有理數(shù)基本概念

第二章《有理數(shù)及其運(yùn)算》知識點（一）有理數(shù)：（1）整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱 按定義分類：有理數(shù)J按符號分類：有理數(shù)彳零注：①正數(shù)和零統(tǒng)稱為 ；②負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為 ；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為 ;④負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為 .注意:_都大于零,都小于零“丁即不是，也不是.（3）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量：如果用正數(shù)表示某種意義的量，那么負(fù)數(shù)表示其 意義的量，如果負(fù)數(shù)表示某種意義的量,則正數(shù)表示其 意義的量.如：若-5米表示向東走5米，則+3米表示向 走3米；若+6米表示上升6米，則-2米表示 ；（二）數(shù)軸⑴概念：規(guī)定了 、 和 的直線。注：① 、 、 稱為數(shù)軸的三要素，三者缺一不可.（2）數(shù)軸的畫法及常見錯誤分析：畫一條水平的 ；在這條直線上適當(dāng)位置取一實心點作為 :確定向右的方向為 ，用 表示；有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的 表示出來■在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù) ，正數(shù)都大于 ，負(fù)數(shù)都小于 ，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).注意：數(shù)軸上的點不都是有理數(shù)，如“.相反數(shù)相反數(shù)：只有 的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)■特別地，0的相反數(shù)是 ;若a與b互為相反數(shù)，則a+b=___,反之亦然.相反數(shù)的性質(zhì)：代數(shù)意義：只有 的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，特別地，O的相反數(shù)是0?相反數(shù)必須 出現(xiàn)，不能單獨(dú)存在.例如：+5和互為相反數(shù)，或者說+5是的相反數(shù)，一5是的相反數(shù)，而單獨(dú)的一個數(shù)不能說是 ■另外，定義中的“只有”指除 以外，兩個數(shù) ，注意應(yīng)與“只要符號不同”區(qū)分開?例如+3與一3互為相反數(shù)，而+3與一2雖然 ……不同，但它們不是相反數(shù).幾何意義：一對相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于 兩側(cè)，并且到原點的 相等?這兩點是關(guān)于 對稱的.求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“ ”號即可.一般地，數(shù)a的相反數(shù)是 ;這里以a表示任意一個數(shù)，可以為 、、負(fù)數(shù)，也可以是任意一個代數(shù)式.注意一a不一定是■注意：當(dāng)a>0時,—a0(正數(shù)的相反數(shù)是數(shù))；當(dāng)a=0時，一a0(0的相反數(shù)是當(dāng)aV0時，-a0(負(fù)數(shù)的相反數(shù)是)?

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為 ，即若a與b互為 ,則a+b=0,反之，若a+b=O,則a與b互為 ?多重符號的化簡：一個正數(shù)前面不管有多少個“+”號，都可以全部 ;一個正數(shù)前面有 個“一”號，也可以把“一”號全部去掉；一個正數(shù)前面有 個“一”號，則化簡后只保留一個“一”號，即' 負(fù) 正”(其中“奇偶”是指正數(shù)前面TOC\o"1-5"\h\z的" ”號的個數(shù)的 “負(fù)正”是指化簡的最后結(jié)果的 .絕對值絕對值的代數(shù)意義及幾何意義絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是 ;一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的 ;0的絕對值是 .絕對值的幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的與 的距離■數(shù)a的絕對值記作 .注意：取絕對值也是一種 ，這個 符號是“ ”，求一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì) 絕對值符號.絕對值具有 性，取絕對值的結(jié)果總是 .任何一個有理數(shù)都是由 部分組成： 和它的 ，如：一5,符號是 ，絕對值是 .字母a的絕對值的分類,(a-0)或,(a-0)或a=<,(a<0)或,(a>0),(a<0)< ,(a=0)或網(wǎng)=< ,(a<0)利用絕對值比較兩個負(fù)有理數(shù)的大小規(guī)則：兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而 步驟：①計算兩個負(fù)數(shù)的 .

