MRAF調(diào)查分析預(yù)測(cè)培訓(xùn)

調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF

第

10

章抽樣估計(jì)與樣本量確定1調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF七、抽樣誤差?

調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性無(wú)疑是調(diào)查組織者十分

重視的問(wèn)題。其準(zhǔn)確性通常用抽樣誤差的

高低來(lái)反映，

在抽樣方式和總體既定的前

提下，抽樣誤差的大小主要取決于抽樣數(shù)

目的多少

。

對(duì)抽樣誤差的控制主要是通過(guò)

控制抽樣數(shù)目來(lái)實(shí)現(xiàn)的。因此，

抽樣誤差

與抽樣數(shù)目

的確定，是隨機(jī)抽樣市場(chǎng)調(diào)查

中兩個(gè)重要的問(wèn)題。2MRAF?（一）抽樣誤差的估算方法?1.抽樣誤差大小的影響因素?（1）總體各單位之間的差異程度?？傮w變量存在變異是客觀的，差異程度愈大，其分布就愈分散，抽樣誤差就愈大；反之，愈小。這種差異程度，在統(tǒng)計(jì)上叫做標(biāo)志變異度，通常用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示。?（2）樣本數(shù)目，即樣本容量有多少。當(dāng)樣本容量達(dá)到與總體容量一樣時(shí)，抽樣調(diào)查就變成全面市場(chǎng)調(diào)查了，抽樣誤差隨即消失。?（3）抽樣方式。一般地說(shuō)，等距隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣的抽樣誤差要小于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分群隨機(jī)抽樣的誤差。不重復(fù)抽樣的誤差要小于重復(fù)抽樣的誤差。因此，要根據(jù)不同的抽樣方式分別估算抽樣誤差。調(diào)查分析預(yù)測(cè)3調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF4調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF5調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF6調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF樣本量的確定?

（二）必要抽樣數(shù)目的確定?

抽樣數(shù)目過(guò)多，使得抽樣調(diào)查所需成本費(fèi)

用提高，從而帶來(lái)不經(jīng)濟(jì)；抽樣數(shù)目過(guò)少，

又會(huì)使調(diào)查結(jié)果存在較大誤差，達(dá)不到要

求的精度。?

所謂

必要抽樣數(shù)目，就是在事先給定的抽

樣誤差范圍內(nèi)所確定的、能夠達(dá)到對(duì)調(diào)查

結(jié)果精確度要求的樣本單位數(shù)。

7調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF樣本量的確定?

1.

影響合理的必要抽樣數(shù)目的因素?

（

1

）總體各單位之間的標(biāo)志差異程度。

總體單位

之間的差異越小，一定數(shù)目的總體單位對(duì)總體的

代表性就越高。當(dāng)總體單位的標(biāo)志值都相等時(shí)，

一個(gè)總體單位的標(biāo)志值就足以代表總體的平均水

平。?

（

2

）允許誤差的大小。

一般來(lái)說(shuō)，調(diào)查的準(zhǔn)確度

要求高、調(diào)查力強(qiáng)、調(diào)查經(jīng)費(fèi)充足，允許誤差就

可以定得小一些。?

（

3

）不同的抽樣方式和方法。

一般情況下，簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣和分群隨機(jī)抽樣比等距隨機(jī)抽樣和分層

隨機(jī)抽樣所需的樣本單位數(shù)要多，重復(fù)抽樣比不

重復(fù)抽樣的樣本單位數(shù)要多。

8調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF9調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF10調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF11調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF12調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF13調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF14調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF15調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)?

點(diǎn)估計(jì)就是用樣本的估計(jì)量直接作為總體

參數(shù)的估計(jì)值

。例如，用樣本均值直接作

為總體均值的估計(jì)，或者用兩個(gè)樣本均值

之差直接作為總體均值之差的估計(jì)。?

點(diǎn)估計(jì)是容易做到的，但是，點(diǎn)估計(jì)沒(méi)有

給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息。?

當(dāng)樣本均值與總體均值不完全相同時(shí)，樣

本均值與實(shí)際總體均值就存在著差距，形

成抽樣誤差。16調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)?

區(qū)間估計(jì)：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì)總體參數(shù)的區(qū)

間或范圍進(jìn)行估計(jì)。?

區(qū)間估計(jì)不僅要說(shuō)明區(qū)間大小，還要說(shuō)明點(diǎn)估計(jì)

值在區(qū)間內(nèi)的概率，即置信度。置信度是一個(gè)百

分比，用來(lái)說(shuō)明結(jié)果正確的長(zhǎng)期概率。被估計(jì)的

區(qū)間則被稱為置信區(qū)間。?

根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布理論，總體參數(shù)的區(qū)

間范圍是在一定的概率度下，由樣本統(tǒng)計(jì)量加減

抽樣誤差而得到。17調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF訓(xùn)練題?

（

P237—238

）?

4.

