畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）：幾類微分方程組的計(jì)算及其Matlab求解

本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）AbstractThe

differential

equation

is

one

of

the

most

powerful

and

widely

used

mathematicalsciencesin

the

17th

centuryappearingwith

the

integral

equation,which

is

produced

by

the

needs

ofhumanproductionand

practice.

The

emergence

of

it

isevenearlierthan

that

of

calculus.

For

mathematics,

especially

forthe

application

of

mathematics,differential

equations

have

great

significance.Somebasic

laws

of

things

changecanbe

accurately

describedbythe

differential

equations.Alot

ofphysical

and

technical

problems

can

be

attributed

to

the

differential

equations

solving

problem.Differential

equationsare

also

widelyusedinthefieldofengineering,electronicengineering,electronicandcommunications.

In

the

study

of

linear

algebra,the

eigen-values

and

eigenvectors

ofthematrix

are

basic

concepts.

The

similarity

ofthe

matrices

is

related

to

the

calculation

of

eigenvalues

and

eigenvectors,

and

also

to

the

diagonalization

of

matrices.

In

this

paper,

we

discuss

several

classes

of

linear

differential

equations

that

can

be

solved

by

using

the

similardiagonalform,Jordanstandardformand

the

minimal

polynomial

of

the

matrixandgivethecommandsbythesoftwareofMatlab.Meanwhile,we

introduce

asimplemathematicalmodelaboutdifferential

equationswhicharerelatedwiththe

similardiagonalformofmatrices.Keywords:Lineardifferentialequations;Similardiagonalform;Minimimalpolynomial;Jordanstandardform

