圓外切四邊形的性質和應用

/圓外切四邊形的性質及應用雙心四邊形.外心為O.外接圓半徑為R.內心為P.內切圓半徑為r.OI=h．證明EQ\F<1,R+h2>+EQ\F<1,R－h(huán)2>=EQ\F<1,r2>．證：如圖.分別過K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂線交于A、B、C、D．∵∠LCM=180－∠LPM=∠PLM+∠PML=EQ\F<1,2><∠MLK+∠LMN>,∠KAN=EQ\F<1,2><∠LKN+∠KNM>．∴A、B、C、D四點共圓．我們設其半徑為.易證B、P、D；A、P、C分別三點共線．∴r=PLsin=PBsinsin=PB·EQ\F<PC,BC>EQ\F<AP,AB>,PC·AP=2－d2<d為ABCD的外心記為與P的距離>．又易證AC⊥BD.∴EQ\F<PB,BC·AB>=EQ\F<1,2>r=EQ\F<2－d2,2>…①延長NP交BC于T.易證T為BC中點<卜拉美古塔定理>．∴T∥PS,S∥PT．□TPS中.4OT2=PS2+OS2－d2=22－d2．又ON=EQ\F<1,2>EQ\R<22－d2>O為KLMN的外心即為O且R=EQ\F<1,2>EQ\R<22－d2>…②.h=EQ\F<1,2>d…③由①②③得EQ\F<1,r2>=EQ\F<42,2－d22>=EQ\F<2R2+h2,R2－h(huán)22>=EQ\F<1,R+h2>+EQ\F<1,R－h(huán)2>．證明圓外切四邊形ABCD的對角線AC、BD的中點E、F與圓心O共線．證：沿用上題的記號.對點X、Y、Z.用dX,YZ表示X到YZ的距離．設⊙O半徑為r.∠BAD=2,∠ABC=2,∠BCD=2,∠CDA=2.則,,,均為銳角且+++=．∴sin,sin,sin,sin>0．連結EF若E與F重合.則結論顯然成立.以下設E與F不重合．在線段EF上取點O使EQ\F<EO,OF>=EQ\F<sinsin,sinsin>．連OA、OD、OGF為⊙O與AD相切處.則OG⊥AD,AG=OGcot=rcot,GD=OGcot=rcot．故AD=rcot+cot．∴dA,CD=rcot+cotsin2．∴dE,CD=EQ\F<1,2>sin2cot+cotr=sincoscot+cotr=sincoscot+cos2r=sincoscot－sin2r+r=sin·EQ\F<coscos－sinsin,sin>r+r=EQ\F<sincos+,sin>+1r．同理dF,CD=EQ\F<sincos+,sin>+1r．由EQ\F<EO,OF>=EQ\F<sinsin,sinsin>知dO,CD=EQ\F<sinsinEQ\F<sincos+,sin>+1r+sinsinEQ\F<sincos+,sin>+1r,sinsin+sinsin>=EQ\F<sinsincos++cos+,sinsin+sinsin>r+r=r因為+++=.所以cos++cos+=0．同理dO,AB=dO,BC=dO,DA=r．∴O與O重合.故知結論成立.證畢．已知△ABC.在BC、CA、AB上分別取點D、E、F使四邊形AEDF、BDEF、CDEF均為圓外切四邊形．求證AD、BE、CF三線共點．證：作△DEF內切圓⊙.切EF、FD、DE于P、Q、R．又設△ABC內切圓為⊙I.△AEF內切圓為⊙1．記⊙1、⊙、⊙I半徑分別為R1,R,r．由AEDF為圓外切四邊形知AF+DE=AE+DF．∴FP－PE=FD－DE=FA－AE．∴⊙1切EF于P.∴⊙1與⊙外切.∴1、P、三點共線．另一方面.易知A、1、I三點共線．延長AP交I于T.則對△I1與截線AP用梅氏定理知EQ\F<0T,TI>EQ\F<IA,A1>EQ\F<1P,P>=1．注意到EQ\F<A1,AI>=EQ\F<R1,r>.上式EQ\F<0T,TI>EQ\F<r,R1>EQ\F<R1,R>=1.即EQ\F<0T,TI>=EQ\F<R,r>．∴T為線段I上一個定點.∴AP、BQ、CR三線共點于T．由塞瓦定理知EQ\F<sin∠FAP,sin∠EAP>EQ\F<sin∠ECR,sin∠DCR>EQ\F<sin∠DBQ,sin∠FBQ>=1．再用角平分線定理知上式EQ\F<EQ\F<FP,FA>,EQ\F<EP,EA>>EQ\F<EQ\F<ER,EC>,EQ\F<DR,DC>>EQ\F<EQ\F<DQ,DB>,EQ\F<FQ,FB>>=1．將FP=FQ,EP=ER,DQ=DR代入得EQ\F<FA,EA>EQ\F<EC,DC>EQ\F<DB,FB>=1．