假設(shè)某快餐館想要為一個(gè)新的菜單項(xiàng)目估計(jì)平

均銷售量，這個(gè)餐館觀察了一個(gè)類似地點(diǎn)的銷量，

連續(xù)觀測(cè)到如下結(jié)果：樣本容量為

25

，樣本標(biāo)準(zhǔn)

差為

100

，每日平均銷售量為

500

。試估計(jì)這個(gè)餐

館啟用新菜單后每天在

95%

的時(shí)間內(nèi)銷售量的范

圍。18調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF訓(xùn)練題?

5.

一家電器連鎖商店正在進(jìn)行空調(diào)的季節(jié)性降價(jià)促銷。被抽取的

10

個(gè)

樣本商店銷售出的空調(diào)數(shù)量如下（單位：臺(tái)）：

82

，

113

，

2

，

41

，

71

，

83

，

99

，

52

，

84

，

30

。那么，根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否說(shuō)明這次促銷

期間每家商店平均銷售空調(diào)數(shù)量多于

50

臺(tái)（

95%

）？19調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF訓(xùn)練題?

6.

假設(shè)你正計(jì)劃對(duì)某市養(yǎng)狗的家庭進(jìn)行抽樣，

以確定他們每月購(gòu)買的狗食的平均數(shù)量。

已經(jīng)制定了下面的標(biāo)準(zhǔn)：

95%

的置信度，

小于

5

個(gè)單位的誤差。以前的調(diào)研說(shuō)明了標(biāo)

準(zhǔn)差應(yīng)該是

6

個(gè)單位。那么，該項(xiàng)調(diào)查需要

多大的樣本容量？20調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF訓(xùn)練題?

7.

在一項(xiàng)涉及

400

人的調(diào)查中，

60%

的人都對(duì)一個(gè)

問(wèn)題持積極態(tài)度。試在

95%

的置信度下確定比例

的區(qū)間估計(jì)。?

8.

在一個(gè)全國(guó)性的調(diào)查中，調(diào)研人員期望總體中

有

30%

的人將會(huì)同意某個(gè)態(tài)度陳述，要求誤差小

于

2

個(gè)百分點(diǎn)，并且具有

95%

的把握性，那么，需

要多大的樣本容量？假設(shè)調(diào)查總體為

12000

人，

事先預(yù)計(jì)調(diào)查的回答率約為

55%

，那么，樣本容

量又應(yīng)該為多少？21調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF22調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF

開(kāi)篇案例“

百腦匯

”

調(diào)研中的樣本計(jì)劃問(wèn)題?

“

百腦匯

”

在中國(guó)華北幾個(gè)省市經(jīng)營(yíng)連鎖電腦超市，它希

望獲得更多關(guān)于其現(xiàn)有客戶特點(diǎn)方面的信息。接受調(diào)研委

托的李文博士指派班上的王洪同學(xué)為樣本計(jì)劃小組的負(fù)責(zé)

人。?

通過(guò)與

“

百腦匯

”

的市場(chǎng)部經(jīng)理喬蘭的初次會(huì)談，王洪了

解到調(diào)研的一個(gè)主要目的是分別按人口和心理因素來(lái)估計(jì)

“

百腦匯

”

的客戶構(gòu)成和比例。此外，確認(rèn)總體估計(jì)值不

超過(guò)實(shí)際值的

±5

．

0

％，可靠度為

95

％。?

為了達(dá)到這些要求，王洪和他的小組正努力尋找計(jì)算所需

樣本容量的方法。

23調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF10

．

1

引言?

估計(jì)就是根據(jù)從樣本中收集的信息對(duì)

總體未知量進(jìn)行推斷的過(guò)程。?

抽樣估計(jì)涉及的重要問(wèn)題：

–

一個(gè)樣本單元的

設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)

問(wèn)題

。

–

抽樣估計(jì)

，

包括總體總量、均值和比例以及抽

樣誤差的估計(jì)。

–

樣本量的確定

構(gòu)成抽樣設(shè)計(jì)程序的重要步驟和

內(nèi)容。同時(shí)，樣本量的確定與樣本估計(jì)值的精

度密不可分。24調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF10

．

2

加權(quán)及權(quán)數(shù)調(diào)整?

設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)

–

設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)是指每個(gè)樣本單元所代表的調(diào)查總體的單元

數(shù)，它是由抽樣設(shè)計(jì)所決定的，通常以

w

d

表示。確定

設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)是估計(jì)的第一步。?

加權(quán)估計(jì)

–

設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)其實(shí)就是樣本單元的入樣概率的倒數(shù)。假如

入樣概率是

1/10

，那么每個(gè)入選樣本代表總體中的

10

個(gè)單元，此時(shí)設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)即為

10

。

–

不同樣本單元的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)可能不同，這取決于抽樣設(shè)

計(jì)。因此，加權(quán)估計(jì)應(yīng)區(qū)分等概率抽樣的加權(quán)和不等

概率抽樣的加權(quán)。25調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF等概率抽樣的加權(quán)?

當(dāng)每個(gè)單元都有相同的入樣概率時(shí)，所有樣

本單元的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)都相同，這種抽樣就是

自

加權(quán)設(shè)計(jì)

。

–

SRS

抽樣和

SYS

抽樣都屬于自加權(quán)設(shè)計(jì)，比例分

層抽樣也是自加權(quán)設(shè)計(jì)。

–

另外，

PPS

等也可以設(shè)計(jì)為一個(gè)自加權(quán)抽樣。?