目錄摘要 IAbstract II目錄 III第一章 緒論 11.1 引言 11.2線性微分方程組的研究背景 1第二章一階線性微分方程組基礎(chǔ) 32.1線性微分方程組基本理論 32.1.1常微分方程定義 32.1.2線性微分方程 32.1.3線性微分方程組 42.1.4齊次線性微分方程 52.2線性微分方程組的矩陣表示 62.2.1線性映射的矩陣表示 62.2.2線性變換的矩陣表示 7第三章相似對(duì)角形求解線性微分方程組 93.1矩陣相關(guān)概念 93.1.1特征值和特征向量 93.1.2特征值、特征向量的性質(zhì) 93.2矩陣相似對(duì)角形求解線性微分方程組 103.2.1矩陣相似對(duì)角形相關(guān)概念 103.2.2相似對(duì)角形求解線性微分方程組 123.3相似對(duì)角型求解木桶流水問(wèn)題 15第四章利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和最小多項(xiàng)式求解線性微分方程組 184.1矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 184.1.1矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型相關(guān)概念 184.1.2矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型求解線性微分方程組 204.2矩陣最小多項(xiàng)式 234.2.1矩陣最小多項(xiàng)式相關(guān)概念 234.2.2最小多項(xiàng)式與矩陣關(guān)系 244.2.3矩陣最小多項(xiàng)式求解線性微分方程組 25第五章總結(jié) 28參考文獻(xiàn) 29致謝 30附錄 31緒論引言常微分方程組是一門利用數(shù)學(xué)理論研究自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象的學(xué)科，運(yùn)用微分方程組解決問(wèn)題既有實(shí)際意義，也有科研意義。微分方程在許多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，如自動(dòng)控制，橋梁隧道的設(shè)計(jì)，電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)，飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行穩(wěn)定性的研究等。這些問(wèn)題都可以概括為求微分方程（組）的解，或者概括為質(zhì)問(wèn)題。本論文主要討論可利用矩陣相似對(duì)角形、矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型和矩陣的最小多項(xiàng)式等理論求解的若干類線性微分方程組，給出Matlab軟件求解這些的命令實(shí)現(xiàn)，同時(shí)介紹使用矩陣的相似對(duì)角形方法求解的簡(jiǎn)單微分方程組模型。1.2線性微分方程組的研究背景眾所周知，微分方程組可用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。在幾何立體學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、建筑學(xué)以及大量的邊緣科學(xué)諸如化學(xué)、道路橋梁學(xué)、動(dòng)力氣象學(xué)、海洋力學(xué)、地下水動(dòng)力學(xué)等學(xué)科中都有著普遍的應(yīng)用。隨著自然科學(xué)的快速發(fā)展，各類應(yīng)用的不斷拓寬加深，微分方程的應(yīng)用也更加頻繁、廣泛。對(duì)各類工程問(wèn)題的分析常常歸類為求相應(yīng)的常微分方程組數(shù)學(xué)模型解的問(wèn)題。對(duì)一階線性微分方程組的研究已經(jīng)取得了很多成果，其中常規(guī)的求解理論基本成熟，對(duì)于一些特殊的方程組，很多學(xué)者也給出了一些不具代表性的特殊解法。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家們多年的努力，發(fā)現(xiàn)矩陣在求解線性微分方程組方面獨(dú)具的優(yōu)勢(shì)，并且矩陣在一些線性方程組中的應(yīng)用取得了突出進(jìn)展。微分方程是17世紀(jì)中期產(chǎn)生的一門具有極強(qiáng)理論性且應(yīng)用范圍廣的數(shù)學(xué)學(xué)科。目前微分方程組的發(fā)展分為四個(gè)階段。微分方程的理論階段是17到18世紀(jì)，該階段主要是研究方程組的通解；微分方程組的適定性階段是18世紀(jì)下半頁(yè)到19世紀(jì)上半葉，該階段主要是從研究方程組通解的熱潮中轉(zhuǎn)向研究方程組問(wèn)題的適定性階段；微分方程組的理論解析階段是19世紀(jì)，該階段主要研究方程組的解析理論；微分方程的定性理論階段則是19世紀(jì)至20世紀(jì)，該階段主要是研究方程組的穩(wěn)定性理論。