圖形裁剪與幾何變換

關(guān)于圖形裁剪與幾何變換第1頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三2圖形裁剪圖形輸出流水線窗口視圖變換幾何變換圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)坐標(biāo)系主要內(nèi)容第二講圖形裁剪與幾何變換第2頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三3為什么要用多種坐標(biāo)系？坐標(biāo)系在圖形處理的不同階段定義不同的坐標(biāo)系，有利于提高圖形處理的效率和用戶便于理解。第二講圖形裁剪與幾何變換造型坐標(biāo)系用戶坐標(biāo)系觀察坐標(biāo)系規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)系設(shè)備坐標(biāo)系第3頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三4造型坐標(biāo)系坐標(biāo)系xxyyzz右手系形體或圖素在造型坐標(biāo)系中定義局部坐標(biāo)系便于定義形體和圖素第二講圖形裁剪與幾何變換第4頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三5造型坐標(biāo)系坐標(biāo)系第二講圖形裁剪與幾何變換第5頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三6用戶坐標(biāo)系坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系、放射坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系定義整圖或最高層圖形結(jié)構(gòu)全局坐標(biāo)系，子圖、圖組、圖素等在調(diào)用后都放在用戶坐標(biāo)系xyz第二講圖形裁剪與幾何變換第6頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三7用戶坐標(biāo)系坐標(biāo)系第二講圖形裁剪與幾何變換第7頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三8坐標(biāo)系第二講圖形裁剪與幾何變換直角坐標(biāo)系仿射坐標(biāo)系第8頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三9坐標(biāo)系第二講圖形裁剪與幾何變換圓柱坐標(biāo)系..第9頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三10坐標(biāo)系第二講圖形裁剪與幾何變換球坐標(biāo)系..第10頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三11觀察坐標(biāo)系坐標(biāo)系vun眼睛n-觀察方向vu定義了觀察平面左手直角坐標(biāo)系可以在用戶坐標(biāo)系任意位置、任何方向定義指定裁剪空間定義觀察平面，把用戶坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)第二講圖形裁剪與幾何變換第11頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三12設(shè)備坐標(biāo)系坐標(biāo)系左手直角坐標(biāo)系用來在圖形設(shè)備上指定窗口或視圖區(qū)也用來定義像素和位圖規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系左手直角坐標(biāo)系用來定義視圖區(qū)提高了應(yīng)用程序的移植性第二講圖形裁剪與幾何變換0,11,10,01,02.6,-3.12.6,2.6-3.1,-3.12.6,-3.1第12頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三13圖形輸出流水線圖形輸出流水線第二講圖形裁剪與幾何變換造型坐標(biāo)用戶坐標(biāo)造型變換觀察坐標(biāo)觀察變換規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)規(guī)格化變換投影坐標(biāo)投影變換設(shè)備坐標(biāo)工作站變換第13頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三14圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩陣運(yùn)算齊次坐標(biāo)矢量運(yùn)算主要內(nèi)容第二講圖形裁剪與幾何變換第14頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三15圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一、矢量運(yùn)算矢量和第二講圖形裁剪與幾何變換第15頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三16圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一、矢量運(yùn)算（續(xù)）矢量的數(shù)乘矢量的點(diǎn)積性質(zhì)第二講圖形裁剪與幾何變換第16頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三17圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一、矢量運(yùn)算（續(xù)）

矢量的長度

夾角

矢量的叉積

第二講圖形裁剪與幾何變換第17頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三18圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、矩陣運(yùn)算矩陣：由m×n個(gè)數(shù)按一定位置排列的一個(gè)整體，簡稱m×n矩陣。其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素第二講圖形裁剪與幾何變換第18頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三19圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、矩陣運(yùn)算（續(xù)）加法設(shè)A，B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣A+B=數(shù)乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n第二講圖形裁剪與幾何變換第19頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三20圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、矩陣運(yùn)算（續(xù)）乘法設(shè)A為3×2矩陣，B為2×3矩陣

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj單位矩陣在一矩陣中，其主對角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n第二講圖形裁剪與幾何變換第20頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三21圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、矩陣運(yùn)算（續(xù)）逆矩陣若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱A-1為A的逆矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

當(dāng)A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對稱矩陣。第二講圖形裁剪與幾何變換第21頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三22圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、矩陣運(yùn)算（續(xù)）矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)交換律與結(jié)合律師

