奔馳定理、極化恒等式、等和線

奔馳定理、極化恒等式、等和線

奔馳定理、極化恒等式、等和線

★奔馳定理

定理如圖1,已知尸為

A48c內(nèi)一點，求證5?萬5+

SB-PB+Sc-PC=6,其中

SA、SB、SC分別是ABPC、

ACPA,AAPB的面積.

如圖4,由題可知存在人，

從,尸(均不為0),使得入?PA+

fx-PB+yPC=6(1),在直

線或，而，而上取點0,E,F,

使得訪=A?PA,PE="?

圖4

PByPF=y-PC,/.PD+PE

+尸尸=

0,/n?ySA,ySB

與

&與

一

5C人a/

一-=

===lATPB-

54\+

一"yTPCS

人

--A

o

5CT?*+?=

PCf5X5C

奔馳定理常用于解答與三角形內(nèi)任意一點有關

的三角形面積問題.

例1.假設點0是AABC內(nèi)的一點，且滿足耐+

2赤+3麗=G,貝I」守的值為.

1

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例2.假設點0是NkBC內(nèi)的一點，且畫+20B

+3配二3通+2而+B，則P嘰衿掃逐的值

為.

利用奔馳定理可以容易解決如下問題：

例1(2004全國高中聯(lián)賽)點P在44BC內(nèi)部

滿足豆+2兩+3元=6,則S”8c:S'pc為().

(4)2(8)((C)3(4)|-

例2(第26屆“希望杯”高二第1試)已知點

4,B,C,P在同一平面內(nèi)，且而=\~PA.QR="

JJ

QB,BP-~RC,則SMJC:SAPBC=()?

(4)14:3(8)19：4(C)24：5(0)29：6

例3(第25屆“希望杯”高二第1試)HAABC

重心的直線PQ交4C于點P,交BC于點Q屈=

■-ACtQC=則n的值是.

例4m設點M在AABC內(nèi)且為A4BC的外心，

乙84c=30。，若4M8C,AMC4,AK4B的面積分別

是則X+y的最大值是.

4

2

奔馳定理、極化恒等式、等和線

二、應用

例1（2019年清華大學標準能力測試）已知。是

__s

△ABC內(nèi)一點，殖+2蘇+2.

、AABC

結論1已知。是△4NC內(nèi)一點，匕OA+t2OB+

%說:0,則沁、--——.

3ZVI8CM+‘2+*3

例2（2016年清華大學領軍計劃自主招生）。為

△內(nèi)一點，滿足〃“陽：S"℃：S⑼=4：3：2,設布=

AAB+從AC,則A=,/JL=.

練習1（寧波市2020學年第二學期期末考）已知P

是△43C內(nèi)一點,2萬+3港+5記=0,則^=____.

、2BPC

練習2（2012年全國聯(lián)賽山東賽區(qū)預賽）已知。

是△4BC內(nèi)'一點,40=-^~AB+~^-AC,則A0/，B=____.

34'AOBC

三、推廣

例3已知。是平面48。內(nèi)一點,5福+4笳-3比

S

=0,則白這2△013

5二----?

'AORCQ△八BC

結論2已知。是平面48。內(nèi)一點,小蘇+〃沃+%說

=0,771,屋"￡R，則二I777I*I

3

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例4(全國高中聯(lián)賽初賽改編題)已知△45C中，。

為內(nèi)心,4。=2,=3,46=4,且由=%建+y無，則%+

y的值為.

結論3已知△45。的角對邊分別為a,〃,c,

則有：

(1)若點0是內(nèi)心QQ?OA+b-OB+c>OC

=0;

(2)若點。是△45。外心u>sin24-OA+sin2B?OB

+sin2C?OC=0;

(3)若點、。是AABC垂心QtarM-04+tan5?OB+

tanC,0C=0.

已知點P為AABC內(nèi)一點，且討+2PB+4PC=

6,則的面積之比是().