由塞瓦定理即知AD、BE、CF三線共點.得證．四邊形ABCD既可外切于圓.又可內接于圓.并且ABCD的內切圓分別與它的邊AB、BC、CD、AD相切于點K、L、M、N.四邊形的∠A和∠B的外角平分線相交于點K.∠B和∠C的外角平分線相交于點L.∠C和∠D的外角平分線相交于點M.∠D和∠A的外角平分線相交于點N．證明.直線KK、LL、MM、NN經過同一個點．證：如圖.設∠BCD的內切圓圓心為I.∠BAI=∠IAD=,∠ABI=∠CBI=,∠BCI=∠DCI=,∠CDI=∠ADI=θ．⊙I半徑為r．由ABCD還有外接圓可得+=+θ=EQ\F<,2>．∴∠KAB==∠NAI由于KN為A外角平分線.且A、K、B、I四點共圓.AB=rcot+cotB．∴EQ\F<AK,sin∠KBA>=EQ\F<AB,sin∠AIB>即EQ\F<AK,sinθ>=EQ\F<rcot+cot,sin+>．∴AK=EQ\F<rsinθ,sinsin>．同理AN=EQ\F<rsin,sinsinθ>．∴KN=EQ\F<rsin2θ+sin2,sinsinsinθ>=EQ\F<r,sinsinsinθ>.KN⊥AI．而KN∥KN且EQ\F<KN,KN>=2rsin且KN⊥AI．∴KN∥KN且EQ\F<KN,KN>=2sinsinsinθsin．同理可得MN∥MN,EQ\F<MN,MN>=2sinsinsinθsin,ML∥ML,EQ\F<ML,ML>=2sinsinsinθsin,LK∥LK,EQ\F<LK,LK>=2sinsinsinθsin．于是四邊形KLMN與四邊形KLMN位似.對應頂點連線KK、LL、MM、NN共點于位似中心.得證．設凸四邊形ABCD外切于⊙O.圓心O在對角線BD上的射影為M．求證BD平分∠AMC．證：設⊙O在ABCD四邊切點為A1、B1、C1、D1．不妨設⊙O半徑為1.以O為原點建立復平面.則⊙O為單位圓．令A1、B1、C1、D1所代表的復數(shù)為a,b,c,d.則由熟知結論可知D=EQ\F<2ab,a+b>,A=EQ\F<2bc,b+c>,B=EQ\F<2cd,c+d>,C=EQ\F<2da,d+a>．注意到過BD直線方程為B－Dx+BD=B－Dx+BD．將B、D代入化簡得c+d－a－bx－[abc+d－cda+b]x=2cd－ab…①又過O且垂直于BD直線方程為EQ\F<x,B－D>+EQ\F<x,B－D>=0．將B、D代入化簡得c+d－a－bx+[abc+d－cda+b]x=0…②EQ\F<①+②,2c+d－a－b>得x=EQ\F<cd－ab,c+d－a－b>.此即為M的復數(shù)表示.M=EQ\F<cd－ab,c+d－a－b>．又∵∠AMC被BD平分EQ\O<,∠>AMD=EQ\O<,∠>DMCEQ\F<EQ\F<A－M,B－D>,EQ\F<B－D,C－M>>REQ\F<A－MC－M,B－D2>=EQ\X\TO<EQ\F<A－MC－M,B－D2>>．將A、B、C、D、M代入得EQ\F<A－MC－M,B－D2>=EQ\F<EQ\F<2bc,b+c>－EQ\F<cd－ab,c+d－a－b>EQ\F<2ad,a+d>－EQ\F<cd－ab,c+d－a－b>,EQ\F<2ab,a+b>－EQ\F<2cd,c+a>2>=EQ\F<1,4>EQ\F<a+bc+d[2bcc+d－a－b－cd－abb+c][2adc+d－a－b－cd－cbc+d],c+d－a－b2[abc+d－cda+d]2>=EQ\F<1,4>EQ\F<a+bc+d[4abcdc+d－a－b2+cd－ab2a+db+c－2c+d－a－bcd－ab[bca+d+adb+c],c+d－a－b2[abc+dcda+b]2>…③注意到EQ\F<1,4>EQ\F<a+bc+d[4abcdc+d－a－b2+cd－ab2a+bb+c－2c+d－a－bcd－abcd－ab[bca+d+adb+c],c+d－a－b2[abc+d－cda+b]2>=EQ\F<1,4>EQ\F<EQ\F<a+b,ab>EQ\F<c+d,cd>[EQ\F<4,abcd>EQ\F<[abc+d－cda+b]2,a2b2c2d2>+EQ\F<cd－ab2a+db+c,a3b3c3d3>－EQ\F<2[abc+d－cda+b]2ab－cda+b+c+d,a3b3c3d3>],EQ\F<[abc+d－cda+b]2c+d－a－b2,a4b4c4d4>>=EQ\F<a+bc+d{4[abc+d－cda+b]2+cd－ab2a+db+c－2[abc+d－cda+b]ab－cda+b+c+d},c+d－a－b