A且平分NBAC交BC

于點(diǎn)。，NB=27°,ZCDB'=98°,則NC'的度數(shù)為（）

C.43°D.34°

【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等求出NAO8,根據(jù)三角形內(nèi)角定理求出/8AD,根據(jù)角平分線的定義求出N8AC,

進(jìn)而求出/C,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等解答即可.

【解答】'：ZCDB'=98°,

ZADB^ZCDB'=98°,

：.ZBAD=\S0Q-ZB-ZA￡)B=55°,

??工夕平分N64C

：.ZBAC=2ZBAD=\\0°,

AZC=1800-ZB-ZBAC=43°,

VAABC^/^A1B'Cf,

：.ZCr=ZC=43°,

故選：C.

【變式4-1]（2021秋?民權(quán)縣期末）如圖，XNBgAADE,且AE〃5￡>,N8AD=94°,則N8AC的度

數(shù)的值為（）

A.84°B.60°C.48°D.43°

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出N84C=NE4。，AB=AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和

定理求出NADB=NABD=43°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NE4O=NAQ5=43°,再求出答案即可.

【解答】解：V^ABC^AADE,

：.ZBAC=ZEADfAB=ADf

VZBAD=94°,

AZADB=ZABD=^x（180°-ZBAD）=43°,

a：AE//BD,

：.ZEAD=ZADB=43°,

???NBAC=NEAO=43°,

故選：D

【變式4-2］（2021秋?招遠(yuǎn)市期中）如圖，△A8Cg/\OEC,點(diǎn)4和點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)8和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)

頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作A/J_CD,垂足為點(diǎn)F,若NBCE=56°,則NCA尸的度數(shù)為（）

A.36°B.24°C.56°D.34°

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出N3C4=NEC。，求出N3CE=NAC凡求出N4CF=56°,再根據(jù)

直角三角形的兩銳角互余得出即可.

【解答】解：VAABC^ADEC,

:?/BCA=/ECD,

，ZBCA-NECA=NECD-ZEC4,

即N8CE=NAb,

?；NBCE=56°,

AZACF=56°,

VAF1CD,

AZAFC=90a,

：.ZCAF=90Q-NAC尸==34°,

故選：D.

【變式4-3］（2022春?武侯區(qū)期末）如圖，在AABC中，在邊8C上取一點(diǎn)。，連接4。，在邊AO上取一

點(diǎn)、E,連接CE.若4ADB沿/\CDE,ZBAD=a,則NACE的度數(shù)為（）

A.aB.a-45°C.45°-aD.900-a

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/AQ3=NCQE,AD=CD,/DCE=NBAD,進(jìn)一步可得NCQE

=90°,ZACD=45°,即可求出NACE的度數(shù).

【解答】解：VAADfi^ACDE,

AZADB=ZCDEfAD=CD,NDCE=NBAD,

VZADB+ZCDE=}^0°,

：.ZCDE=90°,

AZACD=ZCAD=45°,

???NB4O=a,

:?/DCE=a,

：.ZACE=45Q-a,

故選：c.

【題型5全等三角形的性質(zhì)（判斷結(jié)論）】

【例5】（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，B'C,且點(diǎn)B'在A8邊上，點(diǎn)A'恰好在2c的延長

線上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZBCB'=NACA'B./ACB=2NB

C.ZB'C4=NB'ACD.B'C平分NBB'A'

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出8c=8'C,ZACR=ZA'CB',ZB=ZA'B'C,再逐個(gè)判斷

即可.

【解答】解：*.,△ABC經(jīng)ZkA'B'C,

：.BC=B'C,ZACB=ZA'CB',NB=NA'B1C,

A.'：ZACB=ZA'CB',

：.ZACB-ZACB'=NA'CB'-ZACB',

：.ZBCB'=NAC4',故本選項(xiàng)不符合題意；

B.,:BC=B'C,

：.ZB=ZCB'B,

.?./A'CB'=NB+NBB'C=2/8,

VZACB=ZA'CB',

.../AC5=2/8,故本選項(xiàng)不符合題意；

C.不能推出NB'CA=/8'AC,故本選項(xiàng)符合題意；

D.Y/B=NBB'C,ZB=ZA'B'C,

：.ZA'B'C=ZBB'C,

即8'C平分NBB'A',故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【變式5-1］（2021春??？谄谀┤鐖D，△AB8X①,AB=AE,NB=NE,則對(duì)于結(jié)論①AC=AF,

②N以8=NE48,?EF=BC,?ZEAB^ZFAC,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等結(jié)合圖象解答即可.