A.9：4：lB.1：4：9C.3：2：lD.4：2：l

推論1若點G為AABC的重心，則福+港+

GC=0.

推論2若點，為ZUBC的垂心，則tan?i?HA

+tanB?~HB+tanC?HC=0.

推論3若點。為4ABC的外心，則sin2.4?OA

+sin2B-08+sin2C-OC=0.

推論4若點/為4ABC的內(nèi)心，則sin4-7?+

sinB,IB+sinC,IC=0或a,IA+b?IB+c?7c=o.

4

奔馳定理、極化恒等式、等和線

變式應用

已知點P為&ABC的垂心，且不+2方+4記

=0,則cosZ.BPC=.

【典例】已知點O為△ABC內(nèi)一點，且有示+2和十

3慶=0"己△AbC,Z\B（）C,/SAOC的面積分別為Si，S2,

S3,貝"S,:S2：S3等于)

C.6：1：2D.6：2：1

【變式1】已知P是△ABC內(nèi)一點，蘇=1?（江+

充），則△ABC與AABP的面積之比為（）

A.2B.3

3

C.號D.6

乙

5

奔馳定理、極化恒等式、等和線

【變式2】設D為△"（?的邊AB上一點，P為內(nèi)的

一點，且滿足而，祚就，則空山=（）

45

【推廣1】面積與向量的結合

【例1】（南京大學自主招生考試）已知O為AABC內(nèi)的

任意一點，求證：Si（）X+S2&+S3慶=0.（其中S],S2,

S3為△BOC,△AOC,△AOB的面積）

【推廣2】“外面的世界更大”——將三角形內(nèi)部一點推

廣至所在平面內(nèi)的任意一點

設點。為△ABC所在平面內(nèi)一點，awzGR且滿足

+=0,記△BOC,△AOC,△AOB的面積

分別為S|,S2,S3,則S]：S2：S3=|I|：3：|z|.

【例2】（全國高中聯(lián)賽湖北省預賽）已知點P是△ABC

所在平面上的一點，滿足市+領+2拓=3R5.求AABP

面積與△A6C面積之比.

6

奔馳定理、極化恒等式、等和線

【變式】已知P是△ABC外部的一點，滿足2屆友'=

談，則△BCP,/SABP,Z\ACP的面積之比為.

引例1(北京市朝陽區(qū)2017年高三上學期期

末考試)設。點在A4BC內(nèi)部，且有“成+y范+

zOC=。，記LAOB.LBOC^AOC的面積分別為

S&AOB，SMOC，SAAOC，(1)若%-J=z=1，則

Swoe:S/^oc=；(2)若％=2,y=3,z=4,

則S4A0B;S&BOC:SAAOC=?

引例2(2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽黑龍江省

預賽)。點在△43C內(nèi)部，且有而+2強+3而=

G,則ZUBC的面積與A4OC的面積之比為().

(4)2(B)3(C)f3(D)今5

乙D

引例3(2016年清華大學領軍計劃自主招生)

已知。是△4BC內(nèi)一點，滿足5△408:SABOC:S&COA=

4：3：2,設肅=AAB+〃就，求實數(shù)人必的值.

7

奔馳定理、極化恒等式、等和線

引例4（2019年合肥一中聯(lián)考）已知。是

AABC內(nèi)一點，設就=A誦+從斤,則人+2以的取

值范圍是.'

定理1設。是小43。內(nèi)一點，且有4萬？+

yOBzOC=G,%,y,z為不全為零的實數(shù)，記

△AOB,△3OC,ZUOC的面積分別為Sc§島，則

SA'SB'Sc=X:y：z.

