剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程

關于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程第1頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三設定軸轉(zhuǎn)動剛體某瞬時的角速度為ω，角加速度為ε設其上第i個質(zhì)點所受的外力為，內(nèi)力為因剛體作定軸轉(zhuǎn)動，故只考慮力矩的效應第i個質(zhì)點所受的力Fi對轉(zhuǎn)軸z軸之矩為§6-1剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程zωεrimi?對整個剛體第2頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三令即——剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量,它是轉(zhuǎn)動剛體慣性的度量定軸轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角加速度的乘積等于作用于剛體上的所有外力對轉(zhuǎn)軸之矩的代數(shù)和?！獎傮w定軸轉(zhuǎn)動微分方程第3頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三OR§6-2轉(zhuǎn)動慣量一、簡單形體的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)細直桿dxx均質(zhì)薄圓環(huán)RzO均質(zhì)圓板mi二、回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑)rdrlxzO第4頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三三、平行軸定理riyzxO·mi

Jz=JC+

md2剛體對任一定軸z軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz

，等于它對通過質(zhì)心C且與z軸平行的C軸的轉(zhuǎn)動慣量JC，加上其質(zhì)量m與兩軸間的距離d的平方乘積。z'

軸過質(zhì)心C,則

C

z'x'y'dri'【證明】設質(zhì)心C的坐標為

(xC,yC),則任一點mi的坐標滿足:xi=xC+xi',

yi=yC+yi'即顯然第5頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三【例6-1】圖示質(zhì)量為m長度為l的均質(zhì)直桿OA和質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓盤

C在A點剛性連接，求系統(tǒng)對垂直于圖面且過O

點的軸的轉(zhuǎn)動慣量?！窘狻縅O

=JO(OA)

+JO(C)OCA四、例題第6頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三§6-3剛體平面運動微分方程由質(zhì)心運動定理得剛體的平面運動可視為隨質(zhì)心（基點）的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的合成。由相對于質(zhì)心的動量矩定理得CrC應用時多取投影式φDO一、運動微分方程第7頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三【例6-6】均質(zhì)圓輪C質(zhì)量為m，其上繞以細繩，繩的一端固定于O點。求其下降時質(zhì)心C的加速度和繩的拉力。OC【解】1）輪C作平面運動

運動微分方程為TCmg2）輪C左邊沿與繩接觸點I為瞬心3）求解I二、例題第8頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三AO【例6-7】均質(zhì)圓盤O和C的質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r。圓盤O可繞通過點O的水平軸轉(zhuǎn)動，繩的一端繞在圓盤O上，另一端繞在圓盤C上。求當圓盤C下落時質(zhì)心C的加速度及繩AB段的張力。TCBTmgMgN【解】1）輪O作定軸轉(zhuǎn)動

其平面運動微分方程為點C的絕對加速度2）輪C作平面運動點B為相對瞬心4）求解點A的加速度其平面運動微分方程為第9頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三【例6-8】長為l質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿A端用細繩懸掛于天花板上，B端靜止放置于光滑水平面上。求突然剪斷繩時點B的加速度及桿AB的角加速度。OABCmgNaCε【解】1）AB桿作平面運動

列平面運動微分方程2）分析B點的加速度因ω=0，故求aB的投影3）求解aC第10頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三AOCBr【例6-9】圖示半徑為r質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪上纏以無重水平細繩，A端固定。輪心O處作用一水平常力FO，輪與水平地面間的動滑動摩擦因數(shù)為f。設力FO足夠大，使輪心O水平向右運動，輪子轉(zhuǎn)動使不可伸長細繩展開。求在FO作用下輪心O從靜止開始走過s段路程時輪子的角速度和角加速度。FCmgNFFOωε【解】1）列輪子運動方程4）摩擦條件：F=Nf2）C為瞬心，則滿足aO=rε，vO=rω5）求解：3）勻變速運動學條件aO第11頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三C【例6-10】質(zhì)量為m半徑為r的均質(zhì)圓柱C無初速的放在質(zhì)量為M傾角為

的斜面上，斜面與地面光滑接觸。不計滾動阻力，求斜面的加速度、圓柱中心C點的相對加速度和角加速度。mgNaraeεae【解】1）若斜面與圓柱光滑接觸，圓柱受力如圖。整體的動量在水平方向守恒求解：顯然圓柱只滑不滾。第12頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三CmgNaraeFεae2）若斜面與圓柱粗糙接觸，圓柱作純滾動。整體動量水平方向守恒求解圓柱的牽連運動為平動第13頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三Cmg