3層合板的剛度與強(qiáng)1度

1、13.1.1 層合板的表示方法層合板是由兩層或者兩層以上按不同方向?qū)雍习迨怯蓛蓪踊蛘邇蓪右陨习床煌较蚺渲玫膯螌影鍖雍闲纬傻恼w。配置的單層板層合形成的整體。上表面中面下表面中面是距離層合板上下表面相等的面。按照各單層板相對于中面的排列位置，層合板可分為對稱層合板對稱層合板、非對稱層合板和夾心層合板3大類。23.1.1 層合板的表示方法對稱層合板是指層合板中面兩側(cè)對應(yīng)處的各單層各單層材料相同、鋪層角相等材料相同、鋪層角相等的層合板。目前，復(fù)合材料板一般都設(shè)計(jì)為對稱層合板。)()()()(zqzqzzijij(3-1)33.1.1 層合板的表示方法層合板的簡明標(biāo)記方法：1)偶數(shù)層對稱層合板偶數(shù)層

2、對稱層合板：對稱鋪層只寫出一半，括號外加寫下標(biāo)“s”表示對稱。2)奇數(shù)層對稱層合板奇數(shù)層對稱層合板：在對稱中面上的鋪層用頂標(biāo)“”表示。3)非對稱層合板非對稱層合板，必須在標(biāo)記中標(biāo)明全部鋪層組的鋪設(shè)順序。例如：05/902/45/90/03。這種層合板標(biāo)記，僅表明由底面向上至頂面的鋪設(shè)順序，而不能相反。43.1.1 層合板的表示方法53.1.1 層合板的表示方法63.1.1 層合板的表示方法73.1.2 面內(nèi)力與面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系層合板面內(nèi)剛度的基層合板面內(nèi)剛度的基本假設(shè)：本假設(shè)：1)層合板只承受面內(nèi)力作用，只引起面內(nèi)形變，不引起彎曲形變；2)層合板為薄板，即板的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于長度和寬度；3)層合板各

3、單層粘接牢固，具有相同的變形。層合板厚度方向上坐標(biāo)為z的任一點(diǎn)的應(yīng)變都等于中面的應(yīng)變。000)(,)(,)(xyxyyyxxzzz (3-2)83.1.2 面內(nèi)力與面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系圖中的nx, ny, nxy為面內(nèi)力，即層合板內(nèi)單位寬度上的內(nèi)力。單位為帕米(pa m)或牛頓/米(n/m)。定義任意一個(gè)單層k的應(yīng)力為此單層的厚度為dz則k單層x方向的面內(nèi)力為將每一個(gè)單層的面內(nèi)力疊加，得到厚度為h的層合板在x方向的面內(nèi)力為：),()()()(kxykykxdznkxkx)()(22)(hhkxxdzn93.1.2 面內(nèi)力與面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系同理，可求出ny和nxy，即：22)(22)(22)(hhkxy

4、xyhhkyyhhkxxdzndzndzn(3-3)將式(2-9)代入式(3-3)，并考慮式(3-2)，可求出面內(nèi)力和面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系。103.1.2 面內(nèi)力與面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系求得：000666261262221161211xyyxxyyxaaaaaaaaannn式中)6 , 2 , 1,(22)(jidzqahhkijij (3-4)aij稱為層合板的面內(nèi)稱為層合板的面內(nèi)剛度剛度系數(shù)系數(shù)且有aij=aji將式(3-4)作逆變換，得到面內(nèi)應(yīng)變與面內(nèi)力的關(guān)系：xyyxxyyxnnnaaaaaaaaa666261262221161211000(3-5)aij稱為層合板的面內(nèi)稱為層合板的面內(nèi)柔度柔度系數(shù)

5、系數(shù)1666261262221161211666261262221161211aaaaaaaaaaaaaaaaaa式中(3-4a)113.1.2 面內(nèi)力與面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系為了使層合板的面內(nèi)剛度能直接和單層的模量相比較，將層合板的面內(nèi)剛度系數(shù)作正則化處理，將式(3-4)兩端同時(shí)除以h：hnnhnnhnnhaahaaxyxyyyxxijijijij (3-6)式(3-4)和(3-5)可分別變形為：000666261262221161211xyyxxyyxaaaaaaaaannnxyyxxyyxnnnaaaaaaaaa666261262221161211000(3-8)(3-7)123.1.2 面內(nèi)力