定理2設。是△4BC內(nèi)一點，記匕AOB,

△BOC,AAOC的面積分別為Sc,Sa,Ss,則?萬？+

SB-OB+Sc-OC

定理中點0在三角形邊上或外部，會怎樣呢？

推廣1設。是△4BC所在平面內(nèi)一點，且有

④蘇+,誦+z屁=。,冗,hz為不全為零的實數(shù)，記

△AOB,RBOC,XAOC、XABC的面積分別為SCt

SA&S,則S/SjSc=1/l：lyl：lzl,且興=

ItI

Ix+y+zI'

8

奔馳定理、極化恒等式、等和線

應用舉例（高中數(shù)學聯(lián)賽湖北預賽.）已知點

P是△45C所在平面內(nèi)一點，滿足或+P5+2PC=

3蕊.，求AABP與.ZUBC的面積之比.

問題再現(xiàn)（南充市高2018屆第二次高考適應性

考試理科題10（簡稱“題10”））已知點。為△43。內(nèi)一

點，且有方+2沃+3說=0,記△48C,△8。。，/\AOC

的面積分別為S,,S2,S3，則SJ§2：S3等于（）.

A.6：1：2B.3：1：2C.3：2：1D.6：2：1

變式1設P為AABC內(nèi)一點，且/二十懣+

■就，則與△然（?的面積之比為（）.

A.43-B.今12C.4-D.三4

5455

變式2設P、Q是△48C內(nèi)的兩點，且/二

W4g+0404。=W4g+，則Saw:S△俐二

9

奔馳定理、極化恒等式、等和線

變式3（2016年清華大學自主招生第26題）

若。為4ABC內(nèi)一點，滿足S△八小S&BOC:S,=

4：3：2,設4。=446+從4a則A+從二.

推廣已知點。為4ABC內(nèi)一點，且有p04+

q加+「說=0,記ABOC,/\AOC的面積分

別為S1,§2,S3,則S.：S2：S3等于—.

定理I已知P為△ABC內(nèi)一點，則

S4BPCP鼠+S/XCPAP百+S^APBP.=0.

拓展設點。在AsABC內(nèi)部，且有4+

qOS+rO?=0,其中p,q、r￡(0,+oo),則

△AOB,△BOC,AAOC與△ABC的面積比分別

r

為Dq

p+q+->+q+r'pq-\-r

例1（2004年全國聯(lián)賽）設點。在ZkABC內(nèi)

部，且有。X+2該+30f=0,求AABC的面積

與△AOC的面積的比值.

10

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例2（2016年清華領軍計劃）。為ZVIBC內(nèi)

一點，若：S△及犬S^AOC=4：3：2，設A〉=

入不有+〃4自，則實數(shù)義和〃的值分別為（）

442

(A)2(B)

1921

(C)VT

定理2在△A8C中，/為內(nèi)心，則

aTX+bTB+cT^=0.

推論在△ABC中，/為內(nèi)心，則

sinA?77r+sinB?IB+sinC-7?=0.

例3已知/XABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊

的長依次為a,b,c,M為該三角形所在平面內(nèi)的一

點，若Q麗才+〃而有+c/=0.則M是AABC

的（）

（A）內(nèi)心.（B）重心.

（C）垂心.（D）外心.

例4設/為AABC的內(nèi)心，A8=5,AC=

4,CB=3,^I=xAS+yB?,則y的值

是.

定理3在△ABC中,O為外心，則sin2A?

OX+sin2B-OS+sin2C-C?=0.

11

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例5設P為△ABC的外心，且AX+而+

APC=0,/。=120°,則實數(shù)入的值為.

定理4在△ABC中，G為重心，則G天十而

+G?=0.

例6已知O為△ABC內(nèi)一點，滿足稔+

0^+0?=0,A5.Af=2,且ZBAC=件，則

O

△OBC的面積為.

例7（2009年陜西高考題）在/WB。中,M

是BC的中點，AM=1,點P在AM上且滿足可？

=2而網(wǎng)帶?（拓+京）等于.

定理5在△ABC中，H為垂心，則

tanA?HA+tanB?HB+tanC?HC=0.

例8設H為Z\ABC的垂心,AB=AC=5,

BC=6,AH=mA百+n，求m+n的值.