微分方程最早出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們的互相通信中，1676年萊布尼茲在給牛頓的信件里第一次提到現(xiàn)今的專業(yè)名詞“微分方程”。在此后的發(fā)展歷程中，英國(guó)牛頓和布萊尼茲運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)法及待定系數(shù)法解決了一些初等微分方程；瑞士伯努利一家通過(guò)多年奮斗得出了求解微分方程法變量分離法和換元法；瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在前人的基礎(chǔ)上通過(guò)努力得出了降階法、積分因子法和常系數(shù)齊次線性方程組的通解；達(dá)郎帕爾得出了關(guān)于非齊次線性方程組的疊加原理；拉格朗日研究關(guān)于求解齊次線性方程組的常數(shù)變易法,求出了非齊次線性方程組的特解；可萊研究出了關(guān)于全微分方程的充要條件和方程組基解的基本概念，并引入了19世紀(jì)末算子方法和拉普拉斯變換等方法。微分方程的產(chǎn)生是人類生活生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)需要的結(jié)果，對(duì)于數(shù)學(xué)特別是工程數(shù)學(xué)，微分方程有深遠(yuǎn)意義。目前線性微分方程組的實(shí)際背景廣，應(yīng)用性強(qiáng)已受到廣泛關(guān)注，許多國(guó)外教材和國(guó)內(nèi)新版教材都強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，并給出了實(shí)際應(yīng)用的例題。通過(guò)研究工科問(wèn)題突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生建立線性微分方程組的方法解決各種問(wèn)題，這樣利用微分方程組就可以準(zhǔn)確的表述實(shí)際問(wèn)題中所包含的普遍自然規(guī)律。這些應(yīng)用也賦予微分方程新的活力，推進(jìn)微分方程組的發(fā)展，使之成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域重要的成員。第二章一階線性微分方程組基礎(chǔ)2.1線性微分方程組基本理論2.1.1常微分方程定義以及它的導(dǎo)數(shù)的。在微分方程中，，那么我們稱這種為常微分方程。其方程形式如：（2.1）(2.2)這里是未知函數(shù)，是自變量。微分方程組中出現(xiàn)的未知函數(shù)的階數(shù)的階數(shù)。一般的階具有如下形式(2.3)這里是的已知函數(shù)，而且一定含有；是未知函數(shù)，是自變量。本篇文章我們主要討論的是一階線性微分方程組。2.1.2線性微分方程 如果方程的左端為及的一次有理整式，則稱為階線性微分方程。例如，方程是二階線性微分方程。一般階線性微分方程具有如下形式（2.4）這里是的已知函數(shù)。2.1.3線性微分方程組我們考察形如（2.5）的微分方程組，稱之為，其中已知函數(shù)和在上連續(xù)。我們引進(jìn)下面的矩陣（2.6）這里是矩陣。它的元是個(gè)函數(shù)。（2.7）這里，是矩陣或維列向量。2.1.4齊次線性微分方程形如：（2.8）如果，那么稱（2.8）為非齊次線性微分方程組，如果，則方程的形式為：（2.9）我們稱（2.9）為，把（2.9）稱為對(duì)應(yīng)于（2.8）的齊次線性微分方程組。設(shè)和是線性微分方程組(2.9)的兩個(gè)任意解，和是任意兩個(gè)常數(shù)，根據(jù)向量函數(shù)的微分法則，可得也是（2.9）的解，即可以求出的疊加原理。疊加原理：假如和是(2.9)的解，那么它們的線性組合也是（2.9）的解，這里和是任意常數(shù)。定理2.1齊次線性微分方程組（2.9）一定存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。定理2.2如果是（2.9）的個(gè)線性無(wú)關(guān)的的解，則（2.9）的任意一解均可表示為,這里是相應(yīng)的確定常數(shù)。推論2.3方程組（2.9）的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)小于等于（可能存在相同解）。推論2.4如果方程組（2.9）有個(gè)線性無(wú)關(guān)解，那么（2.9）可以降為含個(gè)。特別地，如果知道方程組（2.9）有個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則方程組（2.9）的。我們稱（2.9）的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解為方程組（2.9）的一個(gè)基本解組，顯然（2.9）有無(wú)窮多個(gè)不同的基本解組。由定理2.1和定理2.2，我們知道（2.9）的構(gòu)成一個(gè)維。2.2線性微分方程組的矩陣表示 2.2.1線性映射的矩陣表示設(shè)是的一組基，是的一組基。是的一個(gè)線性映射，則或?qū)懗?（2.10）