6、與面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系上一頁中：ija為正則化面內(nèi)剛度系數(shù)ija為正則化面內(nèi)柔度系數(shù)xyyxnnn,為正則化面內(nèi)力，實(shí)質(zhì)上就是對稱層合板的平均應(yīng)力，簡稱層合板應(yīng)力，量綱為應(yīng)力量綱(pa或n/m2)。當(dāng)對稱層合板為單向?qū)雍习鍟r(shí)，正則化面當(dāng)對稱層合板為單向?qū)雍习鍟r(shí)，正則化面內(nèi)剛內(nèi)剛(柔柔)度系數(shù)變?yōu)閱螌拥哪６认禂?shù)變?yōu)閱螌拥哪?柔柔)量分量。量分量。133.1.3 對稱層合板的面內(nèi)工程彈性常數(shù)當(dāng)對稱板僅受x方向單向拉伸(壓縮)時(shí)，式(3-8)變?yōu)椋? 0, 0 xyyxnnnxxxyxxyxxxnanana61)(021)(011)(0, 定義：面內(nèi)拉壓彈性模量面內(nèi)泊松耦合系數(shù)面內(nèi)拉剪耦合系數(shù)1161)(

7、0)(00,1121)(0)(0011)(001aaaaanexxxxyxxyxxxyxxxxx(3-9)143.1.3 對稱層合板的面內(nèi)工程彈性常數(shù)同理，僅受y方向單向拉伸(壓縮)時(shí)，面內(nèi)拉壓彈性模量面內(nèi)泊松耦合系數(shù)面內(nèi)拉剪耦合系數(shù)22620,221202201aaaaaeyxyyy, 0, 0 xyxynnn同理，僅受xy方向剪切應(yīng)力時(shí)，面內(nèi)剪切彈性模量面內(nèi)剪拉耦合系數(shù)面內(nèi)剪拉耦合系數(shù)66260,66160,6601aaaaagxyyxyxxy, 0, 0yxxynnn(3-10)(3-11)153.1.3 對稱層合板的面內(nèi)工程彈性常數(shù)當(dāng)層合板具有正交各向異性的性能，且參考軸也正好與正交各

8、向異性的主方向重合時(shí)，則(3-9)(3-11)可表示為如下形式：，02616aa111202221066002200110aaaaagmaemaeyxxyyx(3-9a)式中122112120)(1 (aaam(3-10a)此時(shí)00,0,0,0,xyyxyxyxyxxy(3-11a)163.1.3 對稱層合板的面內(nèi)工程彈性常數(shù)根據(jù)式(3-9)(3-11)，將式(3-8)寫成矩陣形式：xyyxxyyyxyxxxyxyxyyyxxxyxyxyyxxyyxnnngeegeegee000,00,00,00000,000000111(3-12)在已知層合板載荷條件時(shí)，由上式求面內(nèi)應(yīng)變較為方便。在進(jìn)行層合

9、板設(shè)計(jì)時(shí)，使用工程彈性常數(shù)也較為方便。173.1.4 面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算將式(2-16)代入(3-4a)，并考慮式(3-6)，得正則化面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算式：)(3)(243432)(52)(421)(121)(12616661222111202000qqaaaaaqaqaaqaaquuvvvvvuvuvvuvvuaaaaaa(3-13)式中22)(422)(322)(222)(14sin12sin14cos12cos1hhkahhkahhkahhkadzhvdzhvdzhvdzhv(3-14)18式中 為某一定向?qū)拥捏w積含量，ni為某一定向?qū)拥膶訑?shù)，l為定向數(shù)。3.1.4 面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算式

10、(3-14)稱為正則化的幾何因子正則化的幾何因子，分別表示層合板中各單層方向倍角或4倍角的正弦或余弦函數(shù)的算術(shù)平均值。對于偶數(shù)層的對稱層合板，還可以寫為如下的和式：21)(421)(321)(221)(14sin22sin24cos22cos2nkkankkankkankkanvnvnvnv(3-15)式(3-14)和(3-15)是算術(shù)平均值的含義，因此還可變形為：liiialiiialiiialiiiavvvvvvvv1)(41)(31)(21)(14sin2sin4cos2cos(3-16)nnv193.1.5 幾種典型對稱層合板的面內(nèi)剛度1)正交鋪設(shè)對稱層合板正交鋪設(shè)對稱層合板各個(gè)單層只

