常微分方程.解的存在唯一性定理

§2.2解的存在唯一性定理和

逐步逼近法

/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/

概念和定義存在唯一性定理內(nèi)容提要/ConstantAbstract/§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod本節(jié)要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的本思想深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod一、概念與定義/ConceptandDefinition/1.一階方程的初值問題(Cauchyproblem)表示§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2.利普希茲條件

函數(shù)稱為在矩形域:…………(3.1.5)關(guān)于y

滿足利普希茲(Lipschitz)條件，如果存在常數(shù)L>0使得不等式對所有都成立。L

稱為利普希茲常數(shù)?！?.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod二、存在唯一性定理

定理1如果f(x,y)

在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件,則方程(3.1.1)存在唯一的連續(xù)解定義在區(qū)間,且滿足初始條件這里§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的證明需要證明五個命題：

命題1求解微分方程的初值問題等價于求解一個積分方程

命題2構(gòu)造一個連續(xù)的逐步逼近序列

命題3證明此逐步逼近序列一致收斂

命題4證明此收斂的極限函數(shù)為所求初值問題的解

命題5證明唯一性§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的證明命題1

設(shè)是初值問題的解的充要條件是是積分方程……(3.1.6)的定義于上的連續(xù)解。證明:微分方程的初值問題的解滿足積分方程（）。積分方程（）的連續(xù)解是微分方程的初值問題的解?！?.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod證明因為是方程(3.1.1)的解，故有:兩邊從積分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是積分方程在上的連續(xù)解.§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod反之蹤蝶，如石果是(3撈.1強.6褲)的連爬續(xù)解浴，則姨有：……謎…(3躺.1萄.8吐)微分鑼之，黃得到:又把代入(3而.1叼.8膠)，得皂到:因此販，是方劈燕程(3賣.1每.1憤)定義冰于上，膀且滿抖足初久始條戒件(3詢.1下.2神)的解墳。命題1證畢.同理暢，可瞎證在也成墾立?！?.利2勺Exi拳st據(jù)en毒ce撲&蛾U洞ni員qu鞏en敞es倆s庸Th房誠eo懇re犁m蒜&斯Pr視og揚re潤ss柿iv盆e犬Me血th帝od現(xiàn)在聚取，構(gòu)隱造皮眾卡逐霜步逼嘉近函喜數(shù)序舅列如顧下:§2.結(jié)2Exi賀st賞en邁ce倍&響U斗ni錢qu涌en綢es牢s棒Th應(yīng)eo品re俯m爆&屆Pr寸og出re性ss碗iv盞e嘴Me苗th挑odxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§2.軌2藏Exi涉st尋en展ce降&墊U鄭ni磚qu褲en疾es洗s美Th余eo宗re坑m吊&哨Pr傳og韻re曾ss裁iv發(fā)e世Me踏th恒od命題2對于秧所有丘的(3陶.1沿.9效)中函心數(shù)在上有吸定義蹄、連繞續(xù)，貨即滿傍足不惱等式:證拘明:（只宣在正噸半?yún)^(qū)糊間來沫證明你，另捆半?yún)^(qū)償間的梅證明喜類似島）當(dāng)n=1時,§2.垃2厭Exi仰st容en科ce糧&腳U時ni雕qu照en址es縱s著Th耕eo群re惹m禿&家Pr凍og朵re貼ss拴iv廢e乎Me籍th鹽od即命嗽題2當(dāng)n=1時成畫立?，F(xiàn)在漏用數(shù)膽學(xué)歸景納法紗證明列對于染任何屢正整暖數(shù)n，命幕題2都成盆立。即登當(dāng)n=尾k時，在也就目是滿針足不社等式在上有飛定義,連續(xù)上有跟定義黑，連寒續(xù)，而當(dāng)n=主k+1時，上有錘定義肚，連槐續(xù)。在§2.叨2敢Exi螞st戀en價ce奧&架U從ni撓qu港en傭es多s扁Th趕eo與re收m塞&振Pr競og脫re波ss熄iv炭e紹Me薦th劫od即命豎題２赴在n=棄k＋１歲時也成瘦立。由數(shù)女學(xué)歸斥納法假得知辨命題愁２對塘于所有n均成斃立。命題攏３在上是耳一致絕收斂酷的。命題績２證利畢函數(shù)熊序列考慮湯級數(shù):它的該部分繳和為棕：§2.傘2云Exi子st牧en科ce砌&圍U講ni揭qu患en超es障s灶Th棟eo憐re貸m價&已Pr鼠og俘re努ss奏iv像e亮Me饅th慣od為此粒，進毛行如熊下的敞估計宮，由坡逐步嬌逼近絮序列(3敲.1特.9扁)有:§2.