對(duì)于自加權(quán)抽樣設(shè)計(jì)，如果無(wú)需對(duì)權(quán)數(shù)調(diào)整，

則在計(jì)算比例、均值等估計(jì)量時(shí)可將其忽略，

對(duì)總值估計(jì)也僅需將樣本總值乘上某個(gè)倍數(shù)。

(

例

P215)26收入層次各層單位數(shù)樣本數(shù)量設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)高收入層200033.3wd,1＝N1/n1=2000/33.3=60.1中收入層12000133.3wd,2＝N2/n2=12000/133.3=90.0低收入層600033.3wd,3＝N3/n3=6000/33.3=180.2調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF不等概率抽樣的加權(quán)?

自加權(quán)設(shè)計(jì)并不總是可行的。如，在使用分層抽樣進(jìn)行

一個(gè)全國(guó)調(diào)查時(shí)，可能需要采用紐曼分層。?

當(dāng)所采用的抽樣設(shè)計(jì)不是等概率時(shí)，正確地使用設(shè)計(jì)權(quán)

數(shù)就顯得尤為重要。?

[例10．2]

有關(guān)各層總體數(shù)和樣本數(shù)資料見(jiàn)表10-1。對(duì)

于這項(xiàng)調(diào)查，被調(diào)查者的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)是多少呢？27調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)的調(diào)整?

上述等概率抽樣的加權(quán)和不等概率抽樣的

加權(quán)都是加權(quán)的基本形式。?

權(quán)數(shù)估計(jì)常會(huì)遇到更真實(shí)和復(fù)雜的情況：

–

考慮無(wú)回答的情況，然后對(duì)權(quán)數(shù)做出調(diào)整；

–

考慮來(lái)自其他渠道的、更具權(quán)威性的某些輔助

信息，將它們合并到權(quán)數(shù)中。28調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF對(duì)無(wú)回答的權(quán)數(shù)調(diào)整?

單元無(wú)回答

是指一個(gè)樣本單元幾乎所有的數(shù)據(jù)都缺失。

簡(jiǎn)單的處理辦法是忽略它。然而，如果發(fā)現(xiàn)忽略單元

無(wú)回答是不適當(dāng)?shù)?，則應(yīng)該對(duì)權(quán)數(shù)進(jìn)行調(diào)整。即，

–

設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)×無(wú)回答調(diào)整因子=無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)?

無(wú)回答調(diào)整因子

是原樣本單元的權(quán)數(shù)和與給出回答的

單元的權(quán)數(shù)和的比值。對(duì)于自加權(quán)設(shè)計(jì)，該比值可用

原樣本的單元數(shù)與給出回答的單元數(shù)的比值來(lái)表示。?

無(wú)回答權(quán)數(shù)調(diào)整應(yīng)區(qū)分兩種不同情況：

–

等概率抽樣

–

不等概率抽樣29調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF對(duì)無(wú)回答的權(quán)數(shù)調(diào)整

(SRS)?

[例10．3]

從一個(gè)

N=100人的總體中

抽取一個(gè)n＝25人

的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。

記回答單元的數(shù)量

為nr，結(jié)果顯示只

有20個(gè)人提供了所

需的信息。那么，

此時(shí)無(wú)回答的調(diào)整

權(quán)數(shù)是多少？步驟

1

：計(jì)算設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)。

入樣概率p為：P=n/N=25/100=1/4

故，每個(gè)樣本單元的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)為4。步驟

2

：計(jì)算無(wú)回答調(diào)整因子。

由于在n＝25人中只有nr=20人提供了所需的信息，最終樣本量應(yīng)為20。假定回答單元不僅能代表回答單元且能代表無(wú)回答單元，計(jì)算無(wú)回答調(diào)整因子為：

n

/

nr

=

25/20

=

1.25步驟

3

：計(jì)算無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)。

無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)wnr等于設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)與無(wú)回答調(diào)整因子的乘積：30層總體大小樣本量回答者數(shù)量城市N＝10001n＝2001n＝150r,1農(nóng)村N＝1002n＝502n＝40r,2調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF對(duì)無(wú)回答的權(quán)數(shù)調(diào)整

(STR)?

[例10．4]

對(duì)于一項(xiàng)公共交通表

10-2

公交系統(tǒng)調(diào)查的分層數(shù)據(jù)系統(tǒng)調(diào)查，總體由1100人組成，并按城鄉(xiāng)分為兩個(gè)層。分層及樣本數(shù)據(jù)如表10-2所示。那么，回答者的權(quán)數(shù)是多少？

步驟

1

：各層的設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)為：

城市層

wd,1

＝

N1/n1==5

農(nóng)村層

wd,2

＝

N2/n2==2

步驟

2

：調(diào)整以彌補(bǔ)無(wú)回答。各層的無(wú)回答調(diào)整因子計(jì)算如下

：

城市層

：

n1

/

nr,1==200/150==1.33

農(nóng)村層

：

n2

/

nr,2==50/40==1.25

步驟

3

：無(wú)回答的調(diào)整權(quán)數(shù)等于設(shè)計(jì)權(quán)數(shù)與無(wú)回答調(diào)整因子的乘積

：

城市層

：

農(nóng)村層

：31調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF使用輔助信息調(diào)整權(quán)數(shù)?