令（2.11）把它代入（2.10）得（2.12）矩陣稱為在基與基下的矩陣表示。顯然在確定一組基后，對(duì)應(yīng)的矩陣是唯一的，在不同基下的是不一樣的。有了線性映射在一對(duì)基下的矩陣表示之后，可以得到向量空間中向量與它在向量空間中的像之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè),故它的像，可寫為又根據(jù)坐標(biāo)的唯一性，得寫成矩陣形式為（2.13）其中（2.13）稱為線性映射在給定基與下向量坐標(biāo)變換公式（原像與像的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系）。2.2.2線性變換的矩陣表示設(shè)為線性空間的線性變換，是的一組基，如果則所以在下的矩陣表示是階矩陣。設(shè)，若則原像與的坐標(biāo)變換公式為

第三章相似對(duì)角形求解線性微分方程組3.1矩陣相關(guān)概念3.1.1特征值和特征向量定義3.1設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，如果在中存在一個(gè)非零向量使得（3.1）那么稱是的一個(gè)特征值，稱是的的一個(gè)。定義3.2是數(shù)域上的階矩陣，是一個(gè)實(shí)數(shù)，則矩陣稱之為的特征矩陣，行列式（3.2）稱之為的特征多項(xiàng)式，次代數(shù)方程稱之為的特征方程，它的根稱之為的特征根或特征值。其中將的特征值代入方程組所得的非零解稱之為的對(duì)應(yīng)特征值的特征向量。矩陣的特征多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個(gè)根，因此一個(gè)階方陣有個(gè)特征值。定理似矩陣有相同的特征值。是階矩陣屬于特征值的特征向量，則則是的屬于特征值的特征向量。3.1.2特征值、特征向量的性質(zhì)階方陣有個(gè)特征值，對(duì)于每一個(gè)特征值代入式可以求得相應(yīng)的特征向量，這些特征向量加上零向量構(gòu)成維向量空間的一個(gè)子空間稱為特征子空間，用表示。定理3.3設(shè)是階方陣，它的個(gè)互不相同的特征值，對(duì)應(yīng)的重根數(shù)分別為，則稱為的代數(shù)重復(fù)度。特征子空間的維數(shù)稱為特征值的幾何重復(fù)度。定3.4的個(gè)互不相同的特征值，并且是對(duì)應(yīng)于的特征向量，則線性無(wú)關(guān)。3.5的個(gè)互不相同的特征值，是的幾何重復(fù)度，是對(duì)應(yīng)于的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則的所有這些特征向量；仍然線性無(wú)關(guān)。定理3.6任一矩陣的特征值的幾何重復(fù)度小于等于它的代數(shù)重復(fù)度。3.2矩陣相似對(duì)角形求解線性微分方程組3.2.1矩陣相似對(duì)角形相關(guān)概念定義3.3數(shù)域上的維線性空間的線性變換稱為可對(duì)角化的，如果中存在一個(gè)基，使得在這個(gè)基下的矩陣為對(duì)角矩陣。定義3.4若階矩陣與對(duì)角矩陣相似，則稱為可對(duì)角化矩陣，也稱是單純矩陣。3.7是兩個(gè)階數(shù)字矩陣，則的充要條件是。定理3.8的充要條件是有相同初等因子。定理3.9線性變換可對(duì)角化的充分必要條件是矩陣可對(duì)角化。3.10矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。證明：設(shè)矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量對(duì)于每一個(gè)，令為對(duì)應(yīng)的特征值。令為一個(gè)矩陣，其第列向量為，即可得為的第個(gè)列向量。于是有因?yàn)橛袀€(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，可得不是奇異的，即有反之，可設(shè)為可對(duì)角化矩陣，則有一個(gè)非奇異矩陣，可知。若為的列向量，則對(duì)每一，因此對(duì)于每一個(gè)，為的特征值，且為屬于的特征向量。由于的列向量是線性無(wú)關(guān)的，因此有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。注：（1）若為可對(duì)角化矩陣，有對(duì)角化矩陣的列向量為的特征向量，且的對(duì)角化元素為相應(yīng)的特征值。（2）可對(duì)角化矩陣不具有唯一性的，把給定可對(duì)角化矩陣的各列重新排列，或進(jìn)行初等變換，可以得到一個(gè)新的可對(duì)角化矩陣。（3）為階矩陣，且有個(gè)不同的特征值，即可對(duì)角化，若特征值有重復(fù)值，則是否可對(duì)角化由是否有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量決定，若有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則可以對(duì)角化，否則不可以。（4）若一個(gè)線性變換在某組基下的矩陣表示是對(duì)角形，則稱這個(gè)線性變換為可對(duì)角化變換。推論3.11，則稱是的個(gè)特征值，的第個(gè)列向量是的屬于的特征向量。3.12矩陣可對(duì)角化的充要條件是的每一個(gè)特征值的幾何重復(fù)度等于其代數(shù)重復(fù)度。推論3.13若矩陣的特征根全是單根，則可對(duì)角化。3.14如果階矩陣的譜為，特征值的代數(shù)重復(fù)度為則與對(duì)角矩陣相似的充要條件是的代數(shù)重復(fù)度=3.2.2相似對(duì)角形求解線性微分方程組求解步驟：給出線性微分方程組（3.3）令則方程組（3.3）的矩陣形式為(3.4)判斷方程組（3.3）的系數(shù)矩陣是否有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，若有將化為可對(duì)角化矩陣，即存在使得命(3.5)其中把式（3.5）代入（3.4）得即以左乘上式兩端得(3.6)因此經(jīng)過(guò)積分求解得代入方程組（3.5），求得微分方程解組為。典型例題：求解線性微分方程組（3.7）令原方程組可寫為即（3.8）通過(guò)定理3.10可判斷矩陣是否可以對(duì)角化的特征多項(xiàng)式顯然，特征值只有，將特征值帶入到，解得屬于特征值2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,屬于特征值6的特征向量，易判斷線性無(wú)關(guān)，則滿足定理3.10。因此可以得到可逆矩陣為在求出為于是有命（3.9）其中把是（3.9）式代入（3.8）得即以左乘上式兩式得（3.10）即有由可得則依次求出可得，既有即求得解其中是任意常數(shù)。3.3相似對(duì)角型求解木桶流水問(wèn)題如圖1鏈接在一起，中有100升溶解了40克鹽的水，桶中有水100升，以15L/min的速度向桶中注入水，將桶中溶液以20L/min速度注入桶，將桶中溶液以5L/min速度注入桶，并且將桶中溶液以15L/min速度抽出桶外，試求每一時(shí)刻每個(gè)桶中鹽的含量。圖3.1木桶流水問(wèn)題圖示解：令和分別為時(shí)刻時(shí)桶和桶中鹽的克數(shù)。既有初始值由于注入和注出的速度是一樣的，所以桶和桶中液體總量200L不變。每一個(gè)桶中鹽量的變化速度等于鹽注入的速度減去鹽注出的速度。對(duì)桶，鹽注入的速度為鹽注出的速度為因此，桶中鹽的變化速度為類似地，對(duì)桶，鹽的變化速度為求得和，需要求其中有即的特征值為，，相應(yīng)的特征向量為和所以它的解可以表示為當(dāng)，，有通過(guò)求解得出，這個(gè)方程組的解為。因此，初值問(wèn)題有解為