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A第22頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三23圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、矩陣運(yùn)算（續(xù)）矩陣乘法的結(jié)合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律第二講圖形裁剪與幾何變換第23頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三24圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三、齊次坐標(biāo)

所謂齊次坐標(biāo)表示法就是由n+1維向量表示一個(gè)n維向量。如n維向量(P1,P2,…,Pn)表示為：（hP1,hP2,…,hPn,h）其中，h稱為啞坐標(biāo)。

1、h可以取不同的值，所以同一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)不是唯一的。2、普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對多”由普通坐標(biāo)h→齊次坐標(biāo)由齊次坐標(biāo)÷h→普通坐標(biāo)

3、當(dāng)h=1時(shí)產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱為“規(guī)格化坐標(biāo)”，因?yàn)榍皀個(gè)坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的n維坐標(biāo)。第二講圖形裁剪與幾何變換第24頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三25圖形變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三、齊次坐標(biāo)（續(xù)）1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間上的一個(gè)點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。2.便于表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例如：（a,b,h)，令h等于03.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)便于變換合成便于硬件實(shí)現(xiàn)齊次坐標(biāo)的作用：第二講圖形裁剪與幾何變換第25頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三26窗口視圖變換一、用戶域與窗口區(qū)世界（用戶）坐標(biāo)系窗口用戶域是用戶定義設(shè)計(jì)對象的連續(xù)無限的二維或三維空間。窗口窗口是用戶域的一個(gè)子域。在用戶域中指定的一個(gè)區(qū)域，用戶只能將該區(qū)域的圖形輸出到圖形設(shè)備上。窗口一般是矩形區(qū)域，可用其左下角點(diǎn)和右上角點(diǎn)坐標(biāo)來表示。通常窗口的邊界與坐標(biāo)軸平行。窗口可以嵌套。第二講圖形裁剪與幾何變換第26頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三27窗口視圖變換二、屏幕與和視圖區(qū)屏幕域屏幕域是圖形設(shè)備上輸出圖形的最大區(qū)域屏幕域是有限的整數(shù)域，如分辨率為1024×768的顯示器，其屏幕域DC可定義為：

DC∈[0∶1023]×[0∶767]視圖區(qū)用戶在屏幕域內(nèi)指定的用于顯示圖形的區(qū)域用設(shè)備坐標(biāo)定義，一般定義成矩形，由其左下角點(diǎn)和右上角點(diǎn)坐標(biāo)來定義一個(gè)屏幕可以定義多個(gè)視圖區(qū)，并且視圖區(qū)可以嵌套第二講圖形裁剪與幾何變換第27頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三28窗口視圖變換二、屏幕與和視圖區(qū)（續(xù)）

1主菜單區(qū)2子菜單區(qū)

4提示信息區(qū)

3圖形顯示區(qū)圖4.2.1視圖分區(qū)第二講圖形裁剪與幾何變換第28頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三29窗口視圖變換三、窗口與視區(qū)變換窗口（wx,wy）1100視區(qū)（vx,vy）第二講圖形裁剪與幾何變換第29頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三30窗口視圖變換三、窗口與視區(qū)變換（續(xù))第二講圖形裁剪與幾何變換第30頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三31窗口視圖變換三、窗口與視區(qū)變換（續(xù))矩陣表達(dá)式：第二講圖形裁剪與幾何變換第31頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三32窗口視圖變換三、工作站變換HV0工作站視區(qū)設(shè)備/圖像坐標(biāo)系工作站變換：將規(guī)范化坐標(biāo)變換為離散設(shè)備/圖像坐標(biāo)。它本質(zhì)上是第二個(gè)窗口-視區(qū)變換。110工作站窗口規(guī)范化設(shè)備坐標(biāo)系屏幕區(qū)第二講圖形裁剪與幾何變換第32頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三33窗口視圖變換第二講圖形裁剪與幾何變換二維圖形輸出流程三維圖形輸出流程第33頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三34圖形裁剪多邊形裁剪字符裁剪二維線段裁剪主要內(nèi)容三維圖形裁剪簡介裁剪的概念第二講圖形裁剪與幾何變換第34頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三35圖形裁剪一、裁剪的概念裁剪：利用窗口技術(shù)把整體圖形分為窗口內(nèi)部分和窗口外兩部分，保留窗口內(nèi)部分。覆蓋：利用窗口技術(shù)把整體圖形分為窗口內(nèi)部分和窗口外兩部分，保留窗口外部分。第二講圖形裁剪與幾何變換第35頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三36圖形裁剪一、裁剪的概念（續(xù)）裁剪算法：一般地，對于給定的區(qū)域，判斷圖形的哪些部分在該區(qū)域內(nèi)或區(qū)域外的過程稱為裁剪算法。相應(yīng)的參考區(qū)域稱為窗口。裁剪技術(shù)的本質(zhì)問題是對線段或多邊形作求交與裁剪，僅保留需要的部分。第二講圖形裁剪與幾何變換第36頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三37圖形裁剪一、裁剪的概念（續(xù)）裁剪算法分類：按照裁剪對象的不同，裁剪算法分為：點(diǎn)裁剪線裁剪（直線段）區(qū)域裁剪（多邊形）曲線裁剪文本裁剪第二講圖形裁剪與幾何變換第37頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三38圖形裁剪二、點(diǎn)的裁剪假設(shè)裁剪窗口是一個(gè)矩形，其邊界平行于坐標(biāo)軸。

