新北師大版10.3統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案

第三節(jié)統(tǒng)計(jì)案例【考試要求】，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系，，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘法原理，，，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．1．直線擬合(1)散點(diǎn)圖將成對(duì)樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一對(duì)數(shù)據(jù)(xi，yi)，稱為成對(duì)數(shù)據(jù)．這些點(diǎn)構(gòu)成的圖稱為散點(diǎn)圖．(2)直線擬合從散點(diǎn)圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)大致趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似地描述．這樣近似描述的過程稱為曲線擬合．若在兩個(gè)變量X和Y的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，此時(shí)就可以用一條直線來近似地描述這兩個(gè)量之間的關(guān)系，稱之為直線擬合．2．一元線性回歸方程(1)最小二乘法對(duì)于給定的兩個(gè)變量X和Y(如身高和體重)，可以把其成對(duì)的觀測(cè)值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示為平面直角坐標(biāo)系中的n個(gè)點(diǎn)．現(xiàn)在希望找到一條直線Y＝a＋bX，使得對(duì)每一個(gè)xi(i＝1，2，…，n)，由這個(gè)直線方程計(jì)算出來的值a＋bxi與實(shí)際觀測(cè)值yi的差異盡可能?。疄榇耍Ｍ鸞y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2達(dá)到最?。畵Q句話說，我們希望a，b的取值能使上式達(dá)到最?。@個(gè)方法稱為最小二乘法．(2)用向量的方法可得使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2達(dá)到最小的a，b取值為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2),\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－b\o(x,\s\up6(－))))其中，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)(y1＋y2＋…＋yn).這時(shí)直線方程Y＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))X稱作Y關(guān)于X的線性回歸方程，相應(yīng)的直線稱作Y關(guān)于X的回歸直線(如圖)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是這個(gè)線性回歸方程的系數(shù)．3．相關(guān)系數(shù)及其范圍(1)相關(guān)系數(shù)一般地，設(shè)隨機(jī)變量X，Y的n組觀測(cè)值分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，記r＝eq\f(（x1－\x\to(x)）（y1－\x\to(y)）＋（x2－\x\to(x)）（y2－\x\to(y)）＋…＋（xn－\x\to(x)）（yn－\x\to(y)）,\r(（x1－\x\to(x)）2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋（xn－\x\to(x)）2)\r(（y1－\x\to(y)）2＋（y2－\x\to(y)）2＋…＋（yn－\x\to(y)）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，稱r為隨機(jī)變量X和Y的樣本(線性)相關(guān)系數(shù)．為了計(jì)算的方便，我們?cè)俳o出如下式子：r＝eq\f(（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）－n\x\to(x)\x\to(y),\r(（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))）－n\x\to(x)2)\r(（yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))）－n\x\to(y)2))樣本(線性)相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1].(2)相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用|r|值越接近1，隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|值越接近0，隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度越弱．當(dāng)r＞0時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量的值總體上變化趨勢(shì)相同，此時(shí)稱兩個(gè)隨機(jī)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量的值總體上變化趨勢(shì)相反，此時(shí)稱兩個(gè)隨機(jī)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，此時(shí)稱兩個(gè)隨機(jī)變量線性不相關(guān)．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量①分類變量：用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量．②取值：分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示．(2)2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2＝eq\o(A,\s\up6(－))1；變量B：B1，B2＝eq\o(B,\s\up6(－))1.通過觀察得到如下表所示的數(shù)據(jù)：ABB1B2總計(jì)A1aba＋bA2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù)；b表示變量A取A1，且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù)；c表示變量A取A2，且變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù)；d表示變量A取A2，且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù)．設(shè)n＝a＋b＋c＋d，用eq\f(a,n)估計(jì)P(A1B1)，eq\f(a＋b,n)估計(jì)P(A1)，eq\f(a＋c,n)估計(jì)P(B1).若有式子eq\f(a,n)＝eq\f(a＋b,n)·eq\f(a＋c,n)，則可以認(rèn)為A1與B1獨(dú)立．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)來判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，即它們是否獨(dú)立，這一問題稱為2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想計(jì)算隨機(jī)變量χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).統(tǒng)計(jì)上已經(jīng)證明：在變量A，B獨(dú)立的前提下，當(dāng)樣本量很大時(shí)，χ2近似服從一個(gè)已知的分布．當(dāng)χ2較大時(shí)，說明變量之間不獨(dú)立．在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對(duì)變量的獨(dú)立性進(jìn)行判斷．①當(dāng)χ2≤時(shí)，沒有充分的證據(jù)判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；②當(dāng)χ2，有90%的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)；③當(dāng)χ2，有95%的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)；④當(dāng)χ2，有99%的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)．[常用結(jié)論]1．