為什么要使用輔助信息來(lái)調(diào)整權(quán)數(shù)呢？

–

首先，使調(diào)查的估計(jì)值與已知總體總值相匹配。例如，

使用最新的人口普查數(shù)據(jù)來(lái)調(diào)整估計(jì)值，以確保這些

估計(jì)值

(

如年齡、性別分布等

)

的一致性。

–

二是為了提高估計(jì)值的精度。將輔助信息與抽樣設(shè)計(jì)

相結(jié)合，將有助于提高估計(jì)的精度。

?

要想在調(diào)查設(shè)計(jì)階段使用輔助信息，抽樣框中的所有單元都

必須具備這個(gè)輔助信息。否則，就只能在數(shù)據(jù)收集上來(lái)后，

在估計(jì)階段利用輔助信息提高估計(jì)值的精度。32回答者數(shù)量男性女性總計(jì)吸煙人數(shù)25530總?cè)藬?shù)5545100(n)r調(diào)查的估計(jì)值男性女性總計(jì)吸煙人數(shù)19539234總?cè)藬?shù)429351780吸煙者的比例0.4550.1110.30事后分層估計(jì)值男性女性總計(jì)吸煙人數(shù)16447211總?cè)藬?shù)360420780吸煙者比例0.4550.1110.27133調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF使用輔助信息調(diào)整權(quán)數(shù)?

[例10．5]

為得到某公司職員是否

有吸煙習(xí)慣的信息，進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)

查。從N=780人的名錄中抽出了一

個(gè)n=100人的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。?

在收集有關(guān)吸煙習(xí)慣信息時(shí)，收集

了每個(gè)回答者的年齡和性別情況，

且100人都做出了回答，由此得到

樣本數(shù)據(jù)的分布如表10-3所示：

表

10-3

某公司吸煙習(xí)慣抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)表

10-4

根據(jù)某公司吸煙習(xí)慣抽樣計(jì)算的估計(jì)值表

10-5

利用輔助信息對(duì)抽樣調(diào)查估計(jì)值的調(diào)整調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF10

．

3

抽樣分布與抽樣誤差?

抽樣調(diào)查的目的是要對(duì)總體做出推斷。?

了解統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)，首先注意區(qū)分三

種不同性質(zhì)的分布：

–

總體分布

–

樣本分布

–

抽樣分布?

同時(shí)，特別注意總體分布與抽樣分布的關(guān)系。34分布類型均值比例標(biāo)準(zhǔn)差總體分布樣本分布抽樣分布XPS調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF三種不同性質(zhì)的分布?

總體分布

：總體各單位的觀察值所形成的頻數(shù)分布，總

體分布通常是未知的。?

樣本分布

：一個(gè)樣本中各個(gè)觀察值所形成的頻數(shù)分布就

叫做。當(dāng)樣本容量

n

逐漸增大時(shí)，樣本分布逐漸接近總

體的分布。?

抽樣分布

：樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，是指在重復(fù)選取容

量為

n

的樣本時(shí)，由該統(tǒng)計(jì)量的所有可能取值形成的相

對(duì)頻數(shù)分布。抽樣分布是一種理論分布。?

抽樣分布提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長(zhǎng)遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)。表10-6

各種分布的均值、比例和標(biāo)準(zhǔn)差的符號(hào)表示35調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF樣本均值的抽樣分布?

樣本均值的抽樣分布，是

指在重復(fù)選取容量為

n

的

樣本時(shí)，由樣本均值的所

有可能取值形成的相對(duì)頻

數(shù)分布。?

[例10．6]

設(shè)一個(gè)總體，含

有4個(gè)元素，即總體單位數(shù)

N

=4。4個(gè)個(gè)體分別為

x

1

=1,

x

2

=2,

x

3

=3,

x

4

=4。

則總體分布如圖

10-1

。?

現(xiàn)在從總體中有放回地抽

取

n

＝2

的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，

則樣本均值的抽樣分布如

圖

10-2

。36調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF均值抽樣分布的規(guī)律比較樣本均值的分布與總體分布

，得出如下結(jié)論：

(1)

樣本均值的數(shù)學(xué)期望

等于總體均值，即

E(

)=

μ

。

(2)

在重復(fù)抽樣條件下，樣本均值的方差等于總體方差的

1/n

，或者說(shuō)，

樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤

。

(3)

如果總體服從正態(tài)分布，即

x

～

N

(

μ

,

σ

2

)

，那么樣本均值也服從正

態(tài)分布，即

～

N

(

μ

,

σ

2

/

n

)

。

(4)

如果總體不服從正態(tài)分布，那么當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值

也服從正態(tài)分布。中心極限定理

，概括為：

設(shè)從均值為

、方差為

2

的一個(gè)任意總體中隨機(jī)抽取容量為

n

的樣本，

當(dāng)

n

足夠大

(

n

30)

時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為

μ

、方差

為

σ

2

/

n

的正態(tài)分布。

37調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF樣本比例的抽樣分布?