11、按0 o和90 o方向鋪設(shè)的對稱層合板稱為正交鋪設(shè)對稱層合板。由式(3-16)可得：01432)90()0(1aaaavvvvvv 按式(3-13)，并利用式(2-17)，得到：0)()(261666661212)90(22112211)90(22)0(22)90(22111122)90(11)0(11aaqaqavqqqqvqvavqqqqvqva(3-17)(3-18)203.1.5 幾種典型對稱層合板的面內(nèi)剛度由式(3-18)可看出：11a隨v(90)的增加從q11線性減小到q2222a隨v(90)的增加從q22線性增加到q11和12a66a不變，分別為單層材料的模量q12和q66，02

12、616aa即無拉剪和剪拉耦合效應(yīng)由正則化面內(nèi)剛度系數(shù)矩陣求逆，可得正則化面內(nèi)柔度系數(shù)矩陣為：*662*12*22*11*112*12*22*11*122*12*22*11*122*12*22*11*226662612622211612111000)()(0)()(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(3-19)213.1.5 幾種典型對稱層合板的面內(nèi)剛度2) 斜交鋪設(shè)對稱層合板斜交鋪設(shè)對稱層合板凡各個(gè)單層只按凡各個(gè)單層只按兩種兩種方向鋪設(shè)的對稱層合方向鋪設(shè)的對稱層合板稱為板稱為斜交鋪設(shè)對稱層合板。p兩種方向的層數(shù)相同，則稱為兩種方向的層數(shù)相同，則稱為均衡斜交鋪設(shè)對稱層合板均衡斜

13、交鋪設(shè)對稱層合板p兩種方向?qū)訑?shù)不同，則稱為兩種方向?qū)訑?shù)不同，則稱為非均衡非均衡斜交鋪設(shè)對稱層合板本書研究的是均衡斜交鋪設(shè)對稱層合板。本書研究的是均衡斜交鋪設(shè)對稱層合板。式(3-16)可變?yōu)椋? 4cos 2cos*4*3*2*1aaaavvvv(3-20)223.1.5 幾種典型對稱層合板的面內(nèi)剛度將式將式(3-20)代入式代入式(3-13)，并與式，并與式(2-17)比較，得：比較，得：0*26*16)(66*66)(12*12)(22*22)(11*11aaqaqaqaqa(3-21)式中上標(biāo)式中上標(biāo)表示鋪層角為表示鋪層角為時(shí)單層的偏軸模量分量。單層的偏軸模量分量。233.1.5 幾種典型

14、對稱層合板的面內(nèi)剛度3) 準(zhǔn)各向同性層合板準(zhǔn)各向同性層合板面內(nèi)各個(gè)方向的剛度相同，且無拉剪或剪拉耦面內(nèi)各個(gè)方向的剛度相同，且無拉剪或剪拉耦合效應(yīng)的對稱層合板稱為準(zhǔn)各向同性層合板。合效應(yīng)的對稱層合板稱為準(zhǔn)各向同性層合板。這種層合板與各向同性層合板的區(qū)別是：1.它可以是由正交各向異性的單層組成的；它可以是由正交各向異性的單層組成的；2.它的厚度方向上的剛度不一定與面內(nèi)剛度相同；3.它的彎曲剛度性能也不是各向同性的。它的彎曲剛度性能也不是各向同性的。243.1.5 幾種典型對稱層合板的面內(nèi)剛度4) 一般一般/4層合板層合板各個(gè)單層均按0 o、90 o 、45 o和-45 o方向的一種或幾種鋪設(shè)的對稱

15、層合板稱為一般/4層合板。一般/4層合板是目前工程上主要應(yīng)用的一類層合板。25試確定t300/4211復(fù)合材料構(gòu)成的06/906s在正則化面內(nèi)力 作用下的各層應(yīng)力和應(yīng)變，并按最大應(yīng)力失效準(zhǔn)則校核強(qiáng)度。已知安全系數(shù)n=2。解：解：1) 計(jì)算根據(jù)式(3-18)得：例題3.10(gpa)7 . 3(gpa)658. 2(gpa)48.67212126166666121222112211aaqaqaqqaa*ijampa100*xn26例題3.12) 計(jì)算計(jì)算*ija(gpa)16822658. 27 . 37 . 348.6748.67)(22*12*66*66*22*11*aaaaaa16612*

16、1216611*22116622*11(tpa)5846.016822/7.3658.2(tpa)84.14(tpa)84.14(gpa)01484.016822/7.348.67aaaaaaaaaaa27例題3.10(tpa)3 .27016822)658. 248.67()(*26*161222122211*66aaaaaaa3) 計(jì)算面內(nèi)應(yīng)變計(jì)算面內(nèi)應(yīng)變根據(jù)式根據(jù)式(3-8)得：得：010846. 5100105846. 010484. 11001084.1405621036110 xyxyxxnan28例題3.14) 計(jì)算各層應(yīng)變計(jì)算各層應(yīng)變 0o層010846. 510484. 1)