點(diǎn)裁剪對于點(diǎn)P(x,y),若下面的不等式成立，則P顯示。否則，P被裁剪掉。窗口xy第二講圖形裁剪與幾何變換第38頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三39圖形裁剪二、二維線段裁剪第二講圖形裁剪與幾何變換第39頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三40圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）1.向量線段不在窗口內(nèi)第二講圖形裁剪與幾何變換第40頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三41圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點(diǎn)坐標(biāo)在窗口內(nèi)第二講圖形裁剪與幾何變換第41頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三42圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點(diǎn)坐標(biāo)在窗口左邊界左邊起點(diǎn)新坐標(biāo)或線段在窗口外第二講圖形裁剪與幾何變換第42頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三43圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點(diǎn)坐標(biāo)在窗口左邊界左邊起點(diǎn)新坐標(biāo)

minY≤Y≤maxY求解有效

Y<minY或Y>maxY線段在窗口外第二講圖形裁剪與幾何變換第43頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三44圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點(diǎn)坐標(biāo)在窗口左邊界左邊起點(diǎn)新坐標(biāo)

Y>maxY且Ys>maxY

藍(lán)色線段在窗口外綠色線段與上邊界相交第二講圖形裁剪與幾何變換第44頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三45圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點(diǎn)坐標(biāo)在窗口左邊界左邊起點(diǎn)新坐標(biāo)

Y<minY且Ys<minY

紅色線段在窗口外綠色線段與下邊界相交第二講圖形裁剪與幾何變換第45頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三46圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點(diǎn)坐標(biāo)在窗口左邊界左邊！注意

Y<minY且Ys<minY

Y>maxY且Ys>maxY

必須判斷下面的條件第二講圖形裁剪與幾何變換第46頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三47圖形裁剪二、二維線段裁剪（續(xù)）2.向量線段起點(diǎn)坐標(biāo)在窗口左邊界右邊在1區(qū)和2區(qū)2.向量線段終點(diǎn)坐標(biāo)第二講圖形裁剪與幾何變換第47頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三48圖形裁剪三、多邊形裁剪多邊形裁剪的概念第二講圖形裁剪與幾何變換第48頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三49圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）錯(cuò)覺直線段裁剪的組合？新的問題1）邊界不再封閉，需要用窗口邊界的恰當(dāng)部分來封閉它，如何確定其邊界？第二講圖形裁剪與幾何變換第49頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三50圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）新的問題（續(xù)）

2）一個(gè)凹多邊形可能被裁剪成幾個(gè)小的多邊形，如何確定這些小多邊形的邊界？第二講圖形裁剪與幾何變換第50頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三51圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）多邊形裁剪的雙邊裁剪法