樣本比例的抽樣分布

，是在重復(fù)抽取容量為

n

的樣本時(shí)，

由樣本比例的所有可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布。?

比較樣本比例的分布與總體分布，得出如下結(jié)論：

–

當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本比例的抽樣分布近似地服從正態(tài)分布，

樣本比例的數(shù)學(xué)期望等于總體比例，即

E(p)=π

；在重復(fù)抽樣條件

下，樣本比例的方差為總體方差的

1/n

，即樣本比例的方差

：樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤：?

樣本比例的中心極限定理

–

設(shè)從比例為

π

、方差為

2

的一個(gè)任意總體中隨機(jī)抽取容量為

n

的樣

本，當(dāng)

n

足夠大

(

n

30)

時(shí)，樣本比例的抽樣分布近似服從比例為

π

、方差為

(1-

)

/

n

的正態(tài)分布。

38調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF正態(tài)分布及標(biāo)準(zhǔn)值

Z?

正態(tài)分布有以下幾個(gè)重要特征：

–

正態(tài)曲線呈鐘形，曲線下的面積等于

1

，表明它

包括了所有的調(diào)查結(jié)果。

–

在正態(tài)曲線下任意兩個(gè)變量值之間的面積，等于

在這一范圍內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)觀察對(duì)象的概率。例

如，任意抽取一個(gè)樣本單元，

IQ

分?jǐn)?shù)落在

55-145

之間的概率是

99.72%

，即圖

10-3

中正態(tài)曲線下

55-145

之間的面積。

–

所有的正態(tài)分布在平均數(shù)

±1

個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間的面積

相同，都占曲線下方面積的

68

．

26

％。這是正態(tài)

分布的比例性，為統(tǒng)計(jì)推斷提供了基礎(chǔ)。

–

一個(gè)正態(tài)分布的特殊性由其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差決定。39調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種平均值等于

0

、標(biāo)準(zhǔn)差

等于

1

的正態(tài)分布

(

如圖

10-4)

。?

研究者可以將任何正態(tài)變量

X

轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正

態(tài)變量值

(

標(biāo)準(zhǔn)值

)

Z

。計(jì)算方法就是，用將

要進(jìn)行轉(zhuǎn)換的值中減去均值，然后再除以標(biāo)

準(zhǔn)差。即

式中，

x

——

變量值；

μ——

平均數(shù)的假設(shè)或預(yù)期值；

σ——

變量的標(biāo)準(zhǔn)差。?

求出標(biāo)準(zhǔn)值

Z

之后，就可以查閱正態(tài)分布表

(

附錄

B-2)

，得到

Z

值的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下

的面積

(

概率

)

。40調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF10

．

4

參數(shù)估計(jì)?

參數(shù)估計(jì)就是根據(jù)從樣本中收集的信息對(duì)總體參數(shù)

進(jìn)行推斷的過(guò)程。?

樣本估計(jì)量

(

如樣本均值、比例等

)

都是隨機(jī)變量，

在具有特定概率

(

抽樣

)

分布的樣本之間有所變化。

參數(shù)估計(jì)就是根據(jù)推斷理論所闡明的抽樣分布與總

體分布之間的關(guān)系，由樣本統(tǒng)計(jì)量的具體值估計(jì)總

體參數(shù)

(

如總體均值、比例和方差等

)

。?

參數(shù)估計(jì)有兩種估計(jì)方法：

–

點(diǎn)估計(jì)

–

區(qū)間估計(jì)41調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)?

點(diǎn)估計(jì)就是用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的

估計(jì)值。例如，用樣本均值直接作為總體均值的

估計(jì)，或者用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均

值之差的估計(jì)。?

點(diǎn)估計(jì)是容易做到的，但是，點(diǎn)估計(jì)沒(méi)有給出估

計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息。?

當(dāng)樣本均值與總體均值不完全相同時(shí)，樣本均值

與實(shí)際總體均值就存在著差距，形成抽樣誤差。42調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)?

區(qū)間估計(jì)：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì)總體參數(shù)的

區(qū)間或范圍進(jìn)行估計(jì)。?

區(qū)間估計(jì)不僅要說(shuō)明區(qū)間大小，還要說(shuō)明點(diǎn)估

計(jì)值在區(qū)間內(nèi)的概率，即置信度。置信度是一

個(gè)百分比，用來(lái)說(shuō)明結(jié)果正確的長(zhǎng)期概率。被

估計(jì)的區(qū)間則被稱為置信區(qū)間。?

根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布理論，總體參數(shù)的

區(qū)間范圍是在一定的概率度下，由樣本統(tǒng)計(jì)量

加減抽樣誤差而得到。43調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體均值的區(qū)間估計(jì)?