17、0()0(125)0()0(23)0()0(1xyyx 90o層010484. 110846. 5)0()0(123)0()90(25)0()90(29例題3.15) 計(jì)算各層應(yīng)力計(jì)算各層應(yīng)力 0o層0 (mpa)474. 310846. 5056. 810484. 1658. 2(mpa)2 .18810846. 5658. 210484. 19 .126)90(1253)0(222)0(112)0(253)0(212)0(111)0(1qqqq 90o層0 (mpa)80.1110846. 5658. 210484. 1056. 8(mpa)474. 310846. 59 .1261048

18、4. 1658. 2)90(1253)90(222)90(112)90(253)90(212)90(111)90(1qqqq30例題3.16) 各層強(qiáng)度校核各層強(qiáng)度校核查表得：查表得：mpa157mpa35mpa1232mpa1415ctctyyxx許用應(yīng)力為：許用應(yīng)力為： mpa5 .782157mpa5 .17235mpa61621232mpa5 .707214152211nynynxnxccttcctt因?yàn)闉?tctt2)90(21)90(12)0(21)0(1所以，層合板所以，層合板06/906s的各層均安全！的各層均安全！313.1.6 對稱層合板面內(nèi)剛度的轉(zhuǎn)換前述對稱層合板的面內(nèi)剛

19、度是參考軸x設(shè)在所述層合板中單層方向的0 o向給出的，為此，需要討論層合板在任意參考軸下的面內(nèi)剛度。設(shè)：*2*42*1*31)(32*42*2)(2)(22*32*1)(142)()()()(aaaaaaqaaaqaaavvtgvvtguvvruvvr aaqaaaqaaaqaaaqaruvruvruvruv1)(2)(3*41)(2)(3*21)(1)(2*31)(1)(2*14sin4cos2sin2cos*則有：(3-22)(3-23)323.1.6 對稱層合板面內(nèi)剛度的轉(zhuǎn)換)(2)(122212)(52)(421)(121)(1261666122211*14sin22sin04sin2

20、2sin04cos04cos04cos2cos4cos2cosaaaaaaaqaqaaqaaqrruuuuaaaaaa1)()(1)()(2*42*22*32*1aaaavvvv式(3-13)可以改寫為：(3-24)且有：且有：33例題3.2試求斜交鋪設(shè)對稱層合板30/-30s的相位角。解：解：根據(jù)式(3-20)有05 . 0120cos4cos5 . 060cos2cos*4*3*2*1aaaavvvv又根據(jù)式又根據(jù)式(3-22)可知可知0402*2*42*1*31aaaaaavvtgvvtg )( )( 180180,040180,0221取取aa45021aa 343.2.1 彎曲力矩與

21、曲率的關(guān)系作如下假設(shè)來近似處理層合板的彎曲問題：1.層合板的剛度是中面對稱的，彎曲時(shí)幾何中面就是中性曲面中性曲面，即在小變形情況下幾何中面各點(diǎn)沒有平行于中面的位移。2.直法線假設(shè)：彎曲前層合板內(nèi)垂直于幾何中面的直線段在彎曲后仍保持為垂直于彎曲后中面的直線，且直線段的長度不變。3.忽略z，各鋪層按平面應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析。353.2.1 彎曲力矩與曲率的關(guān)系zwzzuxwxzzvywyzw是對應(yīng)于是對應(yīng)于z軸方向的位移軸方向的位移u是對應(yīng)于是對應(yīng)于x軸方向的位移軸方向的位移v是對應(yīng)于是對應(yīng)于y軸方向的位移軸方向的位移根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)2，根據(jù)以上假設(shè)，定義：根據(jù)以上假設(shè)，定義：0zwz 所以位

22、移所以位移w與坐標(biāo)與坐標(biāo)z無關(guān)，僅為無關(guān)，僅為x和和y的函數(shù)，即的函數(shù)，即w=w(x, y) 同樣根據(jù)假設(shè)同樣根據(jù)假設(shè)2，中面法線變形后仍為中面法線，故得，中面法線變形后仍為中面法線，故得 xz=yz=363.2.1 彎曲力矩與曲率的關(guān)系即即xwzuywzv對對z求積分，得求積分，得),(1yxcxwzu),(2yxcywzv依據(jù)假設(shè)依據(jù)假設(shè)1，在，在z0處，處，u=v=0,所以所以c1(x,y)=c2(x,y)=0由此，可以用位移由此，可以用位移w來表達(dá)其他應(yīng)變分量。來表達(dá)其他應(yīng)變分量。373.2.1 彎曲力矩與曲率的關(guān)系根據(jù)微分幾何可知：根據(jù)微分幾何可知：22xw22ywyxw22分別為層

