傅里葉級(jí)數(shù)習(xí)題課

習(xí)題課級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅式級(jí)數(shù)展開法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法求和展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開.為傅立葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:若且則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,概念:且余項(xiàng)若收斂,稱絕對(duì)收斂若發(fā)散,稱條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

若級(jí)數(shù)均收斂,且證明級(jí)數(shù)收斂.證:

則由題設(shè)收斂收斂收斂練習(xí)題:

P3221;2;3;4;5機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解答提示:P323

題2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,原級(jí)數(shù)發(fā)散.因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用比值判別法,可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級(jí)數(shù)因n充分大時(shí)∴原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值判別法可知:時(shí)收斂;時(shí),與p

級(jí)數(shù)比較可知時(shí)收斂;時(shí)發(fā)散.再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂.時(shí)發(fā)散.發(fā)散,收斂,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P323題3.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和也收斂.提示:

因存在N>0,又因利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂,證明級(jí)數(shù)當(dāng)n>N時(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P323題4.設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且是否也收斂？說明理由.但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂.問級(jí)數(shù)提示:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知級(jí)數(shù)收斂,收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.例如,取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P3璃23題5.討論冬下列前級(jí)數(shù)興的絕來對(duì)收邁斂性屋與條方件收方斂性:提示:(1津)P>1時(shí),絕對(duì)愁收斂;0像<p≤1時(shí),條件味收斂;p≤0時(shí),發(fā)散.(2命)因各懂項(xiàng)取襪絕對(duì)淡值后稈所得彩強(qiáng)級(jí)套數(shù)原級(jí)唯數(shù)絕俘對(duì)收心斂.故機(jī)動(dòng)揭目含錄布上頁(yè)鬼下旋頁(yè)漂返回腸結(jié)絡(luò)束因單調(diào)敗遞減茫,遲且但所以路原級(jí)掃數(shù)僅條件服收斂.由Le倚ib床ni愈z判別翼法知吼級(jí)數(shù)收斂;機(jī)動(dòng)揭目指錄獎(jiǎng)上頁(yè)罪下駛頁(yè)您返回雨結(jié)泥束因所以奇原級(jí)藍(lán)數(shù)絕果對(duì)收公斂興.機(jī)動(dòng)冷目塊錄威上頁(yè)肌下竟頁(yè)南返回疑結(jié)廣束二、扛求冪鄰級(jí)數(shù)惱收斂襲域的急方法?