在

SRS

抽樣情況下，樣本統(tǒng)計(jì)量

的抽樣分布均服從正態(tài)分布。可

使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量

Z

來(lái)描述總

體均值的區(qū)間估計(jì)，將總體均值

區(qū)間估計(jì)表達(dá)為：μ=±在上式中，代表一定置信度下的

Z

值。

注意，

α

應(yīng)除以

2

，以便確定均值的每一邊所包含曲線下區(qū)域的百分比。

代表樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤，

當(dāng)

σ

未知，用

S

來(lái)估計(jì)

σ

，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤：

當(dāng)

σ

已知，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)公式

：44調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體均值的區(qū)間估計(jì)?

t-

分布

–

若調(diào)查從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)很小樣本

(

n

<

30)

，則樣

本均值的抽樣分布服從自由度為

(n-1)

的

t-

分布

(

較正態(tài)

分布平坦和分散

)

。隨著自由度增大，

t

分布也逐漸趨

于正態(tài)分布。在上述假設(shè)條件下，使用

t

分布統(tǒng)計(jì)量

(

附錄

B-3)

來(lái)估計(jì)總體均值的置信區(qū)間。

t

分布條件下總體均值置信區(qū)間的估計(jì)方法與正態(tài)分布條件下非常類似，只是查

t

分布表需要考慮自由度為

(n-1)

。統(tǒng)計(jì)量總

體置信區(qū)

間

μ=～

t(n-1)

±45調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體均值的區(qū)間估計(jì)

例題?

[例10．7]

某銀行收集到由

36信用卡用戶組成的隨機(jī)樣

本，得到各用戶年齡(周歲)

數(shù)據(jù)如下

–

23，35，39，27，36，44；36

，42，46，43，31，33，42，

53，45，54，47，24，34，28

，39，36，44，40，39，49，

38，34，48，50，34，39，45

，48，45，32。?

試建立信用卡用戶年齡90%

的置信區(qū)間。已知

n

=36

，

1-

=

90%

，

Z

/2

=1.64

。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

=39.5

，

s=7.77

則，信用卡用戶總體平均年齡

在90%

置信水平下的置信區(qū)間為：

μ=

±

=39.5±1.64×

=39.5±2.12

=

（

37.38

，

41.62

）結(jié)論是：在

90%

的置信度下，信用卡用戶的平均年齡為

37.38

～

41.62

歲。

46調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體比例的區(qū)間估計(jì)?

總體比例的區(qū)間估計(jì)假定總體服從二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布是

指重復(fù)進(jìn)行

n

次試驗(yàn)，出現(xiàn)

“

成功

”

的次數(shù)的概率分布。

總體比例的抽樣分布仍然可以由正態(tài)分布來(lái)近似，即適用

中心極限定理。使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量

Z

來(lái)描述總體比例的

區(qū)間估計(jì)，將總體比例區(qū)間估計(jì)表達(dá)如下：

π=

p

±在上式中，代表一定置信度下的

Z

值。

注意，

α

應(yīng)除以

2

，以便確定比例的每一邊所包含曲線下區(qū)域的百分比。

代表樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤，

當(dāng)

π

未知，樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤

的估計(jì)式

：

當(dāng)

π

已知，樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)式：47調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體比例的區(qū)間估計(jì)例題?

[例10．8]

某商業(yè)公

司想要估計(jì)經(jīng)常光顧

其大型購(gòu)物中心中女

性所占的比例，隨機(jī)

地抽取了400名經(jīng)常

性顧客，發(fā)現(xiàn)其中

260名為女性。?

試以95%的置信水平

估計(jì)經(jīng)常光顧該大型

購(gòu)物中心中女性比例

的置信區(qū)間。解：已知

n

=400

，

p

＝

65%=0.65

，

1

-

=

95%

，

Z

/2

=1.96

則，總體比例

π

在

95%

置信水平下的置信區(qū)間為：

π=

p

±

=0.65±1.96×

=0.65±0.047

=

（

0.603

，

0.697

）結(jié)論：在

95%

的置信度下，經(jīng)常光顧該大型購(gòu)物中心中女性比例的置信區(qū)間為

60.3%

～

69.7%

。48調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF總體方差的區(qū)間估計(jì)?

在重復(fù)選取容量為

n

的樣本時(shí)，由樣本方

差的所有可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布，

構(gòu)成樣本方差的抽樣分布。?

對(duì)于來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則

(n

-1)

倍的樣本方差與總體方差的比值的抽樣

分布服從自由度為

(

n

-1)

的

2

分布，即

～

2

(

n

-1)

2

分布的特性

總體方差的區(qū)間估計(jì)提供了理論依據(jù)。當(dāng)總體服從正態(tài)

分布時(shí)，總體方差

2

的點(diǎn)估計(jì)量為

s

2

。借助

2

分布表

(

附錄

B-4)

可

以查得

χ

21-α/2

和

χ

2α/2

分布曲線下的面積

(

概率

)

。然后，可以給出總體

方差在

1-

置信水平下的區(qū)間估計(jì)

：49調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF10

．

5

樣本量的確定?

樣本量的確定問(wèn)題，首先涉及對(duì)總體參數(shù)估計(jì)值

的精度要求，同時(shí)也涉及與各種運(yùn)作限制

(

如可

獲得的預(yù)算、資源和時(shí)間

)

之間的平衡問(wèn)題。?