23、合板的曲率和扭率分別為層合板的曲率和扭率kx、ky、kxy。所以上式可寫為所以上式可寫為x=zkx y=zky xy=zkxy 為了確定層合板的彎曲剛度，需定義引起彎曲變形的力矩，它為了確定層合板的彎曲剛度，需定義引起彎曲變形的力矩，它們是層合板各鋪層應(yīng)力的合力矩。們是層合板各鋪層應(yīng)力的合力矩。zdzzdzzdzhhkxyxyhhkyyhhkxxmmm2/2/)(2/2/)(2/2/)(383.2.1 彎曲力矩與曲率的關(guān)系依據(jù)假設(shè)依據(jù)假設(shè)3，將各鋪層應(yīng)力，將各鋪層應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式代入，得應(yīng)變關(guān)系式代入，得zdzhhxykykxkxqqqm2/2/)(66)(12)(11)(即即dzzhhxyky

24、kxkxkqkqkqm22/2/)(66)(12)(11)(由于由于kx 、ky 、kxy與坐標(biāo)與坐標(biāo)z無關(guān)，所以上式可寫成下式：無關(guān)，所以上式可寫成下式：kkkdddddddddmmmxyyxxyyx666261262221161211式中式中稱為稱為層合板的彎曲剛度系數(shù)層合板的彎曲剛度系數(shù)，而且而且dij=dji(3-25)就是對稱層合板的彎曲力矩就是對稱層合板的彎曲力矩曲率關(guān)系式。曲率關(guān)系式。dzzqdhhkijij22/2/)(3-25)(3-26)393.2.1 彎曲力矩與曲率的關(guān)系 為了使同一塊層合板的彎曲剛度系數(shù)與面內(nèi)剛度系數(shù)易為了使同一塊層合板的彎曲剛度系數(shù)與面內(nèi)剛度系數(shù)易于比

25、較，以及與單向?qū)雍习逑嚓P(guān)聯(lián)，因此進(jìn)行正則化處理，于比較，以及與單向?qū)雍习逑嚓P(guān)聯(lián)，因此進(jìn)行正則化處理， m*=6m/h2 k*=kh/2 dij*=12dij/h3 正則化彎曲力矩正則化彎曲力矩m*在數(shù)字上相當(dāng)于假設(shè)彎曲變形引起的在數(shù)字上相當(dāng)于假設(shè)彎曲變形引起的應(yīng)力為線性分布時(shí)的底面應(yīng)力。應(yīng)力為線性分布時(shí)的底面應(yīng)力。 正則化曲率正則化曲率k*是彎曲變形引起的底面應(yīng)變。是彎曲變形引起的底面應(yīng)變。 【注意注意】對稱層合板的應(yīng)變是線性分布的，而應(yīng)力一般不是對稱層合板的應(yīng)變是線性分布的，而應(yīng)力一般不是線性分布的，所以線性分布的，所以kx*是底面的真實(shí)應(yīng)變，而是底面的真實(shí)應(yīng)變，而mx*一般不是底一般不是底

26、面的真實(shí)應(yīng)力。面的真實(shí)應(yīng)力。 如果對稱層合板為單向?qū)雍习?，則彎曲時(shí)應(yīng)力沿厚度如果對稱層合板為單向?qū)雍习澹瑒t彎曲時(shí)應(yīng)力沿厚度是線性分布。是線性分布。mx*、my*、mxy*也就變成底面的真實(shí)應(yīng)力。也就變成底面的真實(shí)應(yīng)力。403.2.1 彎曲力矩與曲率的關(guān)系所以式(3-25)可變?yōu)椋?66*62*61*26*22*21*16*12*11*xyyxxyyxkkkdddddddddmmm作逆變換得：作逆變換得：*66*62*61*26*22*21*16*12*11*xyyxxyyxmmmdddddddddkkk(3-27)(3-28)dij*和和dij*分別稱為層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)和正則分別稱為