12

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例9已知O是平面上的一個定點，A,從。

是平面上不共線三個點，動點p滿足。聲=oX+

A(----F>——)ae[o,+8),貝Ip

廊|cosB|AC|cosC

的軌跡一定通過△ABC的()

(A)外心.(B)重心.

(C)垂心.(D)內(nèi)心.

例10(2003年天津高考題)已知O是平面

上的一個定點，A,B,C是平面上不共線三個點，動

點P滿足。戶=oA.+A(??.)，/G[。，

IABI|A?I

+8),則p的軌跡一定通過△ABC的()

(A)夕卜心.(B)內(nèi)心.

(C)重心.(D)垂心.

定理6在ZXABC中，/八為ZBAC所對應

的的旁心，則一sinA?IAA+sinB-+sinC?

7^=o.

13

奔馳定理、極化恒等式、等和線

★極化恒等式

極化恒等式如圖1,AOPQ中，H是

---?--->1

PQ中點，則OP-OQ=OH?一^PQ2.（證明過

4

程略）

變式推廣ZXOPQ中，過PQ中點H作

線段MN,且MN與PQ互相平分，則

OM2+ON2-PM--PN2

OP?OQ=

2

證明如圖2,記9=。，述=8.0法=

c,ON=d,

由題意則a+b=2OH=c+d，

(c)2+(d)2+2c(a+6—c)—(a)2—(h)2

~1T

(c)24-(d)2—(a—c)'—(b—c)'

-

()M2+()N2-PM--PN2

2

14

奔馳定理、極化恒等式、等和線

(1)極化恒等式的代數(shù)形式

(4+1)2=42+2日?1十12①

—b=~a2~2~a?b+b2②

①式一②式得(a+〃”一(a—〃”=4a,b.

—6）21極化恒等式.

推論1（極化恒等式

的平行四邊形模式）如圖1,

在平行四邊形ABCD中，有

---?---?1--->

AB-AD=—（\AC\2-

4

|BD|2）.

推論2（極化恒等式的三

角形模式）如圖2,在AABC中，

若M是的中點，則有

AB?AC=AM2-MB2=

AM2--^BC2.

4

--->---A

證明：由于M為BC的中點，則有MC=—MB.

--->--->---->--->--->--->

從而AB?AC=(AM-\-MB)?(AM+MC)=

(AM+MB)?(AM-MB)=AM--MB2=AM2-

1―?

VBC2.

4

故得證.

15

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例1（2022年北京卷，10）在△ABC中，

AC=3,BC=4,ZC=90°,P為△AXC所在的

平面內(nèi)的動點，且PC=1,則前-班的取值

范圍為().

(A)[—5,3]

(B)[—3,5]

(C)[—6,4]

(D)[—4,6]

例2（2021年天津卷，15）在邊長為1的

等邊三角形AbC中，D為線段3C上的動點,

DE±AB且交AB于

E.DF//AB交AC于

（DE+DF）?DA

的最小值為.

例3已知單位圓上

有三個點八，3,。，求讖

-衣的最小值.

16

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例1（2018天津高考試題）如圖，在平面四邊形

ABCD中，八B_[_BC,AD_LCD，NBAD=120°,AB=

AD=1.若點E為邊CD上的動點，則旗?碗的最小

值為（）.

A21

A，16

、25

c—D.3

46

A

例2（2020年天津高考試題）如圖4,在四邊形

--------?------A

ABCD中，/8=60°,48=3,8。=6,且八。=；1BC,

—?—>3

AD-AX=一歹，則實數(shù)A的值為；若M,N

乙

AAA

是線段BC上的動點，且|MN|=1,則DM-DN的最

小值為.

例3已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓

O,E為BC上的一動點，延長AE交圓O于點F,求

FA?屆的取值范圍.