標(biāo)準(zhǔn)心形式雨冪級(jí)德數(shù):先求影收斂擱半徑R,再討判論?非標(biāo)燙準(zhǔn)形舅式冪國(guó)級(jí)數(shù)通過旁換元舊轉(zhuǎn)化呼為標(biāo)撓準(zhǔn)形釘式直接秘用比屢值法屠或根懇值法處的投斂散蔑性.P3威23題7.求下在列級(jí)居數(shù)的方斂散袖域:練習(xí):機(jī)動(dòng)壘目字錄擔(dān)上頁(yè)獄下凡頁(yè)永返回未結(jié)慶束解:當(dāng)因此訂級(jí)數(shù)絨在端暈點(diǎn)發(fā)降散,時(shí),時(shí)原糟級(jí)數(shù)悟收斂.故收黑斂域蠻為機(jī)動(dòng)乎目滅錄蠻上頁(yè)靠下頁(yè)頁(yè)侵返回滋結(jié)陡束解:因故收茶斂域淚為級(jí)數(shù)剛收斂;一般卷項(xiàng)不趨回于0,級(jí)數(shù)劣發(fā)散;機(jī)動(dòng)浩目堂錄涌上頁(yè)稻下流頁(yè)首返回請(qǐng)結(jié)咱束例2.解:分別扁考慮逆偶次淹冪與防奇次蔬冪組忙成的獎(jiǎng)級(jí)數(shù)極限智不存緩在∵處原級(jí)筒數(shù)姑=∴概其收猜斂半邁徑注意削:機(jī)動(dòng)禍目項(xiàng)錄塑上頁(yè)說下背頁(yè)啄返回沖結(jié)貍束?求部摸分和測(cè)式極老限三、沒冪級(jí)抖數(shù)和殺函數(shù)陰的求笑法求和?映射拔變換佛法逐項(xiàng)步求導(dǎo)職或求趣積分對(duì)和纖式積欲分或務(wù)求導(dǎo)難直接繳求和餡:羊直接對(duì)變換書,間接副求和箭:竭轉(zhuǎn)化押成冪槳級(jí)數(shù)諸求和片,辜再代特值求部愉分和蕉等?初等騾變換暴法:漆分銹解、奇套用呈公式（在號(hào)收斂致區(qū)間榆內(nèi)）?數(shù)項(xiàng)難級(jí)數(shù)求和機(jī)動(dòng)能目所錄遍上頁(yè)茶下么頁(yè)述返回粒結(jié)按束例3.求冪埋級(jí)數(shù)法1易求呈出級(jí)呀數(shù)的扮收斂貸域?yàn)闄C(jī)動(dòng)定目訂錄臉上頁(yè)椒下羽頁(yè)毅返回餐結(jié)練束法2先求況出收里斂區(qū)功間則設(shè)和函數(shù)編為機(jī)動(dòng)誼目麻錄辛上頁(yè)譜下引頁(yè)叫返回敏結(jié)士束練習(xí):解:(1魄)顯然x=夢(mèng)0時(shí)上搜式也唉正確,故和駕函數(shù)昏為而在x≠0P3降23題8.求下?lián)]列冪角級(jí)數(shù)筒的和暖函數(shù)射：級(jí)數(shù)副發(fā)散,機(jī)動(dòng)站目球錄嶄上頁(yè)丑下區(qū)頁(yè)嘗返回帥結(jié)坐束(4蟲)機(jī)動(dòng)堡目弄錄皺上頁(yè)嚴(yán)下挨頁(yè)近返回往結(jié)藏束顯然x=醒0時(shí),炕和伏為勾0天;根據(jù)平和函齡數(shù)的沉連續(xù)蒼性邪,竊有x=1時(shí),級(jí)數(shù)娛也收接斂鉛.即得機(jī)動(dòng)肆目沾錄華上頁(yè)屆下駝頁(yè)輝返回躍結(jié)起束練習(xí):解:原式=的和.P3診23題9(腦2).求級(jí)詞數(shù)機(jī)動(dòng)忍目泛錄外上頁(yè)象下眾頁(yè)餐返回樓結(jié)渴束四、戒函數(shù)劫的冪桐級(jí)數(shù)臨和付飯式級(jí)違數(shù)展碑開法?直接錘展開霞法?間接移展開述法練習(xí)相:1.將函紹數(shù)展開目成x的冪反級(jí)數(shù)寬.—室利用滑已知滲展式宗的函昂數(shù)及選冪級(jí)竿數(shù)性銅質(zhì)—溪利用賓泰勒仍公式解:機(jī)動(dòng)陵目生錄孟上頁(yè)踏下緊頁(yè)騾返回腦結(jié)衫束1.厚函骨數(shù)的旅冪級(jí)忽數(shù)展殘開法2.設(shè),太將f(x)展開路成x的冪蜘級(jí)數(shù)剩,的和嬸.(楊01膜考研險(xiǎn))解:于是并求給級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)里目腰錄羽上頁(yè)壞下炕頁(yè)種返回足結(jié)催束機(jī)動(dòng)幟目鋤錄拌上頁(yè)察下餃頁(yè)雅返回綠結(jié)駝束2.函數(shù)部的付僅式級(jí)拜數(shù)展情開法系數(shù)塘公式浩及計(jì)稠算技絲式巧;收斂徹定理;延拓蓋方法練習(xí):上的奶表達(dá)鳥式為將其淋展為涌傅氏悠級(jí)數(shù).