求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).2．根據(jù)χ2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若χ2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大．3．根據(jù)回歸方程計(jì)算的Y值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值．[思考辨析]判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段．()(2)線性回歸方程Y＝b^X＋a^至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)．()(3)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．()(4)若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測(cè)值越小．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×[對(duì)點(diǎn)查驗(yàn)]1．兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②D第一個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是正相關(guān)；第三個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；第二個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應(yīng)該是①③②.2．(多選題)在統(tǒng)計(jì)中，由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)利用最小二乘法得到兩個(gè)變量的線性回歸方程為Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))，那么下列說法正確的是()A．相關(guān)系數(shù)r不可能等于1B．直線Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))必經(jīng)過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．直線Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線D．相關(guān)系數(shù)為r，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小BCD相關(guān)系數(shù)的取值范圍是|r|≤1，故A錯(cuò)；直線Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點(diǎn)中心即點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故B正確；直線Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))是采用最小二乘法求解出的直線方程，接近真實(shí)關(guān)系，故C正確；相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表示相關(guān)程度越大，越接近于0，相關(guān)程度越小，故D正確．故選BCD.3．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程YX＋54.9.零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為．答案68解析由eq\x\to(x)＝30，得eq\x\to(y)×30＋＝75.設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a，則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.4．某單位為了了解用電量(度)與當(dāng)天平均氣溫(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的當(dāng)天平均氣溫與用電量(如下表).由數(shù)據(jù)運(yùn)用最小二乘法得線性回歸方程Y＝－2X＋a，則a＝．平均氣溫X(℃)181310－1用電量Y(度)25353763答案60解析eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(25＋35＋37＋63,4)＝40，樣本中心為(10，40)，回歸直線經(jīng)過樣本中心，所以40＝－2×10＋a?a＝60.5．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考慮兩個(gè)分類變量X與Y是否有關(guān)系時(shí)，通過查閱下表來確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果χ2>5.024，那么在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”．P(χ2≥k)k2.706答案解析因?yàn)棣?，，“X和Y有關(guān)系”．考點(diǎn)一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性1.(2022·陜西寶雞市陳倉(cāng)高級(jí)中學(xué)模擬)對(duì)兩個(gè)變量X，Y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.8995，對(duì)兩個(gè)變量U，V進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是()A．變量X與Y正相關(guān)，變量U與V負(fù)相關(guān)，變量X與Y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B．變量X與Y負(fù)相關(guān)，變量U與V正相關(guān)，變量X與Y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C．變量X與Y正相關(guān)，變量U與V負(fù)相關(guān)，變量U與V的線性相關(guān)性較強(qiáng)D．變量X與Y負(fù)相關(guān)，變量U與V正相關(guān)，變量U與V的線性相關(guān)性較強(qiáng)C依題意：r1＝0.8995，r2＝－0.9568，所以X，Y正相關(guān)，U，V負(fù)相關(guān)，|r1|＜|r2|＜1，所以U，V的線性相關(guān)性較強(qiáng)．2.(2022·廣東潮州模擬)(多選題)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，正確的有()A．r1＜r4B．r2＜r3C．r3＞0D．AC由圖形特征可知r1，r4都是負(fù)相關(guān)，都是負(fù)數(shù)，r1比r4的相關(guān)系數(shù)更強(qiáng)，所以r1＜r4＜0，r2，r3都是正相關(guān)，r2比r3的相關(guān)系數(shù)更強(qiáng)，所以0＜r3＜r2，所以AC正確．3．(多選題)對(duì)相關(guān)系數(shù)r來說，下列說法錯(cuò)誤的有()A．|r|≤1，|r|越接近0，相關(guān)程度越大；|r|越接近1，相關(guān)程度越小B．|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越大，相關(guān)程度越小C．|r|≤1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越接近0，相關(guān)程度越小D．|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越小；|r|越大，相關(guān)程度越大ABD用相關(guān)系數(shù)r可以衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，r的絕對(duì)值越接近于1，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對(duì)值接近于0時(shí)，表示兩個(gè)變量之間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，故“對(duì)于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|≤1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越接近0，相關(guān)程度越小”，C正確，故選ABD.思維升華判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法(1)散點(diǎn)圖法：如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．|r|越趨向于1，相關(guān)性越強(qiáng)．