第四章利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和最小多項(xiàng)式求解線性微分方程組4.1矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型4.1.1矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型相關(guān)概念定義4.1稱階矩陣（4.1）為Jordan塊，設(shè)為Jordan塊，稱準(zhǔn)對(duì)角矩陣（4.2）為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。定義4.2設(shè)，的初等因子為則有這里其中（4.3）稱是矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。定理4.1矩陣可對(duì)角化的充要條件是的初等因子都是一次因式。定義4.3-矩陣的行列式因子與不變因子都是的多項(xiàng)式，它們都是由的元素經(jīng)過(guò)“加、減、乘”而得到。在復(fù)數(shù)域內(nèi)，作為多項(xiàng)式的不變因子總可以分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，令因此所以這里的是的全部相異零點(diǎn)，所以無(wú)一為零。但是中可能出現(xiàn)零，而且若有=01,2，），那么也必有我們將（4.4）中不是常數(shù)的因子全體叫做的初等因子。例如，如-矩陣的不變因子為則它的初等因子為定義4.5設(shè)矩陣的秩為，對(duì)于正整數(shù)，，必有非零的階子式，的全部階子式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式稱為的階行列式因子。定理4.2對(duì)任何一個(gè)非零的階矩陣都等價(jià)于一個(gè)“對(duì)角形”矩陣。即（4.5）這里有，是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，有，記作叫做能被整除。定義4.6與等價(jià)的（4.5）的右端矩陣稱作的Smith標(biāo)準(zhǔn)型，稱作的不變因子。4.1.2矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型求解線性微分方程組求解步驟給出線性微分方程組：（4.6）其中均為常數(shù)，將此方程寫成矩陣形式(4.7)這里，設(shè)是的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，則(4.8)令（4.9）把式（4.9）帶入到（4.7）中得 (4.10)將左乘上式的（4.11）若由式（4.11）可求得，然后通過(guò)式（4.9）可求得原來(lái)方程的解X。典型例題：求解線性微分方程組命則方程組可寫為先求出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)初等變換得的初等因子是故求出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是故存在,滿足（4.12）命把代入（4.12）得(4.13)比較（4.13）兩邊得在上述方程組中只要依次各取一個(gè)解分別為組成即可。易見(jiàn)是的特征值為1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。解方程組可求得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量若取代入該方程組無(wú)解。這時(shí)不能認(rèn)為不存在因?yàn)榈奶卣髯涌臻g是二維的，即的線性無(wú)關(guān)特征向量不僅是。例如只要滿足的任意數(shù)，也是的線性無(wú)關(guān)的特征向量。因此若取，只要使得方程組有解，不難知道只要當(dāng)時(shí)，取代入方程組有解為取它的一個(gè)解，就可。于是容易驗(yàn)證有可得令則由得，，不難求得，，代入得其中為任意常數(shù)。4.2矩陣最小多項(xiàng)式4.2.1矩陣最小多項(xiàng)式相關(guān)概念定義4.7給定矩陣，如果多項(xiàng)式滿足，則稱是的化零多項(xiàng)式。定理4.3階方陣的特征多項(xiàng)式是的化零多項(xiàng)式，即。4.8在的化零多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的化零多項(xiàng)式稱為的最小多項(xiàng)式，記為。定理4.4設(shè)，則的任一化零多項(xiàng)式都能被整除；的最小多項(xiàng)式是唯一的；相似矩陣的最小多項(xiàng)式相同；由定理4.4知的最小多項(xiàng)式是其特征多項(xiàng)式的因子。定理4.5設(shè)分別是的最小多項(xiàng)式，則的最小多項(xiàng)式是的最低公倍式。4.6設(shè)為矩陣的最小多項(xiàng)式，那么以為根當(dāng)且僅當(dāng)整除。定理4.7矩陣的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式有一樣的根。定理4.8階矩陣的所有多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間稱作。的最小多項(xiàng)式的次數(shù)為，有且是的一個(gè)基。4.2.2最小多項(xiàng)式與矩陣關(guān)系定義4.9設(shè)矩陣的最小多項(xiàng)式為則稱集合為的譜，記為定義4.10設(shè)，稱函數(shù)在的譜上給定，是指定了其中為的最小多項(xiàng)式的次數(shù)，若在的譜上給定，則記為。定理4.9設(shè)是由矩陣級(jí)數(shù)定義的矩陣函數(shù)，有所對(duì)應(yīng)的函數(shù)如果有復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，并且有則4.2.3矩陣最小多項(xiàng)式求解線性微分方程組解題步驟：給出線性微分方程組（4.14）其中均為常數(shù)，將此方程寫成矩陣形式（4.15）其中則的特征多項(xiàng)式可寫為,通過(guò)特征多項(xiàng)式的求解得到最小多項(xiàng)式，則可得。設(shè)由于，根據(jù)定理4.9，即可以求出進(jìn)而得出，所以可以用基解矩陣表示出來(lái)。典型例題：求解線性微分方程組(4.16)則可以得到方程組(4.17)其中的特征多項(xiàng)式為=（，通過(guò)定理4.7得知的最小多項(xiàng)式，通過(guò)計(jì)算所以得的最小多項(xiàng)式為由于是2次多項(xiàng)式，且設(shè)得知是一次多項(xiàng)式。設(shè)且則有解得從而=即得基解矩陣