圖5

17

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例4如圖6,已知正方形ABCD的邊長為4,點

E為A3的中點.以A為圓心，AE為半徑，作圓弧交

AD于點F.若P為劣弧EF上的動點，則正?赤的

最小值為.

公式妙用

1.以三角形或多邊形為背景

例1（2018浙江高中數(shù)學聯(lián)賽題）設|篇I二

10,若平面上點P滿足，對于任意力wR，恒有|不-

看46|三3,則P4-P3的最小值為,此時

\PA+PB\=.

練習1’（2019添州模擬題）C

如圖3,在平面四邊形ABCD中，猱//1

AB_LBC,ADLCD,ABCD=60°,

CB=CD=2耳.若點、M為邊BC\/\

上的動點，則嬴,加的最小值為A--------D

.（答案:日）圖3

18

奔馳定理、極化恒等式、等和線

2.以圓為背景

例2(2016浙江聯(lián)考

題)如圖4,圓()為RlZUBC的

內(nèi)切圓，已知4c=3,8。=4,

乙C二90。，過圓心。的直線/

交圓。于P,Q兩點，則m?

萬的取值范圍是.圖4

例3如圖3,半徑為4的圓。上有三點

4,8,。，滿足。4+n方+玄=0,點P是圓

O內(nèi)一點，貝U戶丸?FO+PB?前的取值范

圍是()o

圖3

A.[—16,56]B.[0,16]

C.匚一8,56口D.[16,64]

19

奔馳定理、極化恒等式、等和線

基礎訓練

(1)如圖2,在平行四邊形ABCD中，AB=6,

AD=4,點P是邊CD的中點，則網(wǎng)-PS的值

為.

圖2圖3圖4

(2)(2017年江蘇省鹽城市高三上學期期中試

題17題)如圖3,在四邊形ABCD中，||=4,

這?/=12,E為AC的中點.若砒=2而，求

M?D?的值.

(3)(2012年江蘇省南京市高三二模13題)如

圖4,在△ABC中，點分別是線段AB,AC的中

點，點P在直線EF上.若△ABC的面積為2,則而

?的十或2的最小值是.

20

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例1（2019年江蘇省蘇

州市高三上學期期中試題13

題）如圖5,在平面四邊形

ABCD中，AB_LBC,ADJ_

CD,ZBCD=60°,CB=CD

=2篇.若點M為邊BC上的

動點，則入而-DM的最小值為

例2已知a,b,c是同一平

面內(nèi)的三個單位向量，且aJ_b,

則（c—a）?（c—b）的最大值為

例3（2017年高考全國D卷理科第12題）已

知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC

內(nèi)一點，則前?（而+P?）的最小值為.

21

奔馳定理、極化恒等式、等和線

如圖8,在等腰梯形ABCO中，AB=4,ZBAD

=60°,A5=2左，E為邊CD的中點，M是梯形

ABCD所在平面內(nèi)一點，則破-（M?+M）的最

小值為.（答案：一得.）

乙

例4如圖9,在△ABC中，D、E分別是BC、

AD的中點，豆4?ET=4,DC-D8=—1,則就?

c￡的值為.

如圖10,在△ABC中，。是BC的中點，E、F是

AD的兩個三等分點，豆彳?這=4,m-E=—1,

則至?c￡的值是.（答案：j）

O

22

奔馳定理、極化恒等式、等和線

例5（2020年江蘇省揚州市高三一模第13

題）已知點D為圓0：〃+丁=4的弦MN的中點，

點A的坐標為（1,0）,且麗-AN=1,則次?OS

的最小值為.

例6（2013年浙江省高

考數(shù)學理科卷第7題）設

△ABC中，P°是邊AB上一定

點，滿足RB=+AB,且對于

邊AB上任一點尸，恒有的-

圖12

A.ZABC=90°B.ZBAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

鞏固練習

（D如圖13,放置的邊長

為1的正方形ABCD,頂點A、

。分別在。軸、y軸正半軸（含

原點）上滑動，則3?笈的最

大值為.