［解答］解：'：^ABC^AAEF,

'.AC=AF,故①正確；

ZEAF=ABAC,

/.ZMC-ZEAB^ZFAB,故②錯(cuò)誤；

EF=BC,故③正確；

/EAB=NFAC,故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的是①③④共3個(gè).

故選：C.

【變式5-2］（2021秋?新樂市期末）如圖，AABD會(huì)△EBC,AB=12,BC=5,A,B,C三點(diǎn)共線，則下

列結(jié)論中：

?CD±AE；

?ADLCE-,

③NEAD=/EC￡＞：

正確的是

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，從而可

以解答本題.

【解答】解：延長AO交EC于點(diǎn)N,延長CO交4E于點(diǎn)M,

,?AABD2/XEBC,

:.NABD=NEBC,AB=EB,BD=BC,NDAB=NCEB,

VZABD+ZEBC=\SO°,ZBAE=ZBEA,ZBDC=ZBCD,

...NABO=NE8C=90°,

AZZ?A￡=ZBEA=45°,NBDC=NBCD=45°,

:.NBAE+NBCD=90°,

/.Z/1MC=90°,

：.CDLAE,故①正確；

■:NCEB+NECB=90°,NBAD=NBEC,

：.ZBAD+ZECB^90°,

ZANC=90°,

：.AD±CE,故②正確；

ZADB=ZEAD+ZAED=ZEAD+45a,

ZECB=ZECD+/BCD=NECD+45°,

NADB=NECB,

：.ZEAD=ZECD,故③正確;

故填：①②③.

【變式5-3]（2021秋?五常市期末）如圖，點(diǎn)后是C。上的一點(diǎn)，RtA/lCD^RtAEBC,則下結(jié)論:

?AC=BC,?AD//BE,?ZACB=90°,?AD+DE=BE,

成立的有個(gè).

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BE,CD=BC,ZACD=ZCBE,ND=NBCE,根據(jù)以上結(jié)

論即可推出ACVBC,ND手NBED,ZACB=90°,AD+DE=CD=BC>BE,即可判斷各個(gè)小題.

【解答】解:

VRtAACD^RtAEBC,

：.AC=BE,

??,在R5EC中，BE<BCt

：.AC<BCf，①錯(cuò)誤；

VZCAD=ZCEB=ZBED=90Q,ZD<ZCAD,

:.NDWNBED,

JA。和酩不平行，，②錯(cuò)誤；

VRtAACD^RtAEBC,

:?NACD=NCEE,ND=/BCE,

???NC4D=9(T,

???NACZ)+NO=90°,

???NAC8=NACD+N8OE=9(r,，③正確；

RtAACD^RtAEBC,

：.AD=CE,CD=BC,

CD=CE+DE=AD+DE=BC,

■:BE<BC,

：.AD+DE>BEf，④錯(cuò)誤；

故答案為：1.

【題型6全等三角形的性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】

【例6】（2022?長春二模）如圖，△AOB0AAOC,點(diǎn)5和點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，ZO=ZD=90°,記NQ4O

=a,NA8O=6，當(dāng)8C〃OA時(shí)，a與0之間的數(shù)量關(guān)系為（）

A.a=pB.a=20C.a+p=90°D.a+2p=180°

【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=AC,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得N840=N。。，然后

求出N64C=a,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出NA8C,然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)表示出

/OBC,整理即可.

【解答】解：VAAOB^AADC,

：.AB=AC,NBAO=NCAD,

：.ZBAC=ZOAD=a,

在△ABC中，ZABC=^（180°-a）,

\'BC//OA,

...NOBC=180°-ZO=180°-90°=90°,

/.p+1（180。-a）=90。,

整理得，a=20.

故選：B.

【變式6-1]（2021秋?林州市期末）如圖，點(diǎn)O,E,尸分別在△ABC的邊A8,BC,CA±（不與頂點(diǎn)重

合），設(shè)NB4C=a,ZFED=Q.若△BEg^CFE,則a,。滿足的關(guān)系是（）

【分析】由/8AC=a,得NB+/C=180°-a,根據(jù)△BEZXZXCFE,即有NB=NC=90°-1a,NBDE

=NFEC,故NFEC+NBED=90°+ga,從而90°+/+0=180°,即可答案.