27、層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)和正則化彎曲柔度系數(shù)?；瘡澢岫认禂?shù)。413.2.2 對稱層合板的工程彈性常數(shù)類似于前面求工程彈性常數(shù)的方法，可在式(3-28)中：1) 令0, 0*xyyxmmm *61*21*11*xxyxyxxmdkmdkmdk 定義x軸向：彎曲彈性模量彎曲泊松耦合系數(shù)彎扭耦合系數(shù)1161*,1121*11*1ddkkddkkdkmexxyfxxyxyfxxxfx(3-29)423.2.2 對稱層合板的工程彈性常數(shù)同理，y方向上有：, 0, 0 xyxymmm同理，xy方向上有：, 0, 0yxxymmm彎曲彈性模量彎曲泊松耦合系數(shù)彎扭耦合系數(shù)2262,2212221ddddd

28、efyxyfyfy(3-30)扭轉(zhuǎn)彈性模量扭彎耦合系數(shù)扭彎耦合系數(shù)6616,6616,661dddddgfxyyfxyxfxy(3-31)433.2.2 對稱層合板的工程彈性常數(shù)若層合板具有彎曲正交各向異性性能，且參考軸也正好與彎曲正交各向異性的主方向重合，此時(shí)有，02616dd則(3-27)(3-30)可表示為如下形式：11122221662211dddddgmdemdefyfxfxyffyffx(3-32)式中12211212)(1 (dddmf(3-33)此時(shí)0,fxyyfxyxfyxyfxxy(3-34)443.2.3 彎曲剛度系數(shù)的計(jì)算將式(2-16)代入(3-26)，并考慮式dij

29、*=12dij/h3, 得正則化面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算式：)(3)(243432)(52)(421)(121)(12616661222111202000qqddddaqaqddqddquuvvvvvuvuvvuvvudddddd(3-35)式中22)(3422)(3322)(3222)(314sin122sin124cos122cos12hhkdhhkdhhkdhhkddzhvdzhvdzhvdzhv(3-36)453.2.3 彎曲剛度系數(shù)的計(jì)算式(3-36)稱為彎曲剛度系數(shù)的正則化幾何因子。彎曲剛度系數(shù)的正則化幾何因子。對于偶數(shù)層的對稱層合板，還可以寫為如下的和式：2133)(312133)(3

30、12133)(322133)(31) 1(4sin8) 1(2sin8) 1(4cos8) 1(2cos8nkkdnkkdnkkdnkkdkknvkknvkknvkknv(3-37)式式中n是層合板中單層的總數(shù)。k是從中面至底面的順序。463.2.4 幾種典型對稱層合板的彎曲剛度1)單向?qū)雍习鍐蜗驅(qū)雍习鍖τ趩蜗驅(qū)雍习澹校篿jhhijkijhhijqhdzzqdzzqd12322/2/2)(2/2/*3*12ijijijijijijijasdaqdhd 如果將參考坐標(biāo)系置于單向?qū)雍习宓恼S方向，則由于單層的正軸模量分量02616 qq0, 026162616*dddd 473.2.4 幾種典型

31、對稱層合板的彎曲剛度此時(shí)：*66*22*21*12*11*0000 xyyxxyyxkkkdddddmmm*66*22*21*12*11*0000 xyyxxyyxmmmdddddkkk(3-38)(3-39)483.2.4 幾種典型對稱層合板的彎曲剛度2) 正交鋪設(shè)對稱層合板正交鋪設(shè)對稱層合板正交鋪設(shè)對稱層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)，在同樣的定向?qū)訑?shù)比，即0與90層的層數(shù)比為一定的情況下，不同的鋪層順序也會得到不同的彎曲剛度系數(shù)。例如04/904s、02/9022s、0/904s，它們的總數(shù)都是16層，單層組數(shù)分別為m=2, m=4, m=8。根據(jù)式(3-37)可得：0123*4*3*2*1d

32、dddvvvmv 493.2.4 幾種典型對稱層合板的彎曲剛度所以，上述規(guī)則正交鋪設(shè)對稱層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)為：)(3)(2)(5)(4)(1)(126166612221110000001010123123qqqqqquuuumumudddddd(3-40)對于層數(shù)比為1:1的正交鋪設(shè)對稱層合板，0*1dvm 時(shí)，此時(shí)：*ijijad 503.2.4 幾種典型對稱層合板的彎曲剛度3) 斜交鋪設(shè)對稱層合板斜交鋪設(shè)對稱層合板斜交鋪設(shè)對稱層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)，在兩種方向的層數(shù)相同的情況下，不同的鋪層順序也會得到不同的彎曲剛度系數(shù)。例如4/-4s、2/-22s、/-4s，它們的總數(shù)都是16

