傳染病動力學與個體行為地相互影響

傳染病動力學與個體行為的相互影響張海峰haifeng3@zhhf_3@163.com

綱要相關背景介紹個體行為與傳染病動力學關系的一些研究進展本人的一點工作和想法一、背景工作介紹：

經(jīng)典的傳染病模型：

SIS(Susceptible-Infected-Susceptible);SIR(Susceptilbe-infected-Removed/Recovery);SEIR,SIRS….

對應的微分方程：基本再生率R：一個病人在平均患病期內(nèi)能感染的最大人數(shù)，如R<1則疾病自然滅亡，否則盛行。R=，數(shù)學上的處理方法主要是研究在不同情況下的R.以及相關的穩(wěn)定性條件（局部的和全局的）復雜網(wǎng)絡上的疾病傳播主要結論：規(guī)則網(wǎng)絡——隨機網(wǎng)絡——小世界網(wǎng)絡——無標度網(wǎng)絡（傳播速度逐漸變快），尤其是無標度網(wǎng)絡，當網(wǎng)絡結構充分大的時候，即使充分小的傳染率也可以使疾病盛行。由于：

研究復雜網(wǎng)絡上傳染病動力的方法有：平均場理論（mean-field），渝滲理論（percolation）,Markov鏈方法等。研究方向網(wǎng)絡結構對動力學的影響（無標度，小世界，社團網(wǎng)絡，層次網(wǎng)絡等）。不同網(wǎng)絡結構的相關免疫策略等（目標免疫，熟識者免疫，環(huán)狀免疫，圖劃分免疫等）。網(wǎng)絡上的個體在不同結點之間的遷移對疾病傳播的影響。網(wǎng)絡和疾病的共同演化。其他如，地理距離，接觸頻率，結點之間的相關性等二、個體行為與傳染病動力學關系的一些研究進展以前的主要從純粹的動力學角度研究傳染病，比如網(wǎng)絡結構對動力學的影響，時間延遲，非自治，脈沖,極限環(huán)，hopf分叉等。雖然很有用，但是單純的動力學的角度研究不能真實反映傳染病動力學的變化。因為當一種傳染病流行開來，必然引起個體、社會各方面的變化，如自我保護，恐懼，自暴自棄，政府干預，等等。這些行為又反過來影響傳染病動力學的變化，他們之間相互影響。研究方向從博弈論的角度研究個體的免疫策略問題個體從經(jīng)濟學和運籌學（代價函數(shù)，效用函數(shù)，貼現(xiàn)率，動態(tài)隨機規(guī)劃等）的角度考慮自我保護和被感染風險的代價決定自己的行為。疾病對個人、社會的經(jīng)濟影響，以及對預防的優(yōu)化控制問題等動力學與個體行為、政府決策的相互關系示意圖用來刻畫傳染病動力學與個體行為，政府決策等因素之間的相互影響1.Groupinterestversusself-interestinsmallpoxvaccinationpolicy,PNAS,100(2003)1564模型：由于接種水痘存在者死亡的危險，即使死亡率很小，人們還是很容易產(chǎn)生恐懼。所以在面臨預防時，存在著一個困境，預防面臨代價，不預防也有被感染的風險；另外由于(herdimmunity）群體免疫的作用，如果別人采取了免疫那么我被感染的風險減小，我可以不免疫，但是別人也有這樣的想法，所以這是一個預防困境問題。用博弈中的收益（payoff)來描述接種的收益和暫時不接種的收益：假設每個個體采取接種的概率為p,在群體中就有p比例的人選擇接種，此時對應個體而言，個體的平衡點為：對于整個集體的最優(yōu)為,代價C(p):最小。主要結果（個體最優(yōu)和全局最優(yōu)的差距）2.CanInfluenzaepidemicsbepreventedbyvoluntaryvaccination,PLoScomputationalbiology,3(5)(2007)e85模型：流感疫苗的有效期是有限的（比如一年，一個季度），但是流感又是不斷發(fā)生的，因此對于理性個體就要不斷做決定是否采取接種疫苗，那么他/她就會根據(jù)當前的爆發(fā)范圍、接種疫苗的范圍、以及以前的成敗史來判斷當前是否采取接種。假設1.有N個個體，自愿原則接種。2.每個個體可以根據(jù)以前的經(jīng)驗做參考，即采取歸納推理的方式做判斷。用0<=s<1反映個體對以前的依賴程度，s=0,表示完全忽略以前的經(jīng)驗.3.4,后一個季節(jié)的變量由前一個季節(jié)的變量決定。5，兩種不同的政府補貼引起的不同效果免疫比例p(black)和感染比例f(red)的時間演化圖3.Modelingtheeffectofinformationqualityonriskbehaviorchangeandthetransmissionofinfectiousdiseases，

