廣東省揭陽市普寧里湖中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

廣東省揭陽市普寧里湖中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．B14

【答案解析】A

解析：①當(dāng)a=2時(shí)，不等式恒成立．故a=2成立②當(dāng)a≠2時(shí)，要求,解得：a∈（﹣2，2）綜合①②可知：a∈（﹣2，2],故選A．【思路點(diǎn)撥】二次不等式在x∈R恒成立求參數(shù)的問題，應(yīng)首先考慮a﹣2是否為零．2.已知tanα＝4，則的值為()A．

B.

C．4

D.參考答案：B略3.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是

A．8

B．

C．10

D．參考答案：C4.已知函數(shù)，則的圖像大致為

參考答案：B略5.已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②對所有，，且，有．若對所有，，，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）個(gè)A.8

B.7

C.

6

D.5參考答案：C作函數(shù)圖像，有四個(gè)交點(diǎn)，分別為，根據(jù)函數(shù)圖像知，方程對應(yīng)解個(gè)數(shù)為0，1，3，2，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，選C.7.已知函數(shù)，若，則＝A．－1 B．

C．－1或

D．1或－參考答案：C略8.在△ABC中，sinA=，?=6，則△ABC的面積為（）A．3 B． C．6 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】解三角形；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算和同角的平方關(guān)系可得||?|=10，而△ABC的面積S=||?|?sinA，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得．【解答】解：由題意可得?=||?|?cosA=6，又sinA=，故可得cosA=，故||?|=10，故△ABC的面積S=||?|?sinA=×10×=4．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角形的面積公式，屬中檔題．9.設(shè)集合，，則（

）A、

B、

C、

D、

參考答案：D.，故選D.10.(

)A． B． C． D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.(0.1)

B.(1，+∞)

C.(-1，0)

D.(-∞，-1)參考答案：B略12.在△ABC中，已知,則的值是

.參考答案：略13.已知函數(shù).（1）若a=0，x∈[0，4]，則f（x）的值域是

；（2）若f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，1]；（﹣∞，0）【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)的值．【分析】（1）求出f（x）在[﹣4，4]上的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值即可得出值域；（2）對x討論，分別求出f（x）的零點(diǎn)，令其零點(diǎn)分別在對應(yīng)的定義域上即可．【解答】解：（1）a=0時(shí)，f（x）=，∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，4]上單調(diào)遞增，∵f（0）=0，f（1）=﹣1，f（4）=1，∴f（x）在[0，1]上的值域是[﹣1，0]，在（1，4]上的值域是（0，1]，∴f（x）在[0，4]上的值域是[﹣1，1]．（2）當(dāng)x≤1時(shí)，令f（x）=0得x=2a或x=a，當(dāng)x＞1時(shí)，令f（x）=0得=1﹣a，∴x=（1﹣a）2（1﹣a＞1），∵f（x）恰好有三個(gè)解，∴，解得a＜0．故答案為：[﹣1，1]；（﹣∞，0）．14.如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，若截面是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為

。參考答案：答案：15.若直線與直線交于點(diǎn)，則長度的最大值為

．參考答案：16.已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若關(guān)于的不等式的解集為，函數(shù)在上的值域?yàn)?，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】充分、必要條件A2解析：因?yàn)闀r(shí)，奇函數(shù)，所以函數(shù)在R上為增函數(shù)，，，即，，，,因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，即，故答案為.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，然后根據(jù)題意分別求出集合即可.17.下列說法，其中正確命題的序號(hào)為______________.①若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)c=2或6；②對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有③若函數(shù)在上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,4);④已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式的解集是(-1,0).參考答案：③④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；并證明恒成立；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對于任意的恒成立，求的取值范圍；（III）求證：.參考答案：（I）當(dāng)a=0,b=0時(shí)，f(x)=ex∴曲線y=f(x)在點(diǎn)（0，f(0)）處的切線方程為y-1=1(x-0),即：y=h(x)=x+1證明：令

（）單調(diào)遞增，又即恒成立（II）方法一：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于

（）令當(dāng)時(shí)，由（1）知單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，單增又,∴存在，使，即∴在單減，在上單增又,時(shí)，不合題意,故方法二：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令,則令則所以單調(diào)遞減又,在單調(diào)遞減由洛必達(dá)法則可得（III）要證：證法一：由（II）令可知：令則,又由（I）可知：,令,,,即,故證之證法二：令單調(diào)遞增又,單調(diào)遞增又令,,,故證之證法三：(1)當(dāng)時(shí)，左邊，右邊,不等式成立（2）假設(shè)且時(shí)，不等式成立，即則當(dāng)時(shí)左邊=由（II）知

令則故當(dāng)時(shí)，不等式也成立∴由（1）（2）可知原不等式恒成立略19.2014年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；（2）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；散點(diǎn)圖．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，由此能求出眾數(shù)的估計(jì)值；設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，由頻率分布直方圖能求出中位數(shù)的估計(jì)值和平均數(shù)的估計(jì)值．（2）從頻率分布直方圖求出車速在[60，65）的車輛數(shù)、車速在[65，70）的車輛數(shù)，設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，利用列舉法能求出車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率．【解答】解：（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于77.5，設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，則中位數(shù)的估計(jì)值為：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位數(shù)的估計(jì)值為77.5，平均數(shù)的估計(jì)值為：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．（2）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)為：m1=0.01×5×40=2（輛），車速在[65，70）的車輛數(shù)為：m2=0.02×5×40=4（輛）設(shè)車速在[60，65）的車輛設(shè)為a，b，車速在[65，70）的車輛設(shè)為c，d，e，f，則所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15種其中車速在[65，70）的車輛恰有一輛的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8種∴車速在[65，70）的車輛恰有一輛的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．20.（1）已知a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正數(shù)，求證：≥abc．參考答案：考點(diǎn)：不等式的證明．專題：證明題；不等式．分析：（1）由條件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通過變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論；（2）利用基本不等式，再相加，即可證明結(jié)論．解答： 證明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab．而a，b均為正數(shù)，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）∴a3+b3＞a2b+ab2成立；（2）∵a，b，c都是正數(shù)，∴a2b2+b2c2≥2acb2，a2b2+c2a2≥2bca2，c2a2+b2c2≥2abc2，三式相加可得2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c），∴a2b2+b2c2+c2a2）≥abc（a+b+c），∴≥abc．點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查綜合法，屬于中檔題．21.命題p:“”，命題q:“”，若“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：略22.已知函數(shù)(）．