2[abc+d－cda+b]2>…④比較③④知僅需證4abcdc+d－a－b2－2c+d－a－bcd－ab[bca+d+adb+c=4[abc+d－cda+b]2－2[abc+d－cda+b]ab－cda+b+c+d2abcdc+d2+2abcda+b2－4abcda+bc+d+[abc+d－cda+b]ab－cda+b+c+d=2a2b2c+d2+2c2d2a+b2－4abcda+bc+d+c+d－a－bcd－ababc+abd+bcd+2ab－cd[abc+d2－cda+b2]=ab－cd{[abc+d－cda+b]a+b+c+d+c+d－a－b[abc+d+cda+b]}2abc+d2－2cda+b2=abc+da+b+abc+d2－cda+b2－cdc+b+abc+d2－a+babc+d+cda+bc+d－cda+b22abc+d2－2cda+b2=2abc+d2－2cda+b2.得證．雙心四邊形ABCD.AC∩BD=E.內、外心為I、O．求證I、O、E三點共線．證：引理：圓外切四邊形ABCD.切點為M、N、K、L.則AC、BD、MK、NL四線共點．引理的證明：設AC∩KM=G.LN∩KM=G.由正弦定理得EQ\F<GC,AG>=EQ\F<CMEQ\F<sin∠GMC,sin∠CGH>,AKEQ\F<sin∠AKG,sin∠AGK>>=EQ\F<CM,AK>EQ\F<sin∠GMC,sin∠AKG>EQ\F<sin∠AGK,sin∠CGM>=EQ\F<CM,AK>．同理EQ\F<GC,AG>=EQ\F<CL,AN>．∴EQ\F<GC,AG>=EQ\F<CL,AN>=EQ\F<CM,AK>=EQ\F<CG,AG>即G=G．故AC、NL、KM三線共點．同理BD、KM、LN三線共點.引理得證．回到原題：切點仍記為K、L、M、N.由引理KM∩LN=E．以I為中心.⊙KNM為反演圓作反演.A、B、C、D分別為KLMN四邊中點．由BC∥KM∥AD,AB∥NL∥DC知ABCD為平行四邊形．而A、B、C、D共圓知A、B、C、D共圓.ABCD必為矩形.其中心設為Q.且有KM⊥LN．由反演性質知Q、I、O三點共線．設LN、KM中點為P、R.則EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IQ=EQ\F<1,4>EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IA+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IB+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IC+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>ID=EQ\F<1,4>EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IK+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IL+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IM+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IN=EQ\F<1,2>EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IR+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IP．由垂徑定理知PIRE為矩形．從而EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IR+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IP=EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IE．∴EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IQ=EQ\F<1,2>EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IE.即I、Q、E三點共線.從而O、I、E三點共線．平面幾何中兩個重要定理引理1:凸四邊形ABCD有內切圓當且僅當,當且僅