第二講圖形裁剪與幾何變換第51頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三52圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）第二講圖形裁剪與幾何變換用主多邊形P(即用戶圖形)的邊裁剪多邊形Q(即用戶定義的窗口、視圖區(qū))，或在某種條件下用Q的邊去裁剪P的算法。我們把這種算法簡稱為雙邊裁剪法?；舅枷胧?對于有序排列的封閉多邊形，從其任一點(diǎn)出發(fā)，按照頂點(diǎn)排列的順序(如按照順時(shí)針方向排列)，跟蹤檢測P的每一條邊，當(dāng)P的邊和Q的有效邊框相交時(shí)，將按如下兩種情況處理:（1)若P的邊是進(jìn)入Q，則算法繼續(xù)沿著P的邊往下處理，并輸出Q內(nèi)的線段;（2)若P的邊是從Q中出來，則算法將從它們的交點(diǎn)(此處我們把這個(gè)交點(diǎn)定義為前交點(diǎn))開始，沿著窗口邊框向右檢測Q的邊，即用Q的有效邊框去裁剪P的邊(如果P的邊是按逆時(shí)針方向排列，則應(yīng)向左檢測Q的邊)。并在Q的正方向上找到離前交點(diǎn)最近的P和Q的交點(diǎn)后，輸出窗口Q的邊界線段，再返回到離P的前交點(diǎn)最近的下一個(gè)頂點(diǎn)處，繼續(xù)處理P的邊。這個(gè)過程一直處理到起點(diǎn)為止。第52頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三53圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）多邊形裁剪的雙邊裁剪法（續(xù)）

1131486523491110123窗口7第二講圖形裁剪與幾何變換第53頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三54圖形裁剪三、多邊形裁剪（續(xù)）多邊形裁剪的雙邊裁剪法（續(xù)）

第二講圖形裁剪與幾何變換第54頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三55圖形裁剪四、字符裁剪字符串裁剪可按三個(gè)精度來進(jìn)行：

串精度字符精度象素精度

第二講圖形裁剪與幾何變換第55頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三56圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介觀察體的定義

在照相時(shí)，相機(jī)的鏡頭是決定所拍攝場景大小的一個(gè)因素。在三維顯示中，觀察平面上的矩形觀察窗口用于實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)。

觀察窗口的邊與xvyv軸平行。窗口邊界的位置是由觀察坐標(biāo)指定的，觀察窗口可以放在觀察平面上的任何位置。觀察平面(xwmax,ywmax)(xwmin,ywmin)投影窗口zvxvyv第二講圖形裁剪與幾何變換第56頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三57圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）觀察體的定義（續(xù)）

給定觀察窗口后，我們可以利用窗口的4條邊界建立觀察體。只有位于觀察體中的物體才會在輸出設(shè)備上顯示出來，所有其他部分將被裁剪掉。窗口前裁剪面后裁剪面平行六面體第二講圖形裁剪與幾何變換第57頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三58圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）觀察體的特點(diǎn)

投影中心后裁剪面前裁剪面zv窗口觀察平面、前后裁剪面的相對位置關(guān)系依賴于投影的類型。前后裁剪面的作用：(1)裁剪掉不感興趣的部分；(2)在透視投影中，裁剪掉離觀察面很近的大物體，這些物體投影到觀察窗口中模糊不清；后平面裁剪掉遠(yuǎn)離投影中心的物體，這部分物體在輸出設(shè)備上是很小的點(diǎn)。后平面比前平面離投影中心遠(yuǎn)，且都在投影中心的同一側(cè)第二講圖形裁剪與幾何變換第58頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三59圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）三維裁剪與二維裁剪的不同之處

在二維裁剪中，窗口是與x,y軸平行的，這大大簡化了裁剪在二維裁剪中運(yùn)算。三維裁剪體的裁剪邊界是平面，平面的產(chǎn)生與投影的類型、投影的窗口及投影中心的位置有關(guān)。在透視投影中，觀察體的前后面與觀察平面平行，每個(gè)面的z坐標(biāo)均為常數(shù)，但其他四個(gè)側(cè)面可以具有任意的空間方向，這給求交運(yùn)算帶來了麻煩。第二講圖形裁剪與幾何變換第59頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三60圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）三維線段的裁剪

先用規(guī)范化變換將原來的觀察體變換為所謂的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范體。然后，在規(guī)范化裁剪體中進(jìn)行裁剪操作。窗口前裁剪面后裁剪面111前裁減面后裁剪面xyz規(guī)范化平行投影空間第二講圖形裁剪與幾何變換第60頁，講稿共66頁，2023年5月2日，星期三61圖形裁剪五、三維圖形裁剪簡介（續(xù)）三維線段的裁剪（續(xù)）

111前裁減面后裁剪面xyz規(guī)范化平行投影空間對于平行投影，其規(guī)范化投影空間為正四棱柱，6個(gè)裁剪面的方程為：第二講圖形裁剪與幾何變換第61頁，