理論上，總體參數(shù)估計(jì)的精度取決于抽樣誤差和

非抽樣誤差兩類誤差的大小。但是，確定樣本量

是為控制抽樣誤差，而不是對(duì)非抽樣誤差進(jìn)行控

制，進(jìn)而提高對(duì)總體估計(jì)的精度。50調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF估計(jì)精度與樣本量的關(guān)系?

總體參數(shù)的置信區(qū)間可以描述為：

–

總體參數(shù)

=

總體參數(shù)的估計(jì)值

±

抽樣誤差的范圍?

顯然，估計(jì)精度取決于抽樣誤差大小。假設(shè)用

E

來(lái)定義抽

樣誤差范圍，則當(dāng)簡(jiǎn)單隨機(jī)選擇一個(gè)容量足夠大

(

n

30)

的樣本時(shí)，樣本均值的抽樣誤差范圍可以表示為：

E

＝

–

抽樣誤差的范圍是估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)誤的倍數(shù)，乘數(shù)因子取決于在調(diào)查

估計(jì)中所希望達(dá)到的置信水平。?

在放回

(

重復(fù)

)

的

SRS

抽樣條件下，假設(shè)回答率為

100%

，

則樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤公式可用來(lái)解釋估計(jì)精度與樣本量之

間的基本關(guān)系：51調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF估計(jì)精度與樣本量?

無(wú)論是重復(fù)抽樣還是不重復(fù)抽樣，抽樣誤差的大

小

(

即估計(jì)精度

)

與樣本量緊密相關(guān)：

–

隨著樣本量的增加，對(duì)應(yīng)估計(jì)量的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差就會(huì)不

斷減小，調(diào)查估計(jì)的精度則會(huì)不斷提高。

–

同理，當(dāng)要求不斷提高調(diào)查估計(jì)值的精度要求時(shí)，所

需樣本量也會(huì)不斷增加。?

樣本量要根據(jù)估計(jì)所要求的精度來(lái)計(jì)算和確定。

下面的討論分為兩部分：

–

對(duì)初始樣本量的確定及考慮

–

復(fù)雜情況的考慮及對(duì)初始樣本量的調(diào)整52調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF初始樣本量的確定?

1

．給定總體均值估計(jì)精度下確定初始樣本量

–

初始樣本量基于以下假定：抽樣采用放回的

SRS

抽樣，

并且調(diào)查回答率為

100%

。

樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤表示為

：

抽樣誤差范圍表示為

：

E

＝

從上式中解得樣本量

n

：

從公式看出，樣本容量

n

與置信系數(shù)和總體方差成正比，與邊際誤差成反比。

為確定樣本量

n

，需要知道允許的抽樣誤差范圍

E

、與給定置信水平相對(duì)應(yīng)的

標(biāo)準(zhǔn)值

Z

、總體方差估計(jì)

σ

2

。

53調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF初始樣本量的確定?

2

．給定比例估計(jì)精度下確定初始樣本量

–

初始樣本量基于以下假定：抽樣采用放回的

SRS

抽樣，

并且調(diào)查回答率為

100%

。

樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤表示為

：

抽樣誤差范圍表示為

：

E

＝

從上式中解得樣本量

n

：

從公式看出，樣本容量

n

與置信系數(shù)和總體方差成正比，與邊際誤差成反比。

為確定樣本量

n

，需要知道允許的抽樣誤差范圍

E

、與給定置信水平相對(duì)應(yīng)的

標(biāo)準(zhǔn)值

Z

、總體比例

π

。

54調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF對(duì)樣本量基本公式的應(yīng)用考慮?

在確定初始樣本量的公式中，抽樣誤差范圍假定

已知。但在實(shí)踐中，如何確定調(diào)查估計(jì)的精度水

平

(

抽樣誤差范圍

)

，卻是一個(gè)值得思考的問(wèn)題。

–

1

．多大的抽樣誤差對(duì)調(diào)研目標(biāo)而言可以接受

?

常用

95

％的置信度、

±6

％的抽樣誤差范圍對(duì)客戶的調(diào)查目標(biāo)

是否適宜，估計(jì)值是否需要更高或者更低的精度？

–

2

．是否需要對(duì)調(diào)查總體中的子總體

(

域

)

進(jìn)行估計(jì)

?

例如，對(duì)一項(xiàng)全國(guó)性抽樣調(diào)查而言，主辦者可能要求對(duì)全國(guó)估

計(jì)的抽樣誤差范圍為

±3

％；但是對(duì)于省級(jí)估計(jì)值，抽樣誤差范

圍可能確定為

±5

％；而對(duì)于地市的估計(jì)值，

±10

％的抽樣誤差

范圍就足夠了。

55樣本量抽樣誤差范圍5010050010000．13860．09800．04380．0310調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF對(duì)樣本量基本公式的應(yīng)用考慮?