第五章總結(jié)從微分方程的產(chǎn)生到今天線性微分方程組各種理論的出現(xiàn)形成，線性微分方程組經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展。對(duì)于一般常規(guī)微分方程組的求解，數(shù)學(xué)家給出了各種不同的解法。本篇論文主要是研究一階線性微分方程組的解法。綜合各類參考資料，我發(fā)現(xiàn)出了求解微分方程組的幾種解法，分別為復(fù)變函數(shù)法、參數(shù)理論法、矩陣法和泰勒級(jí)數(shù)求解線性微分方程組。本文論題的出發(fā)點(diǎn)則是從矩陣法研究線性微分方程組的解法。在本文的第三第四章節(jié)里著重介紹了矩陣求解線性微分方程組的三種方法，分別是利用矩陣相似對(duì)角形、矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型和矩陣的最小多項(xiàng)式求解線性微分方程組。在利用相似對(duì)角形求方程組中，需要先判斷該方程的系數(shù)矩陣是否可以對(duì)角化。在若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型解法中則是先把矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化，第四章部分內(nèi)容給出了矩陣標(biāo)準(zhǔn)化的方法。在最小多項(xiàng)式中則是利用求解最小多項(xiàng)式的解，得出特征多項(xiàng)式的解，進(jìn)而得出方程組的解。線性微分方程組是在實(shí)際中應(yīng)用很廣泛，尤其是在應(yīng)用數(shù)學(xué)、工程技術(shù)等方面更有突出的作用。在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，經(jīng)常需要用到一階線性微分方程組建立模型，得出結(jié)果。

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