（2）已知MN為邊長為

2同的等邊AABC的外接圓

的一條動弦,MN=4,P為

△ABC的邊上的動點，則麗克?PN的最大值

為________

23

奔馳定理、極化恒等式、等和線

(3)在銳角/XABC中，A,B,C所對的邊分別為

。，仇“且。=2,6+c=4,則A5?/的取值范圍是

(4)在△ABC中，tanA=-3,AABC的面積

SAABC=l,Po為線段BC上一定點，且滿足CP。=

若P為線段BC上任意一點，且恒有網(wǎng)?P?

O

＞耳克?冗古，則線段BC的長為.

★等和線

1等和線的定義

如圖1所示，直線DE//AI3,C為直線DE上任

一點?設正=a-PA+yPB(.r，3-eR).

(1)當直線DE經(jīng)過點

P時,容易得到才+y=L

(2)當直線DE不過點

P時，直線PC與直線AB

的交點記為F.因為點F在

直線AB上,所以由三點共

線結論可知若評=入前十〃寇R),則；1+

幺=1.

由△PARS△PAFs^PEC,可知存

在一個常數(shù)止R.使得--匹A?尸”其中￡=I時PCI=

\PE\_\PD

)?則

\PA\~\PB\

~PC=kPF=kX前+配RB.

又因為育=才示+)同(才~62,所以

x=kX+A"=h.

24

奔馳定理、極化恒等式、等和線

2等和線定理

平面內(nèi)一組基底前.刀及任一向量港滿足：

PF=A前十〃前a.〃GR）,若點F在直線八3上

或在平行于AB的直線上，則;1+幺=4（定值），反之

也成立,我們把直線AB以及與直線AB平行的直線

稱為等和線.

3應用舉例

亍例1給定兩個長度為1的平面向量永和標.

它們的夾角為三，如圖2所示,

點C在以O為。心的圓弧AB

上運動，若不：=73X+_y而

（z.yGR）,則I+?的最大值

是.

于例2（2017年全國【II卷理12）在矩形A8CD

中，AB=1.AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD

相切的圓上.若啟=入荏+幺彷?則入+〃的最大值

為（）.

A.3B.25/2C.>/5［）,2

亍例3如圖7所示.圓O是邊長為26■的等邊

△ABC的內(nèi)切圓，其與8C邊

相切于點力，點M為圓上任意

一點.施=/前十y就（h.

）eR）,則2父+）的最大值

為（）.

A.72B.73圖7

C.2D.2"

25

奔馳定理、極化恒等式、等和線

在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,aKb.動點、P在以C

為圓心且與相切的圓上，如圖所示，若不下=1不再十

了不方(I,_yGR),求/+》的最大值.

在△ABC中，AB=c,AC=〃，/8AC=a，四邊形BCDE

為平行四邊形，點O在線段DE上，如圖所示，動點。在以

。為圓心且與BC相切的圓上，圓。的半徑為廠，若辦=

x不有+y(zoGR),求x-\-y的最大值.

26

奔馳定理、極化恒等式、等和線

7T

在△/8C中，A=~,AB=AC=2,下述四個結論中正確

2

的是（）

__.1—.?__.

A.若G為AABC的重心,則=+

33

B.若P為/。邊上的一個動點，則力戶?（4月+力乙）為定值2

C.若M,N為以?邊上的兩個動點，且AW=&,則血的最

3

小值為-

2

D.已知。為△45C內(nèi)一點，若BP=1,且刃;=九而+〃藍，則；1+JJ〃的最大值為2

牛刀小試1.如圖，在扇形048中，乙40B=60。，點、C為弧AB上的一個動點、.若無=

x（）A+y（）B,則x+3y的取值范圍是.

牛刀小試2.如圖，在正方形力成7）中,￡為48的中點，P為以力為圓心、力8為半徑的圓

弧上的任意一點，設向量4（；=4力+〃力戶,則4+4的最小值為