2020年全國一卷理科數(shù)學(xué)(解析版)

2020年全國一卷理科數(shù)學(xué)(解析版)

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)本試卷共5頁，23題（含選考題），全卷滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若$z=1+i$，則$|z-2z|=2$。A.0B.1C.2D.22.設(shè)集合$A=\{x|x-4\leq0\}$，$B=\{x|2x+a\leq0\}$，且$A\capB=\{-2\leqx\leq1\}$，則$a=$A.$[-4]$B.$[-2]$C.$[2]$D.$[4]$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它們的形狀可視為一個正四棱錐。以該正四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為4.已知$A$為拋物線$C:y=2px(p>0)$上一點，點$A$到$C$的焦點的距離為$12$，到$y$軸的距離為$9$，則$p=$A.2B.3C.6D.95.某校一個課外學(xué)習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率$y$和溫度$x$（單位：℃）的關(guān)系，在$20$個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)$(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,20)$得到下面的散點圖：由此散點圖，在$10℃$至$40℃$之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率$y$和溫度$x$的回歸方程類型的是A.$y=a+bx$B.$y=a+bx^2$C.$y=a+be^x$D.$y=a+blnx$6.函數(shù)$f(x)=x-2x$的圖像在點$(1,f(1))$處的切線方程為A.$y=-2x-1$B.$y=-2x+1$C.$y=2x-3$D.$y=2x+1$圓錐側(cè)面上的直母線，AC為圓錐底面上的直徑，且AD=2AC，DE=2.5，AB=3，BC=4.5，求圓錐的體積和母線長。解：首先根據(jù)勾股定理可得，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=3$，$AD=2AC=6$。又因為$DE=2.5$，所以$OE=\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{25-6^2}=1$，$OC=\frac{AC}{2}=1.5$。由于$\triangleAOC$為直角三角形，所以$AO=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{3^2+1.5^2}=3.5$。又因為$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{6^2-2.5^2}=5.5$。故圓錐的母線長為$OA+AE=3.5+5.5=9$，體積為$\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\piOA^2\cdotAE=98\pi$。答：圓錐的體積為$98\pi$，母線長為9。19.（12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\cosx}{1+\sinx}$，$g(x)=\frac{2x}{\pi}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2}-x)dt$，求$g(x)$的單調(diào)區(qū)間。解：首先求出$g'(x)$，有$$g'(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2}-x)dt$$將$f(x)$展開為$\frac{\cosx}{1+\sinx}=\frac{1-\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan(\frac{x}{2})}$，代入上式可得$$g'(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{1-\tan(\frac{t}{2})}{1+\tan(\frac{t}{2})}\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2}-x)dt$$化簡得$$g'(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(x-\frac{t}{2})}{\cos(\frac{t}{2})}dt$$再次化簡得$$g'(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\int_{\frac{x}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cosu}{\cos(\frac{2u-x}{2})}du$$由于$\cos(\frac{2u-x}{2})$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上單調(diào)遞減，所以$g'(x)$在$[0,\pi]$上單調(diào)遞減，故$g(x)$在$[0,\pi]$上單調(diào)遞增，$g(x)$在$[\pi,2\pi]$上單調(diào)遞減。答：$g(x)$的單調(diào)區(qū)間為$[0,\pi]$和$[\pi,2\pi]$。20.（12分）已知$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中點，$E$是$AD$的中點，$F$是$AC$上一點，且$\angleCBF=\angleABE$，求證：$\angleBAF=\angleCBE$。解：如圖，連接$BE$，$CF$，$AF$，則$\triangleABE\cong\triangleCBF$（$AB=AC$，$BD=DC$，$AE=ED$，$\angleCBF=\angleABE$），故$\angleBAE=\angleBCF$，$\angleABE=\angleCBF$。因為$BE$是$AD$的中線，所以$BE\parallelAC$，故$\angleBAE=\angleBAF$。又因為$BF$是$AC$的角平分線，所以$\angleBAF=\angleCAF$。綜上，$\angleCAF=\angleBAE=\angleBCF$，故$\angleBAF=\angleCBE$。答：$\angleBAF=\angleCBE$。21.（12分）已知函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且$f(0)=f(1)$，證明：存在$\xi\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$。證：定義$g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$，則$g(x)$在$[0,\frac{1}{2}]$上連續(xù)。又因為$g(0)=f(0)-f(\frac{1}{2})$，$g(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(1)=f(0)-f(\frac{1}{2})=g(0)$，所以$g(0)=g(\frac{1}{2})$。若$g(x)$恒為0，則存在$\xi\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$，證畢。若$g(x)$不恒為0，則存在$a,b\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$g(a)>0$，$g(b)<0$。由于$g(x)$在$[0,\frac{1}{2}]$上連續(xù)，故由介值定理可知，存在$c\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$g(c)=0$，即$f(c)=f(c+\frac{1}{2})$，證畢。答：存在$\xi\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$。底面直徑AE=AD，三角形ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上的一點，且PO=DO/6?，F(xiàn)要證明：PA垂直于平面PBC，求二面角B-PC-E的余弦值。改寫：已知底面直徑AE=AD，底面為內(nèi)接正三角形ABC，點P位于DO上且PO=DO/6。需證明PA垂直于平面PBC，并求二面角B-PC-E的余弦值。甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，比賽規(guī)則為累計負兩場者被淘汰，每場比賽的勝者與輪空者進行下一次比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰。已知甲、乙首先比賽，丙輪空，每場比賽雙方獲勝的概率都為1/2。（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率。改寫：甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，規(guī)定累計負兩場者被淘汰，每場比賽的勝者與輪空者進行下一次比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰。已知甲、乙首先比賽，丙輪空，每場比賽雙方獲勝的概率均為1/2。（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率。已知橢圓E的左、右頂點分別為A、B，方程為x^2/a^2+y^2=1（a>1），上頂點為G，AG×GB=8。直線x=6上的動點為P，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D。（1）求橢圓E的方程；（2）證明：直線CD過定點。改寫：已知橢圓E的左、右頂點分別為A、B，方程為x^2/a^2+y^2=1（a>1），上頂點為G，且AG×GB=8。直線x=6上的動點為P，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D。（1）求橢圓E的方程；（2）證明：直線CD過定點。已知函數(shù)f(x)=e^(ax-x^2+1)，其中a為常數(shù)。（1）當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；（2）當x≥2時，f(x)≥x+1，求a的取值范圍。改寫：已知函數(shù)f(x)=e^(ax-x^2+1)，其中a為常數(shù)。（1）當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；（2）當x≥2時，有f(x)≥x+1，求a的取值范圍。在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=cos(kt)，y=sin(kt)（t為參