3

．相對(duì)于調(diào)查估計(jì)值的抽樣誤差應(yīng)該多大為宜

–

例如，政府要決定是否執(zhí)行為某種使用人數(shù)較少的語(yǔ)種提供服務(wù)

的新政策，假定做出決定的前提，是至少有

5%

的人群對(duì)這一語(yǔ)

種存在需求。在這里，

p

＝

0

．

05

就是要確定的最小估計(jì)值。相對(duì)

于該估計(jì)值，必須規(guī)定更小的抽樣誤差范圍，如

≤±0

．

01(

即，置

信區(qū)間為

0

．

05±0

．

01)

。?4

．精度要求的實(shí)際含義是什么

–

隨著樣本量的增加，估計(jì)值的精度也將提高。然而，精度的得益

并不與樣本量的增加成正比。如表

10-10

中描述的例子。

表10-10

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)比例P的樣本量與抽樣誤差范圍(當(dāng)P=0．5)56調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF關(guān)于確定樣本量的

現(xiàn)實(shí)復(fù)雜考慮?

在確定樣本量基本公式之外，又有一些

現(xiàn)實(shí)因素影響調(diào)查估計(jì)量的精度，進(jìn)而

影響樣本量。這些因素主要包括

–

總體指標(biāo)的變異程度

–

總體大小，

–

樣本設(shè)計(jì)和所用的估計(jì)量

–

以及回答率57調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF關(guān)于確定樣本量的現(xiàn)實(shí)復(fù)雜考慮?

1

．總體的變異程度

–

隨著調(diào)查總體中所研究指標(biāo)的實(shí)際變異程度的增加，

樣本量也必須隨之增大，以滿足估計(jì)的精度要求。

–

為確保達(dá)到調(diào)查要求的精度，在計(jì)算樣本量時(shí)，建議

對(duì)某一指標(biāo)的總體變異程度采取保守估計(jì)，即假定研

究指標(biāo)具有最大的變異程度。例如，對(duì)于二元變量，

應(yīng)該假定總體中該變量的變異程度為

50

％

-50

％對(duì)半平

分，即假定

p=0

．

5

。

–

為確保樣本量對(duì)所有的研究指標(biāo)都足夠大，應(yīng)該根據(jù)

最大變異程度或被認(rèn)為最重要的指標(biāo)來(lái)確定樣本量。58調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF關(guān)于確定樣本量的現(xiàn)實(shí)復(fù)雜考慮?

2

．總體大小

–

在基本公式中，樣本量的

確定似乎與總體大小沒(méi)有

關(guān)系。因?yàn)楫?dāng)時(shí)假定在大

總體中進(jìn)行有放回的重復(fù)

抽樣，抽樣總體的影響被

忽略掉了。然而，在調(diào)研

實(shí)踐中，總體單元數(shù)量可

能是有限的，而且可能采

取非重復(fù)抽樣，這時(shí)總體

大小對(duì)樣本容量的影響就

應(yīng)該被考慮進(jìn)來(lái)了。在樣本不放回的非重復(fù)抽樣條件下樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤表示為

：抽樣誤差范圍表示為

：

E

＝從上式中解得樣本量

：在樣本不放回的非重復(fù)抽樣條件下樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤

：抽樣誤差范圍表示為

：

E

＝從上式中解得樣本量

：59調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF關(guān)于確定樣本量的現(xiàn)實(shí)復(fù)雜考慮?

3

．樣本設(shè)計(jì)和估計(jì)量

–

當(dāng)使用復(fù)雜的樣本設(shè)計(jì)時(shí)，估計(jì)值可能比

SRS

精確。當(dāng)估計(jì)值更

精確時(shí)，稱所采用的樣本設(shè)計(jì)更為有效。因此，實(shí)際抽樣時(shí)必須

考慮實(shí)際所用抽樣設(shè)計(jì)的效率，并對(duì)初始樣本量做出調(diào)整。即，

在

SRS

抽樣的樣本量計(jì)算公式基礎(chǔ)上乘以一個(gè)

設(shè)計(jì)效應(yīng)因子

。

–

設(shè)計(jì)效應(yīng)

(Deff)

是指在給定抽樣設(shè)計(jì)下估計(jì)值的抽樣方差，與相

等樣本量下的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的估計(jì)值的抽樣方差之比。設(shè)某一抽樣設(shè)計(jì)樣本估計(jì)值的方差為，同等樣本量的

SRS

設(shè)計(jì)的樣本估計(jì)值的方差為，則抽樣設(shè)計(jì)效應(yīng)：

Deff

=顯然，對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣設(shè)計(jì)，

Deff=1

；若

Deff

＜

1

，表明實(shí)際使用的抽樣設(shè)計(jì)的效率高于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；若

Deff

＞

1

，表明實(shí)際使用的抽樣設(shè)計(jì)的效率低于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。特定抽樣設(shè)計(jì)所需的樣本量（

n

1

）調(diào)整為：

n

1

=n

0

·Deff

60調(diào)查分析預(yù)測(cè)

MRAF關(guān)于確定樣本量的現(xiàn)實(shí)復(fù)雜考慮?

4

．調(diào)查的回答率

–

調(diào)查回答率

是指調(diào)查回收的有效問(wèn)卷數(shù)占計(jì)劃訪問(wèn)的