33、層，單層組數(shù)分別為m=2, m=4, m=8。根據(jù)式(3-37)可得：4sin232sin234cos2cos*1*3*2*1mvmvvvdddd513.2.4 幾種典型對稱層合板的彎曲剛度所以，上述斜交鋪設(shè)對稱層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)為：)(3)(2)(5)(4)(1)(126166612221114sin232sin4304sin232sin4304cos04cos04cos2cos4cos2cosqqqqqquummmmuuuudddddd(3-41)對于層數(shù)比為1:1的正交鋪設(shè)對稱層合板，0*4*3ddvvm 時(shí)，此時(shí)：*ijijad 523.2.4 幾種典型對稱層合板的彎曲剛度4)

34、 準(zhǔn)各向同性層合板準(zhǔn)各向同性層合板僅討論一類總層數(shù)為24層，按如下規(guī)律鋪設(shè)得到的準(zhǔn)各向同性層合板-604/04/604s, -602/02/6022s, -60/0/604s,它們的單層組數(shù)分別為m=3, m=6, m=12。根據(jù)式(3-37)可得：mvmvmvmvdddd88 .1388 .1311*1*32*22*533.2.4 幾種典型對稱層合板的彎曲剛度所以，上述準(zhǔn)各向同性對稱層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)為：)(3)(22)(52)(422)(122)(1261666122211188 .13168 .13088 .13168 qqqqquummmmmumumm

35、ummudddddd(3-42)543.2.5 對稱層合板彎曲剛度的轉(zhuǎn)換)(2)(122212)(52)(421)(121)(1261666122211*14sin22sin04sin22sin04cos04cos04cos2cos4cos2cosdddddddqdqddqddqrruuuudddddd1)()(1)()(2*42*22*32*1ddddvvvv式(3-35)可以改寫為：且有：且有：1d與與2d稱為正則化彎曲剛度系數(shù)轉(zhuǎn)換的相位角稱為正則化彎曲剛度系數(shù)轉(zhuǎn)換的相位角(3-45)(3-46)55思考題設(shè)有t300/4211復(fù)合材料正交鋪設(shè)對稱層合板04/904s制成的梁，截面尺寸為b

36、=0.01m，h=0.0017m，跨度l=0.1m，梁的中點(diǎn)載荷p=10n。試求梁中點(diǎn)的正則化曲率。563.2.5 對稱層合板彎曲剛度的轉(zhuǎn)換前述對稱層合板的彎曲剛度是參考軸x設(shè)在所述層合板中單層方向的0 o向給出的，為此，需要討論層合板在任意參考軸下的彎曲剛度。設(shè)：*2*42*1*31)(32*42*2)(2)(22*32*1)(142)()()()(ddddddqdddqdddvvtgvvtguvvruvvr ,(3-43)(3-44)3.3.1 內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系前面我們討論的是對稱層合板，因此，當(dāng)受有面內(nèi)力時(shí)將引起面內(nèi)變形而無彎曲變形，當(dāng)受有彎曲力矩時(shí)將引起彎曲變形而無面內(nèi)變形。但對于非對稱

37、層合板，一般情況下，面內(nèi)力還將引起彎曲變形，或彎曲力矩還將引起面內(nèi)變形，即存在拉彎耦合或彎拉耦合拉彎耦合或彎拉耦合。所以，一般層合板的剛度系數(shù)除了面內(nèi)剛度系數(shù)和彎曲剛度系數(shù)外，還存在耦合剛度系數(shù)。583.3.1 內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系p3.1介紹面內(nèi)力與面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系p3.2介紹彎曲力矩和曲率的關(guān)系p本節(jié)，面內(nèi)力和彎曲力矩統(tǒng)稱為內(nèi)力(廣義內(nèi)力)，面內(nèi)應(yīng)變和曲率統(tǒng)稱為應(yīng)變(廣義應(yīng)變)利用前兩節(jié)中介紹應(yīng)變關(guān)系，可得到一般層合利用前兩節(jié)中介紹應(yīng)變關(guān)系，可得到一般層合板的應(yīng)變關(guān)系為：板的應(yīng)變關(guān)系為：xyxyxyyyyxxxzkzkzk000(3-47)593.3.1 內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系 xyyxxyyxxyyxx