MathematicalBiosciences,217(2009)125模型：以SIS模型為例研究個體在不同信息下做風險估計，進而對疾病傳染病的影響。采用隨機動態(tài)規(guī)劃得到的風險估計，一旦風險大就采取保護，否則不保護。抽樣范圍對爆發(fā)范圍和采取接種人數(shù)的影響自我保護代價對成功率（frequencyoferadication）的影響傳染率對成功率（frequencyoferadication）的影響4.Optimizingthecontrolofdiseaseinfestationsatthelandscapescale,PNAS104(2007),4984考慮最簡單的接觸方程（CP-SIS模型）沒有采取措施：對其中的一部分k/n采取措施，使得被感染的盡快恢復，即得到使得疾病被消滅的閾值：（不考慮經(jīng)濟代價）當考慮經(jīng)濟代價的時候，應該使得預防和被感染造成的危害之和最小。分兩種情況：主要結果對于shortperiod的最優(yōu)情況k_c=0，ork_c=n。對應longperiod最近一個穩(wěn)定的中間態(tài)：5，Imitationdynamicspredictvaccinatingbehaviour,Proc.R.Soc.B272,(2005),1669刻畫模仿機制（學習更成功者），對于易感染者，他們在做決定之前，首先隨機從人群中抽樣一部分人，比較他們到底是免疫的收益高還是不免疫的收益高，然后采取收益高的行為。模型：免疫的收益為：不免疫被可能被感染的收益為：相應的微分方程分兩種情況再和SIR模型結合就得到：結論:在不同的條件下出現(xiàn)不同的相Hopfbifurcationaround\epislon_{4}選擇接種的人數(shù)x和被感染的人數(shù)在不同的條件下隨著參數(shù)omega(L)和kappa（R）的變化情況。

6,Philipson“EconomicEpidemiologyandInfectiousDiseases,”(1999),NBERWorkingPaper,7037

傳染病陰影下的個人預防困境及其突破，浙江學報，4，（2008），163首先，把所有的人劃分成三類：第一類是易感人群(S_t)；第二類人是感染人群(I_t)，同時也用表示擴散的程度；第三類人是具有免疫類的人群(R_t).其次，定義“擴散門檻”，它是根據(jù)采取預防措施和不采取預防措施時的兩種效用的對比來確定的。假定存在一個效用數(shù)：。其中d={0,1}代表是否采取了預防措施，d=1:有預防需求；d=0:沒有需求。h代表健康的狀況：h=s，代表是S_t類人；h=i代表是I_t類人。那么對S類人而言，他們的（行為）判斷標準的函數(shù)可以表示為：α是貼現(xiàn)率，用以表示易感染類人他們選擇現(xiàn)在是否預防的一個貼現(xiàn)值。如果他們不采取預防措施，那么就面臨著將來成為傳染病人的危險。也就是說人們選擇何種行為（預防，不預防），取決于對這兩種狀態(tài)下效用的對比，我們可以得出一個更直觀的式子，那么可以得出結論說，當傳染病的擴散達到某個水平的時候人們才開始自發(fā)的采取預防措施。這個擴散水平就是我們上面提到的“擴散門檻”，用K來表示這個擴散的水平，那么通過解這個標準函數(shù)，我們可以得出K的一個基本表達式：從中可以看到：S_t類人自發(fā)采取保預防措施的當前成本（[u(s,1)-u(s,0)]）或貼現(xiàn)值α上升的時候，擴散門檻就上升；當被感染的成本（[u(s,1)-u(i,0)]）或β上升的時候，擴散門檻相應地會下降。在傳染病擴散的過程中，個體行為表現(xiàn)在擴散彈性上的特點使傳染病的擴散具有周期性，也就是說在個人理性下，私人預防市場是難以根除傳染病的。因為擴散彈性是一個主觀的值，所以對不同的易感者而言其擴散的門檻水平K常常是不同的，從社會角度來看，人們反應于擴散水平的預防行為并未達到社會的最優(yōu)。7，Whatisthebestcontrolstrategyformultipleinfectiousdiseaseoutbreaks,Proc.R.Soc.B274,(2007),833對于多波的疾病傳播問題：什么樣的控制策略最優(yōu)。以SIR模型為例，當沒有控制時，有以下情況：雖然下一波不會被感染，但是感染的人太多，所以不好。太強的控制，對于下一步不利，因為還有很多感染者可能被下次感染；太弱也不好，因為被感染的人數(shù)太多，最好的是恰好控制到“不會引起爆發(fā)的門限”。三、本人最近工作和一些想法