【解答】解：?.?/5AC=a,

AZB+ZC=180°-a,

■:叢BEDQ叢CFE,

.?./8=NC=9（r-；a,NBDE=NFEC,

1、1

：.ZBDE+ZBED=\S00-ZB=180°-（90°-1a）=90°+斜

；?NFEC+NBED=90°+1a,

?：NFED=6,NFEC+NBED+/FED=180°,

A90°+1a+0=180°,

???a+2e=180°,

故選：B.

【變式6-2]（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，MC,A三點(diǎn)在同一直線上，在△ABC中，ZA：ZABC：

N4CB=3：5：10,又叢MNC^AABC,則NBCM：NBCN等于（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.1：4

【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)各角之間的關(guān)系求出NBCM、NBCN

的度數(shù)可求出結(jié)果.

【解答】解：在△ABC中，NA：ZABC：NACB=3：5：10

設(shè)/A=3x°,則/ABC=5x°,N4C8=10x°

3x+5x+10x=180

解得x=10

則/A=30°,ZAfiC=50°,ZACB=100°

.?./8CN=18(T-100°=80°

又△MNgXABC

，ZACB=ZMCN=100°

；./BCM=NNCM-NBCN=IOQ°-80°=20°

:.NBCM；NBCN=20°：80°=1：4

故選：D.

【變式6-3](2022?定遠(yuǎn)縣模擬)如圖，銳角△ABC中，￡＞、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，ZiAOC絲△AZ)C',

△AEBgZSAEB',且C，D//EB'//BC,BE、CD交于點(diǎn)、F,若/B4C=a,/BFC=。，貝(1()

A.2a邛=180°B.20-a=145。C.a+0=135°D.p-a=60°

【分析】延長C'。交AC于M,如圖，根據(jù)全等的性質(zhì)得/C'=/ACO,ZC;

AE=a,再利用三角形外角性質(zhì)得/C'MC=ZC'+NC'AM=NC'+2a,接著利用CD//B'E得

到NAE8=/C'MC,而根據(jù)三角形內(nèi)角和得到乙4E8'=180°-NB'-a,則NC'+2a=180°-Z

B'-a,所以NC'+ZB'=180°-3a,利用三角形外角性質(zhì)和等角代換得到NBFC=NC=a+/C'+

ZB',所以N8FC=B=180°-2a,進(jìn)一步變形后即可得到答案.

【解答】解：延長C'D交AC于M,如圖，

'：/\ADC^/\ADC',△AEBWAAEB',

：.ZC=ZACD,ZCAD=ZCAD=ZB'AE=a,

：.ZCMC=NC'+"AM=/C'+2a,

\"C'D//B'E,

：.ZAEB'=NC'MC,

VZAEB1=180°-NB'-NB'AE=180°-NB'-a,

/.ZCz+2a=1800-ZB'-a,

：.AC+NB'=180°-3a,

p=ZBFC=ZBDF+ZDBF=ZDAC+ZACD+ZB'^a+ZACD+ZB'=a+ZC+ZB'=a+180°-

3a=180°-2a,

即：2a+p=180°.

故選：A.

【題型7全等三角形的性質(zhì)（動(dòng)點(diǎn)問題）】

【例7】（2021秋?柘城縣期中）如圖，/C=NCAM=90°,AC=8c〃?，BC=4a〃，點(diǎn)尸在線段AC上，

以2a〃/s速度從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)。在射線AM上運(yùn)動(dòng)，且PQ=AB.若AABC

與△P04全等，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）

A.4sB.2sC.2s或3s或4sD.2s或4s

【分析】分△ABC也△PQA和△A8C絲Z\Q以兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：當(dāng)△ABC絲△P0A時(shí)，AP=AC=8,

二?點(diǎn)P的速度為2cm/s,

.,.84-2=4（s）；

當(dāng)△ABC絲△QB4時(shí)，當(dāng)AP=8C=4,

:點(diǎn)P的速度為25而，

.*.44-2=2（s）

故選：D.

【變式7-1］（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）ZVIBC中，AB=AC=12厘米，NB=NC,BC=9厘米，點(diǎn)。

為A8的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以v厘米/秒的速度由8點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段C4上

由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒，則當(dāng)△BPO與4CQ尸全等時(shí)，u的值為（）

A.2.5B.3C.2.25或3D.1或5

【分析】分兩種情況討論：①若必△CP。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，則8O=CQ=6厘米，BP=

CP=|fiC=1x9=4.5（厘米），根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系即可求得；②若△*￡）9△C0P,則CP

=8。=6厘米，BP=CQ,得出v=3.

