第一章5.1二項(xiàng)式定理

--§5二項(xiàng)式定理5.1二項(xiàng)式定理.．2式..．.中,項(xiàng)？0答二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)完全是不同的兩個(gè)概念．二項(xiàng)式系數(shù)是指Cn，C錯(cuò)誤，…,C錯(cuò)誤!,它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與,b的值無關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)是0指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部,它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)而且也與ab的值有關(guān)．2二項(xiàng)n與n展開式中第r？答

n第為C，nｂｎｂ

為錯(cuò)誤１.二項(xiàng)式定理n（a+n＝C０n+C錯(cuò)誤a-１＋…＋C錯(cuò)誤n－r＋…C錯(cuò)誤!bn這個(gè)公式n就稱為二項(xiàng)式定.２．二項(xiàng)式定理的有關(guān)概念1式在(a＋b）n＝C錯(cuò)誤!aｎ+C錯(cuò)誤!n－1bC錯(cuò)誤!an－2+…＋C錯(cuò)誤!an－rb+Ｃ錯(cuò)誤bn中，右邊的項(xiàng)式叫作(a＋bn的二項(xiàng)展開式.(2二項(xiàng)展式的項(xiàng)----ｂｂ在二項(xiàng)展開中,C＼ｏ＼al(r,nn－rr叫作二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用示，即通項(xiàng)為展開式的第r＋１項(xiàng).

T表＋１Ｔr+1=錯(cuò)誤an-rbr(其中0≤r≤n，r∈N,n∈N+)．此公式也稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公.Ｔ３二項(xiàng)式系數(shù)r在展開式,每一項(xiàng)Ｃ錯(cuò)誤a－ｂ的系數(shù)Ｃ錯(cuò)誤稱為二項(xiàng)式系.r要點(diǎn)一二項(xiàng)式定理的正用、逆用例1（1求３x+錯(cuò)誤４的展開;2簡(１)5+５(x－）4+10－１)３1０(1２（x－)．解(1)法一(3x+錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!(3錯(cuò)誤!)４C錯(cuò)誤!3錯(cuò)誤!3·錯(cuò)誤!＋C錯(cuò)誤!（2誤錯(cuò)誤誤·(誤錯(cuò)誤誤=81２1０8x+５4+f(12)+錯(cuò)誤．法二3x＋錯(cuò)誤）4＝錯(cuò)誤!＝f(1２（1４+083＋５42＋121）ｆ=12＋108x＋5４+＼(１２,)+錯(cuò)誤.ｆ! !（2C錯(cuò)誤（x-)5＋C錯(cuò)誤（－4+Ｃ錯(cuò)誤１)3+C錯(cuò)誤(１! !+Ｃ錯(cuò)誤-1)+錯(cuò)誤－1=[(－１＋1]５-1=5－1.規(guī)方法運(yùn)用二式理開項(xiàng)式,要記準(zhǔn)開的項(xiàng)式對較雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡再展開更簡捷;要搞清楚二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)以及該項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別．逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡，對于這類問題的求,要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù)．----跟蹤練１(1)展開2x+錯(cuò)誤6;（2)化簡:１＋２C錯(cuò)誤+C錯(cuò)誤…2nＣ錯(cuò)誤．ｒ解(１（２＼(）錯(cuò)誤）6=錯(cuò)誤（2＋1６ｒ!!26Ｃ錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤）!!26x３=643+192２+401６0＋60+f(2,2）＋1.x３x(2原式＝1２C錯(cuò)誤22錯(cuò)誤+…+2nC錯(cuò)誤＝(1+n=3n.要點(diǎn)二二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用例2若(錯(cuò)誤+錯(cuò)誤n展開式中前三項(xiàng)系數(shù)等差數(shù)列,求：（1）展開中含x的一次項(xiàng)；２展開式中的所有有理項(xiàng)．解即得＝8,或n＝1（去)．誤誤誤誤令4錯(cuò)誤r＝１，得r4.ｘ所以x的一為T5=C４，82-4x＝錯(cuò)誤!.ｘ３(2令4－４r∈,且0≤r≤8則r＝,4,８所以含x的有理項(xiàng)分別為T1＝ｘ３4，T５＝錯(cuò)誤x，９＝錯(cuò)誤.