1.Hubnodesinhibittheoutbreakofepidemicundervoluntaryvaccination，NewJ.Phys.12(2010)023015.假設網(wǎng)絡中的個體是否采取接種是自愿的。又假設每個個體知道他的哪些鄰居被感染了。定義接種的代價函數(shù)和被感染的代價。令每個個體被感染的概率則有其中C_1表示感染代價，C_2表示接種代價主要結果相同規(guī)模和相同平均度的BA網(wǎng)絡和ER網(wǎng)絡在沒有接種（L）和在有自愿免疫機制下的感染人數(shù)（C）以及采取接種人數(shù)（R)不同度的結點參加接種的傾向性（意愿）2,Epidemicdynamicsoncomplexnetworksundervoluntaryvaccination:completeversusincompleteinformation假設個體本著自愿原則接種，那么個體就會從自身利益出發(fā)，最大化個體利益。在做決定之前，他要權衡接種的風險（花費和死亡率）以及不接種被感染引起的代價（痛苦，死亡率）。分兩種情況，一種是個體完全知道鄰居的狀態(tài)；另外一種是個體僅僅知道總的感染比例。討論兩種極端情況引起的不同反應。模型A:B:兩種情況比較3,Riskestimationdrivesthedynamicalevolutionofcontactpatterns(initialidea)模型：假設疾病不是很致命，比如流感，那么人們在面臨這類疾病時就會權衡到底是不是需要斷了和外界的聯(lián)系，因為我們假設最初網(wǎng)絡中每個結點和鄰居的連接都是有必要的。因此都不愿意主動斷了這些邊。假設如下：網(wǎng)絡中的每個結點每過一段時間T得到總的感染比例，那么他們就根據(jù)當前的感染情況和自己的利益采取行動：斷邊或者重新恢復以前斷了的聯(lián)系。令每個結點的初始財富W_i（重要性）與他的度成正比，其中每條邊的利益（重要性）為則初始財富不隨時間演化。每個結點對當前的風險估計為

令表示當前應該保留的邊數(shù)，如果他小于當前的度，則斷邊，否則恢復邊（立即恢復或者過一段時間后再恢復）主要結論用斷邊重連機制和沒有對傳播范圍的影響當感染人數(shù)增加到一定范圍就意味著斷邊的發(fā)生斷邊的時間尺度對感染人數(shù)(L)和網(wǎng)絡平均距離的影響(R)推遲重連（恢復以前斷的邊）時間T1對疾病傳播(L)和網(wǎng)絡結構(R)的影響每條邊的代價對疾病傳播(L)和網(wǎng)絡結構(R)的影響傳染率對爆發(fā)范圍(L)和網(wǎng)絡結構(R)的影響4,….考慮以下一個問題：如果現(xiàn)在有可以預防性病或者艾滋病的疫苗，那么當疫苗不是完全有效的情況下，這類疾病能不能有效的控制？因為現(xiàn)實中存在以下情況，以艾滋病為例，當沒有疫苗時，人們擔心被感染，他們會減少性伙伴或者采取有安全措施的性行為（安全套），但是當出現(xiàn)疫苗時，他們往往高估疫苗的作用，所以他們會尋求更多的性伙伴或者采取更加刺激的性行為。因此可能導致更多的人被感染？5,個人經(jīng)濟能力對預防疾病的影響由于每個人的經(jīng)濟條件的不同，采取預防的能力或者能動性就不相同。比如如果預防一種疾病需要1000元，對于收入很低的人，他的收入僅僅可以維持基本生活水平，額外的1000元對于他們的影響與收入高的人這1000元的影響完全不同。那么各個人對于預防疾病的態(tài)度完全不同，因此在研究預防控制時需要考慮這種因素的影響。以及應該采取怎樣的政府補貼等措施抑制疾病的傳播。相關文獻E.Klein,R.Laxminarayan,D.L.Smith,andC.A.Gilligan,Economicincentivesandmathematicalmodelsofdisease,EnvironmentandDevelopmentEconomics12(2007)707.C.T.Bauch,A.P.Galvani,andD.J.D.Earn,Groupinterestversusself-interestinsmallpoxvaccinationpolicy,Proc.NatlAcad.Sci.USA100(2003)1564C.T.Bauch,andD.J.D.Earn,Vaccinationandthetheoryofgames,101(2004)13391.C.T.Bauch,Imitationdynamicspredictvaccinatingbehaviour,Proc.R.Soc.B272(2005)1669.P.Poletti,B.Caprile,M.Ajelli,A.Pugliese,andS.Merler,Spontaneous

behaviouralchangesinresponsetoepidemics,J.Theor.Biol.260(2009)31.林國基，賈珣，歐陽碩,用小世界網(wǎng)絡模型研究SARS病毒的傳播，北京大學學報(醫(yī)學版)，35（zl）(2003)66.http:///wiki/Economic_epidemiologyR.Vardavas,R.Breban,andS.Blower,CanInfluenceEpidemicsBePreventedbyVoluntaryVaccination?PloS.Couput.Biol3(5)(2007)e85.H.F.Zhang,J.Zhang,C.S.Zhou,,M.Small,andB.H.Wang,Hubnodesinhibittheoutbreakofepidemicundervoluntaryvaccination,NewJ.Phys.12(2010)023015.FrederickH.Chen,Modelingtheeffectofinformationqualityonriskbehaviorchangeandthetransmissionofinfectiousdiseases,Math.Bios.217(2009)125.A.d’Onofrio,P.Manfredi,andE.Salinelli,Vaccinatingbehavior,information,andthedynamicsofSIRvaccinepreventabledisease,Theor.Popul.Biol.71(2007)301.相關文獻B.Buonomo.A.d’Onofrio,andD.Lacitignola,GlobalstabilityofanSITepidemicmodelwithinformationdependentvaccination,Math.Bios.216(2008)9.S.Funk,E.Gilad,C.Watkins,andV.A.A.Jansen,Thespreadofawarenessanditsimpactonepidemicoutbreaks,Proc.NatlAcad.Sci.USA106(2009)6872.X.P.Han,Diseasespreadingwit