38、yyxkkkdddbbbdddbbbdddbbbbbbaaabbbaaabbbaaammmnnn000666261666261262221262221161211161211666261666261262221262221161211161211將式將式(3-47)代入面內(nèi)力和彎曲力矩的定義式，得到代入面內(nèi)力和彎曲力矩的定義式，得到一般一般層合板的內(nèi)力層合板的內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系為：為：(3-48)式中)6 , 2 , 1,(22)(jizdzqbhhkijij 稱為層合板的耦合剛度系數(shù)層合板的耦合剛度系數(shù)(3-49)603.3.1 內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系對式(3-49)作正則化處理：ijijbhb

39、2*2(3-50)則式式(3-48)可變?yōu)榭勺優(yōu)槿缦抡齽t化形式：xyyxkkkdddbbbdddbbbdddbbbbbbaaabbbaaabbbaaammmnnnxyyxxyyxxyyx000*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16*12*11*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16*12*11*333333333(3-51)或簡寫為：*0*3kdbbamn(3-52)613.3.1 內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*

40、11*16*12*11*66*62*61*66*62*61*26*22*21*26*22*21*16*12*11*16*12*11000313131313131313131xyyxxyyxxyyxxyyxmmmnnnkkk(3-53)對式(3-51)作逆變換，得到：623.3.1 內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系或簡寫為：*031mnkt(3-54)式中：式中：(3-55)是正則化面內(nèi)柔度系數(shù)是正則化面內(nèi)柔度系數(shù)是正則化耦合柔度系數(shù)是正則化彎曲柔度系數(shù)則化彎曲柔度系數(shù)ijijij12232ijijijijijijhhh(3-56)且有：且有：633.3.1 內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系除了除了ij*以外，其它的剛度和柔度系數(shù)

41、均具有對稱性以外，其它的剛度和柔度系數(shù)均具有對稱性aij*=aji* bij*=bji* dij*=dji* ij*=ji* ij*=ji*若為對稱層合板，由于若為對稱層合板，由于b*=0，所以特別注意：特別注意：11*)()(0ddaa (3-58)(3-57)即對稱層合板不存在拉彎耦合。對稱層合板同時(shí)受有對稱層合板不存在拉彎耦合。對稱層合板同時(shí)受有面內(nèi)力和彎曲力時(shí)，只需分別求其應(yīng)變，然后疊加即面內(nèi)力和彎曲力時(shí)，只需分別求其應(yīng)變，然后疊加即可?？伞?43.3.2 一般層合板的工程彈性常數(shù)對稱層合板中的面內(nèi)工程彈性常數(shù)和彎曲工程彈性常數(shù)，在一般層合板中同樣存在，只不過aij*和dij*分別被i

42、j*和ij*代替。除此之外，一般層合板還存在面內(nèi)形變和彎曲形變之間的18個(gè)耦合工程彈性常數(shù)個(gè)耦合工程彈性常數(shù)：拉彎耦合系數(shù)拉彎耦合系數(shù)22220,22210,11120,11110,yyyxxyxx 拉扭耦合系數(shù)拉扭耦合系數(shù)剪彎耦合系數(shù)剪彎耦合系數(shù)剪扭耦合系數(shù)剪扭耦合系數(shù)22260,11160,yxyxxy 66620,66610,xyyxyx 66660,xyxy(3-59)(3-60)(3-61)(3-62)65彎剪耦合系數(shù)3.3.2 一般層合板的工程彈性常數(shù)彎拉耦合系數(shù)2222,2212,1121,1111,3333fyyfyxfxyfxx 扭拉耦合系數(shù)扭剪耦合系數(shù)2262,1161,3

43、3fyxyfxxy 6626,6616,33fxyyfxyx 6666,3fxyxy(3-59)(3-60)(3-61)(3-62)一般層合板的剛度系數(shù)、柔度系數(shù)和工程彈性常數(shù)均有36個(gè)，其中獨(dú)立的個(gè)數(shù)為663.3.3 一般層合板剛度系數(shù)的計(jì)算一般層合板面內(nèi)剛度系數(shù)與彎曲剛度系數(shù)的定義表達(dá)式與對稱層合板相同，由于一般層合板不存在中性對稱性，所以計(jì)算正則化幾何因子時(shí)必須改用如下形式的公式：221)(4221)(3221)(2221)(14sin12sin14cos12cos1nnkkannkkannkkannkkanvnvnvnv(3-63)673.3.3 一般層合板剛度系數(shù)的計(jì)算22133)(3122133)(3122133)(3222133)(31) 1(4sin4) 1