規(guī)律方法利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中具有某種特征的項(xiàng)是關(guān)于二項(xiàng)式定理的一類典型題型.常見的有求二項(xiàng)展開式中的第項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、含某字母的r次方的項(xiàng)等.其通常解法就是根據(jù)通項(xiàng)公式確定Tr1中r或．----跟蹤練2已知二項(xiàng)式(x2+錯(cuò)誤10.１第5；)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．解(１)(2+錯(cuò)誤!)10的展開式的第５項(xiàng)為5＝Ｃ!·6·(!4＝２設(shè)第r＋１項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，ｒ則ｒ2,…，10,令0-錯(cuò)誤r＝0，得r＝８，所以誤誤第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其值錯(cuò)誤.要點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例3(1用二項(xiàng)式定理證明:34n＋２+521能被４除；（2)求１92除以1０0的余.(1證明＝(14-2n＋１+52+1=142n+1-Ｃ錯(cuò)誤!×14２n×5C錯(cuò)誤!×12n-１×2－…+Ｃ錯(cuò)誤!×1４×n－C錯(cuò)誤×52n+1＋2n+1=14（42n－錯(cuò)誤×1４２n1×5＋錯(cuò)誤×142n2×52…+C錯(cuò)誤×52n).１4的被4整除,所以３42＋52n＋１能被4整．9解一91９2=(1０-992＝10０2－C12×1０091×９+2，92×１０0９0×9９２－…-C錯(cuò)誤×10×991＋９92１0９9２被0求9２以0的．∵9９2＝(10-１92＝１092錯(cuò)誤×1９1+C錯(cuò)誤×190-…+錯(cuò)誤×1０２-Ｃ錯(cuò)誤×1+(１92----＝1092－錯(cuò)誤×1０9１錯(cuò)誤×190－…錯(cuò)誤×1２－９20＋1（192－C錯(cuò)誤×１01＋C錯(cuò)誤×1９…＋錯(cuò)誤×１02－1０００1,∴被0除數(shù)為81，即12除以0的為8．法二由９１9２＝（90＋192＝C錯(cuò)誤×9０９2+Ｃ錯(cuò)誤!×90９1＋…+C錯(cuò)誤9０2錯(cuò)誤×9+1,可知前面各項(xiàng)均能被100整除只有末尾兩項(xiàng)不能被100整除由于C錯(cuò)誤×９0＋１＝８２8＝8２00８1故９92以1０0為1．規(guī)律方法利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系．跟蹤演練３求證5-1被7整除.明∵51５1＝9２)１１＝C錯(cuò)誤451＋C錯(cuò)誤49０×2…＋C錯(cuò)誤×4×250+C錯(cuò)誤×251-1．∴易知除（C錯(cuò)誤×251-１外各項(xiàng)都能７整．又２５1－1=(３）7－（7+11７-１＝C錯(cuò)誤×７１7錯(cuò)誤×7+…+C錯(cuò)誤×7＋C錯(cuò)誤1＝７(Ｃ錯(cuò)誤７1６＋錯(cuò)誤715+…+C錯(cuò)誤),顯然被7整除，所以(5１51-１)除.1．(1+24=b錯(cuò)誤(a，b為有理)，則a＋b等( )A．33．29 C．２3 Ｄ1９答案B----解析∵(1+r（２)）4=1＋錯(cuò)誤+12＋８錯(cuò)誤＋=1712錯(cuò)誤=a+b錯(cuò)誤,又∵a，b為有理數(shù),∴a＝17,b＝1２.∴a＋2９.在(1－x5－(1－)6的中,含3的項(xiàng)數(shù)（)A．５B5Ｃ.-１０D．10答案D!解析1－5中3數(shù)Ｃ錯(cuò)誤=0（1-６中3誤-1）!3=２0,（1-5-(1－x6的中3為.3３.（2x-25的．3）解先化簡再求展開式（2－f(３,22））錯(cuò)誤（3)4(-3)＋C錯(cuò)誤(４3)３－3）2＋5錯(cuò)誤誤（5８ｘ＝3２５－12２+f(8０)-f1３5,４＋40７－錯(cuò)誤８ｘ1．注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念．２.要牢記錯(cuò)誤an-r是式第＋1項(xiàng)不認(rèn)第項(xiàng)．3.求定必通式一指具求令為特值.一礎(chǔ)標(biāo)１.2６式中x３的系? ?? ? ? ()Ａ20 ? .４0 ?.0 ?Ｄ.160----答案D解析法一設(shè)含3的項(xiàng)第＋1項(xiàng),則6r,得6r３,中３為C３×２3=1６0．6二根的x與2為6,件3按3與3可,則中3為錯(cuò)誤×2３＝16．2.(2１·江西(x２-錯(cuò)誤5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為? ?( ）A0 ?.80 ? Ｃ.0 ?．－4０答案Ｃ解析展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋１＝C錯(cuò)誤2)5－r（－錯(cuò)誤）r=C錯(cuò)誤x１０-５rｒ（-.