比較這兩個 的大小.寫出正確的判斷結(jié)果.如果幾個非負(fù)數(shù)的和為0那么這幾個非負(fù)數(shù)都必為 例如：若a+b+c=°，貝臨—，b—，c— 知識點二：有理數(shù)運(yùn)算（一）有理數(shù)比較大小兩數(shù)同』同正:同負(fù):兩數(shù)同』同正:同負(fù):大的數(shù)大大的反而小1、1、比較大小兩數(shù)異號（一正一負(fù)）— 其中有時〔負(fù)數(shù)與0―小于0TOC\o"1-5"\h\z［負(fù)數(shù)與0： 、于）2、數(shù)形結(jié)合利用數(shù)軸比較有理數(shù)大小。（二）有理數(shù)的加減法（1） 有理數(shù)加法法則同號兩數(shù)相加，取相同的 ，并把絕對值 .絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取 的加數(shù)的符號，并用較大的 減去較小的 .一個數(shù)同0相加，仍得 .（2） 有理數(shù)加法的運(yùn)算步驟法則是運(yùn)算的依據(jù)，根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，可以得到加法的運(yùn)算步驟：確定和的 ；求和的絕對值，即確定是兩個加數(shù)的絕對值的 .（3） 有理數(shù)加法的運(yùn)算律：兩個加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置， 不變?即a+b=b+a（加法 律）三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，不變.即（a+b）+c=a+（b+c）（加法 律）（4） 有理數(shù)加法的運(yùn)算技巧分?jǐn)?shù)與小數(shù)均有時，應(yīng)先化為 形式.帶分?jǐn)?shù)可分為 與 兩部分參與運(yùn)算.多個加數(shù)相加時，若有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，可先結(jié)合得 若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結(jié)合 .若有同分母的分?jǐn)?shù)或易通分的分?jǐn)?shù)，應(yīng)先結(jié)合在一起. 相同的數(shù)可以先結(jié)合在一起.（5） 有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于 ，即a-b=a+（ ）（6） 有理數(shù)減法的運(yùn)算步驟把減號變?yōu)榧犹枺ǜ淖冞\(yùn)算符號）把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)（改變性質(zhì)符號）把減法轉(zhuǎn)化為加法，按照加法運(yùn)算的步驟進(jìn)行運(yùn)算.（7） 有理數(shù)加減混合運(yùn)算的步驟把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法； ②省略加號與括號；利用運(yùn)算律及技巧簡便計算，求出結(jié)果.注意：根據(jù)有理數(shù)減法法則，減去一個數(shù)等于加上 ，因此加減混合運(yùn)算可以依據(jù)上述法則轉(zhuǎn)變?yōu)橹挥?的運(yùn)算，即變?yōu)榍髱讉€正數(shù)，負(fù)數(shù)和0的和，這個和稱為代數(shù)和■為了書寫簡便，可以把加號與每個加數(shù)外的括號均省略，寫成省略加號和的形式，有理數(shù)的乘除法有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號得 ,異號得 ,并把 相乘.任何數(shù)同 相乘，都得0.有理數(shù)乘法的運(yùn)算律兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等■即ab= (乘法結(jié)合律)三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等.即abc= (乘法結(jié)合律)一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加.即a(b+c)= (乘法分配律)有理數(shù)乘法法則的推廣幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由 的個數(shù)決定，當(dāng) 的個數(shù)是偶數(shù)時，積為 ； 的個數(shù)是奇數(shù)時，積為 .幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0,則積為 .在進(jìn)行乘法運(yùn)算時，若有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化為 ，便于約分;若有小數(shù)及分?jǐn)?shù)，一般先將小數(shù)化為 ，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算.有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的 。即aFb=a? (b￥0)兩數(shù)相除，同號得 ，異號得 ，并把絕對值 , 除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.倒數(shù)及有理數(shù)除法

①乘積為 的兩個數(shù)互為倒數(shù)。倒數(shù)是 出現(xiàn)的，單獨(dú)一個數(shù)不能稱為倒數(shù)；互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定 ; 沒有倒數(shù)；求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，只要把它的分子和分母 即可(正整數(shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù))。注意：a,b互為倒數(shù)，則ab=_；a,b互為負(fù)倒數(shù)，則ab=_。反之亦然.②有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：首先確定商的 ,有理數(shù)的乘方首先確定商的 ,有理數(shù)的乘方然后再求出商的絕對值.(1)概念：求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做結(jié)果叫做 ，在an中，a叫做 ，n叫做 (2)含義：an中，a為底數(shù)，n為指數(shù)，即表示a的個數(shù)，an表示有 相乘?例如：35表示3X3X3X3X3,(-3)5表示(-3)X(-3)X(-3)X(-3)X(-3),特別注意負(fù)數(shù)及分?jǐn)?shù)的乘方，應(yīng)把底數(shù)加上括號.如(-2)7表示 相乘，而-27則TOC\o"1-5"\h\z表示7個2相乘的積的 。當(dāng)n為奇數(shù)時，(-a)n= ;而當(dāng)n為偶數(shù)時，(-a)n= .注意：負(fù)數(shù)的奇次冪是 ，負(fù)數(shù)的 冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是 ,0的任何次冪都是 ，任何不為0的數(shù)的0次冪都是 .⑶“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用:口訣“奇負(fù)偶正”在多處知識點中均提到,具體的應(yīng)用有如下幾點:①多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“一”號的個數(shù)，例如：一[一(-3)]= ,-[+(-3)]= .有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：（一3）X（—2）X（—6）= ，而（一3）X（—2）X6= .有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為 ;指數(shù)為偶數(shù)，則冪為 ，例如：（—3）2= ,（—3）3= .（4）有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行■加減法為一級運(yùn)算，乘除法為二級運(yùn)算，乘方及開方（以后學(xué)）稱為三級運(yùn)算?同級運(yùn)算，按從左到右的順序進(jìn)行；不同級運(yùn)算，應(yīng)先算 級運(yùn)算，然后 級，最后 級；如果有括號，先算括號里的，有多重括號時，應(yīng)先算—括號里的，再算括號里的,最后算 括號里的.以上運(yùn)算順序可以簡記為“從左到右，從高（級）到低（級）從?。?/p>