【解答】解：1.△ABC中，AB=AC=12厘米，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

.?.BC=6厘米，

若/\BPDq/XCPQ,則需8D=CQ=6厘米，BP=CP=^BC=1x9=4.5（厘米），

?.?點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒，

.?.點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：6+3=2（s）,

；.v=4.5+2=2.25（厘米/秒）；

若△BPOgZXCQP,則需CP=BO=6厘米，BP=CQ,

：.v=3,

的值為：2.25或3,

故選：C.

【變式7-2]（2021春?和平區(qū)期末）如圖，CA_LAB于點(diǎn)A,AB=8,AC=4,射線于點(diǎn)B,一動(dòng)

點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位/秒沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。為射線上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始

終保持EO=C8,若點(diǎn)E經(jīng)過f秒（/>0）,△QEB與ABCA全等，貝心的值為秒.

【分析】此題要分兩種情況：①當(dāng)E在線段A8上時(shí)，②當(dāng)E在BN上，再分別分成兩種情況4c=BE,

A8=BE進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：①當(dāng)E在線段A8上，AC=BE時(shí)，△ACB絲△BEQ,

：AC=4,

：.BE=4,

."￡=8-4=4,

...點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4+2=2（秒）；

②當(dāng)E在8N上，AC=8E時(shí)，

?：AC=4,

；.8E=4,

."E=8+4=12,

.?.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為124-2=6（秒）；

③當(dāng)E在BN上，AB=EB時(shí)，△AC8空△BQE,

AE=8+8=16,

點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為16+2=8（秒），

故答案為：2,6,8.

【變式7-3]（2021春?高新區(qū)期末）如圖，ZVIBC中，ZACB=90°,4c=6,8c=8.點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)

沿A/C-B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)為B點(diǎn);點(diǎn)。從B點(diǎn)出發(fā)沿8-C-A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)為A點(diǎn).點(diǎn)

P和Q分別以每秒1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻,

分別過P和。作PEL于E、作QF，/于F,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，以P、E、C為頂點(diǎn)的三角

形和以0、F、C為頂點(diǎn)的三角形全等.

C

【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CP=CQ,代入得出關(guān)于t的方程，解方

程即可.

【解答】解：分為五種情況：①如圖1,P在AC上，Q在5c上，則PC—6-r,QC=8-3r,

:PEL,QFLl,

：.ZPEC=ZQFC=90°,

J，

u：ZACB=90°,

：.ZEPC^ZPCE=90°,ZPCE+ZQCF=90°,_____

ECF

:?/EPC=NQCF,圖1

VAPCF^ACgF,

:?PC=CQ,

即6-，=8-33

r=l；

1

②如圖2,尸在5C上，。在AC上,則尸C="6,QC=3/-8,FCE

圖2

???由①知：PC=CQ,

???L6=3L8,

t—1；

r-6<0,即此種情況不符合題意；

③當(dāng)產(chǎn)、。都在AC上時(shí)，如圖3,

E(F)C

CP=6-/=3L8,圖3

7

t=2'

④當(dāng)Q到A點(diǎn)停止，P在BC上時(shí),AC=PC,L6=6時(shí)，解得，=12.

⑤尸和Q都在BC上的情況不存在,因?yàn)槭乃俣仁敲棵雔ew,Q的速度是每秒3c〃?；

7

答：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或3或12秒時(shí)，以P、E、C為頂點(diǎn)的三角形上以0、F、C為頂點(diǎn)的三角形全等.

7

故答案為一或尹⑵

【題型8全等三角形的性質(zhì)（證明題）】

【例8】（2021秋?大化縣期中）如圖所示，己知尸。，ADJ_BC于。.

（1）求證：CE±AB；

（2）己知BC=7,AO=5,求AF的長.

【分析】（I）由得出N8AO=NOCF,再利用三角形內(nèi)角和即可得出答案;

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=OC,即可得出8。=。凡進(jìn)而解決問題.

【解答】(1)證明：V/\ABD^/\CFD,

:.NBAD=NDCF,

又丁NAFE=NCFD,

.?./AEF=/CW=90°,

：.CE1AB；

(2)解：VAABD^ACFD,

：.BD=DF,

,:BC=1,AD=DC^5,

：.BD=BC-CD=2,

：.AF=AD-DF^5-2^3.

【變式8-1]（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，4,E,C三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC絲△ZME.

（1）線段OE,CE,BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

（2）請(qǐng)你猜想△?!￡＞《滿足什么條件時(shí)，DE//BC,并證明.

D

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出4E=8C,/)E=AC,再求出答案即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出N