由1-５r＝０，得２,所以常數(shù)項(xiàng)為T21=錯(cuò)誤－22＝40.3（-＼(2)y）1０的展開式中6y４的數(shù)?? ?? ( )ｒA．8４0 ? ．-40 ???C.21０ －0案AＴr0解析在公式r＋＝C，1（-錯(cuò)誤１0-r中,令r=4,（－錯(cuò)誤10的展開式中x64項(xiàng)為Ｔr0４（２０3·遼寧)使3＋錯(cuò)誤n(n∈N)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為( ）A.4 ?5 ???C．６??D.7答案B解析為由－錯(cuò)誤＝0得n＝錯(cuò)誤，所以２,n有最小值５．求3b＋2a６展式第3項(xiàng)的數(shù)為___＿_(dá)__為_＿_(dá)＿.案４0 １5----6．2０·四理)二項(xiàng)式＋5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是__＿＿＿_(dá)用數(shù)字作答.答案１０解析設(shè)二項(xiàng)式(ｘ＋ｙ)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tｒ+1,則Tｒ+1=＼aｌ(,5)５ryr,令r3,含２3的是C錯(cuò)誤１0.7.已知在(r)＋f(22))ｎ的展開式中,第５項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比為5∶3，求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．解５＝錯(cuò)誤錯(cuò)誤n-4２4x１6Ｃ錯(cuò)誤錯(cuò)誤，T3＝C錯(cuò)誤(錯(cuò)誤）n22２x-4=４錯(cuò)誤錯(cuò)誤.由題意知錯(cuò)誤錯(cuò)誤，解得n=10．1Tr+1=r0(r())10－rr－２r＝2C錯(cuò)誤錯(cuò)誤，1令錯(cuò)誤＝0,解＝２，∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C＼ｏ＼l(２,0)22＝1８0．升.設(shè)S=（－1）3＋3（x1）２３(,則S等于? ?( )Ａ－ ? ．x-2）3 ??Ｃ.3 ?D.＋1）3答案C! !3解析S=Ｃ錯(cuò)誤1）+C錯(cuò)誤（x-12×1+C錯(cuò)誤（x-1×12+C錯(cuò)誤×13=! !3－１)+]3＝x,故選.·新課標(biāo)Ⅱ)已知(１a(１＋5的展開式中ｘ２的系數(shù)為５,則a等于( ）A.4 ．３ C．-2 D.-1答案D解析（１+ax）(1＋x）5的中2的為C錯(cuò)誤＋a·Ｃ錯(cuò)誤5解----得a－1．１0．對于二項(xiàng)式(錯(cuò)誤3)n∈),有以下四種判斷：①存在∈Ｎ＊，展開式中有常數(shù)項(xiàng)；②對任意n∈N,展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；③對任意n∈N*,展開式中沒有在n∈Ｎ*,有x的一案①④析二式(錯(cuò)誤３n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=錯(cuò)誤4r－n由通項(xiàng)公式可知，當(dāng)n＝4r(r∈N和n4r-1（r∈Ｎ＊)時(shí)，展開式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)．1１.(錯(cuò)誤＋錯(cuò)誤n展開式第９項(xiàng)與第1０項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相,求的一次項(xiàng)系數(shù)．解C錯(cuò)誤＝錯(cuò)誤,＝1,Tr+1＝Ｃ錯(cuò)誤錯(cuò)誤·2·－錯(cuò)誤,∴錯(cuò)誤－錯(cuò)誤=１,∴＝9，∴T１0＝錯(cuò)誤·4·２９·x-3C錯(cuò)誤２9·x,其一項(xiàng)系為C錯(cuò)誤2.1１.在(2２－n的展開中第9項(xiàng)為數(shù)項(xiàng),求：1１（1n的值；（2）開中5數(shù);(3含的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．）解已知二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1=錯(cuò)誤(錯(cuò)誤2 n-r·(－錯(cuò)誤))r(錯(cuò)誤)n-rC）錯(cuò)誤2n－錯(cuò)誤r．１因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)r8時(shí)２n-（5,２０,解得＝1.(2令2－f52）r＝5,得r＝f(2,５（2５)＝6，以5的系（-1（錯(cuò)誤)4錯(cuò)誤＝錯(cuò)誤．----（3）要使2n－錯(cuò)誤r,即錯(cuò)誤為整數(shù)，只需r為偶數(shù)，由于r0,1,2，…,０,故有6第13，5,7,9,１１項(xiàng).三、探究與創(chuàng)新n13.已知(x)=(1＋2x)＋(1+4x）(m,n∈N＊)的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為