祥2Exi蜘st辟en取ce鍬&神U須ni魄qu包en海es丈s紐奉Th孔eo剪re釘m丸&訓(xùn)Pr勺og棍re熔ss預(yù)iv印e祥Me灘th淺od設(shè)對蠟于正舞整數(shù)n,不等吉式成立袋，于是只，由剖數(shù)學(xué)懶歸納協(xié)法得枯到：繼對于針?biāo)姓`的正染整數(shù)k，有湖如下始的估放計:§2.稱2擾Exi鏟st必en藝ce斑&累U捏ni館qu拍en憶es押s攪Th末eo肯re兩m腹&柏Pr杠og觸re雅ss清iv心e距Me萍th猜od由此初可知景，當(dāng)時(3掉.1嘴.1金4)的右哥端是雙正項歸收斂鎮(zhèn)級數(shù)的一狹般項敏，由維溫爾斯秩特拉鬼斯(W汽ei哲er砍st曠ra丟ss足)判別砌法(簡稱吧維氏來判別雕法),級數(shù)(3叢.1紀(jì).1羊1)在上一咱致收容斂,因而故序列也在上一兇致收營斂。命題3證畢§2.鏟2鴉Exi柏st局en索ce現(xiàn)&通U既ni芝qu鬧en磁es倡s逮Th績eo驕re觀m沖&匹Pr趣og桑re降ss點iv粉e班Me獅th跟od則也在又可槳知現(xiàn)設(shè)上連方續(xù)，慚且由(3壤.1可.1深0)命題4是積揮分方時程(3惡.1擾.6忘)的定劃義于證彼明:由利直普希件茲條圍件以及在上一追致收超斂于上的咽連續(xù)軟解?！?.成2但Exi伙st隱en汗ce序&解U抵ni錢qu遼en腐es娃s霧Th便eo劃re尼m世&答Pr婆og煎re可ss擺iv瞇e園Me宜th脹od因而景，對(3但.1煩.9裁)兩邊廢取極驚限,得到:即即知神序列在一致紅收斂這就補是說,是積質(zhì)分方序程(3障.1剛.1宇6)的定芹義于上的瀉連續(xù)繪解。命題4證畢§2.膊2嚼Exi鼓st滑en亞ce占&夠U齡ni寬qu資en誘es瓜s背Th集eo博re從m機&橡Pr圓og泉re術(shù)ss粱iv權(quán)e站Me乳th隔od命題5也是票積分儲方程(3先.1弓.6查)的定作義于上的靠一個玻連續(xù)擺解,則證明若首先漂證明也是顫序列的一疲致收池斂極邪限函很數(shù)。為此客，從進行庸如下脖的估脾計§2.匪2唐Exi千st秩en格ce叢&冬U逝ni殊qu賓en寨es滔s挺Th晚eo培re凈m予&化Pr寨og匹re蔑ss戚iv廣e借Me仁th屠od現(xiàn)設(shè)則有§2.土2Exi出st滾en偷ce市&儀U備ni暢qu使en昨es辣s扎Th風(fēng)eo在re絹m美&題Pr椅og軌re獄ss行iv鉤e聰Me卸th妻od有故由送數(shù)學(xué)故歸納龜法得術(shù)知對服于所俗有的穴正整遠(yuǎn)數(shù)n，有聰下面撕的估譜計式§2.泡2之Exi盡st童en莊ce咬&穴U裙ni非qu突en膛es鮮s子Th國eo擇re護m爭&臉Pr投og伙re辰ss舍iv出e蟲Me泉th處od因此目，在上有:是收早斂級氏數(shù)的頌公項,故時因而在上一轉(zhuǎn)致收穴斂于根據(jù)透極限墾的唯卻一性把，即得:命題5證畢綜合輩命題1-乒5，即靈得到丘存在焰唯一忙性定抽理的話證明邀?！?.喘2棄Exi摘st蹲en參ce毒&乞U弟ni缺qu際en荒es壟s駱Th甩eo戶re紙m很&咐Pr擾og付re彎ss總iv情e漸Me惑th討od例求初槽值問棒題孕的第樣三次鄰近似篩解?！?.宵2者Exi德st搬en宅ce胞&參U怎ni矮qu篩en誤es學(xué)s鉗Th潛eo折re殖m綠&溉Pr易og陶re唯ss飛iv羽e專Me失th暗od附玩注/R撫em冶ar迷k/1）如競果在R上存在綢且連百續(xù),則f(x,毫y)在R上關(guān)跳于y滿足鼓利普孝希茲擠條件跡，反翼之不舅成立定。證在R上連批續(xù)，戒則在R上有平界，煌記為L由中鍬值定璃理故f(凳x,你y)在R上關(guān)帆于y滿足棗利普喬希茲載條件沙?！?.戀2僚Exi宇st蝴en岸ce務(wù)&燃U態(tài)ni稠qu私en導(dǎo)es北s端Th叫eo舅re把m予&凍Pr飼og衫re距ss模iv衫e敏Me皇th買od這條延件是腦充分歪條件常，而查非必腸要條漏件。例1R為中貪心在鳳原點半的矩壘形域但故f(x,絡(luò)y)在R上關(guān)魚于y滿足孩利普弱希茲乓條件童。在R上存在抹且有判界f(抹x,約y)在R上關(guān)閉于y滿足賴?yán)詹嫦Ｆ澅粭l件渾。在R上存在振且無拖界f(寇x,恭y)在R上關(guān)向于y不滿貧足利甩普希閘茲條股件?！?.告2鵝Exi譯st敞en答ce蟻&淺U波ni揚qu嗚en禽es倚s偏Th狂eo影re燈m菊&抗Pr扎og萬re犧ss哈iv曉e確Me唐th滅od2)定理1中的僚兩個窄條件肚是保職證Ca眉uc全hy鞋P存在唯一惱的充莫分條牲件，顯而非催必要鄉(xiāng)豐條件鵲。例2當(dāng)連虹續(xù)條溝件不柴滿足悶時，去解也壤可能核存在約唯一風(fēng)。f(遵x,駛y)在以貪原點姓為中封心的結(jié)矩形踢域中洗不連綠續(xù)，振但解彼存在置唯一§2.芳2駐Exi陡st譜en欠ce廉&時U笛ni缺qu晚en窮es枕s彈Th乏eo堪re涂m桌&華Pr堅og戒re燙ss渣iv仿e籃Me克th協(xié)od例3當(dāng)Li釣ps洪ci拐tz條件伙不滿曉足時燒，解米也可細(xì)能存必在唯邀一。f(運x,米y)在(x,0)的任穿何鄰范域內(nèi)惑不滿打足Li魚ps鳥ci纏tz條件鼓，但訓(xùn)解存臣在唯桶一不可芹能有乖界§2.隔2社Exi棕st坑en薦ce甩&北U驅(qū)ni激qu蹤蝶en糾es揪s僚Th堪eo奸re蘿m慌&謊Pr腿og扒re晝ss騰iv聽e襖Me尸th錢odxy§2.題2也Exi珠st賴en遙ce扮&趨U恩ni弊qu描en浸es破s饞Th撤eo濟re斜m拔&糾Pr恒og饞re波ss紹iv賭e莖Me知th植od

例4

設(shè)方程(3.1)為線性方程則當(dāng)P(x),Q(x)

在區(qū)間上連續(xù)，則由任一初值所確定的解在整個區(qū)間上都存在。3）若f(x,旗y)在帶頃域惑中旗連續(xù)曠，且對y滿足Li彼ps妥ch聯(lián)it趟z條件飽，則臥在整定個區(qū)君間中存寇在唯壯一滿反足條徐件判的薪方程的解暢。記§2.竿2司Exi文st奴en納ce抓&留U飽ni月qu滔en浩es廢s談Th吃eo是re歷m士&慨Pr慢og仗re渾ss真iv拉e支Me菊th返od4)一階煤隱式傳方程激的解伍的存侄在唯戚一性定理2如果在點的某一鄰域中，對所有的變元連續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；則上述初值問題的解在的某一鄰域存在?！?.笨2劉Exi來st皮en值ce庭&拌U體ni芽qu根en作es鮮s谷Th圾eo摩re夜m御&院Pr黃og威re極ss優(yōu)iv齡e速Me肅th主od事實跡上，征由條賣件知敵所確差定的唉隱函絮數(shù)在豆鄰想域內(nèi)央存在權(quán)且連惰續(xù)，扛且在渾鄰葵域內(nèi)閑連續(xù)冰，在描以為中念心的國某一弊閉矩但形區(qū)語域D中有悄界，跳所以f(裳x,龍y)在D中關(guān)美于y滿足Li丑ps兄ch壘it末z條件印。由解只的存桑在唯街一性偉定理密，的解y(尼x)存在刷唯一場，存在治區(qū)間勒中的h可足植夠小衛(wèi)。同館時，俊有§2.張2咐Exi踩st傭en泥ce殿&卻U搜ni揚qu睬en歲es咐s欠Th夜eo俊re梅m薯&焦Pr攔og姨r