考點(diǎn)二一元線性回歸模型命題點(diǎn)1線性回歸方程及應(yīng)用(2022·全國(guó)模擬)小李準(zhǔn)備在某商場(chǎng)租一間商鋪開服裝店，為了解市場(chǎng)行情，在該商場(chǎng)調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計(jì)得到了它們的面積X(單位：m2)和日均客流量Y(單位：百人)的數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，并計(jì)算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝2400，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝210，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))2＝42000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝6300.(1)求Y關(guān)于X的線性回歸方程；(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟(jì)效益W＝keq\r(y)＋mx(k＞0，m＞0)，該商場(chǎng)現(xiàn)有60～150m2的商鋪出租，根據(jù)(1)的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，要使單位面積的經(jīng)濟(jì)效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪？附：線性回歸方程Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)由已知可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,x)i＝120，eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,20,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(6300,42000)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)×，所以線性回歸方程為YX－7.5.(2)根據(jù)題意得Z＝eq\f(W,x)＝eq\f(k\rx－7.5),x)＋m，60≤x≤150.設(shè)f(x)＝eq\fx,x2)＝eq\f,x)－eq\f,x2)，令t＝eq\f(1,x)，eq\f(1,150)≤t≤eq\f(1,60)，則f(x)＝g(ttt2×(t－)2＋0.00075，當(dāng)t，即x＝100時(shí)，f(x)取最大值，又因?yàn)閗，m＞0，所以此時(shí)Z也取最大值，因此，小李應(yīng)該租100m2的商鋪．命題點(diǎn)2相關(guān)系數(shù)r(2022·全國(guó)乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi材積量yi并計(jì)算得eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝0.2474.(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，eq\r(1.896)≈1.377.解(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值eq\x\to(x)＝eq\f,10)，樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值eq\x\to(y)＝eq\f,10)＝0.39.據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為m2，平均一棵的材積量為0.39m3.(2)r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,10,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,10,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10\x\to(x)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10\x\to(y)2))))＝eq\f－10××,\r(（0.038－10×2）（1.6158－10×0.39）2))＝eq\f(0.0134,\r(0.0001896))≈eq\f(0.0134,0.01377)≈，則r≈0.97.(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為Ym3，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得eq\f,0.39)＝eq\f(186,Y)，解之得Y＝1209m3.則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3.命題點(diǎn)3非線性回歸方程及應(yīng)用(2022·四川成都七中模擬)新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)．根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說明有抵御病毒的能力．通過檢測(cè)，用X表示注射疫苗后的天數(shù)．Y表示人體中抗體含量水平(單位：miu/mL，即：百萬(wàn)國(guó)際單位毫升)，現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：天數(shù)X123456抗體含量水平Y(jié)510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝c·edx與y＝a＋bx(a，b，c，d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)更適宜作為描述Y與X關(guān)系的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果求出Y關(guān)于X的回歸方程，并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；(3)從這位志愿者的前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，記其中的Y值大于50的天數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：其中W＝lnY.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過點(diǎn)(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，…，(ui，vi)的線性回歸方程V＝eq\o(b,\s\up6(^))U＋eq\o(a,\s\up6(^))的系數(shù)公式，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（ui－\x\to(u)）（vi－\x\to(v)）,\i\su(i＝1,n,)（ui－\x\to(u)）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\i\su(i＝1,n,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，點(diǎn)的分布呈現(xiàn)曲線狀，所以Y＝cedX更適合作為描述Y與X關(guān)系的回歸方程類型．(2)設(shè)W＝lnY，變換后可得W＝lnc＋dX，設(shè)p＝lnc，建立W關(guān)于X的線性回歸方程W＝eq\o(p,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))X，eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωi－\x\to(ω)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x))),\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f,17.50)，eq\o(p,\s\up6(^))＝eq\x\to(ω)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(x)×，所以W關(guān)于X的線性回歸方程為WX，所以Y＝eX，當(dāng)x＝10時(shí)，Y＝e×10＝e≈，即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.(3)由表格數(shù)據(jù)可知，第5，6天的Y值大于50，故X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6)))＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6)))＝eq\f(8,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6)))＝eq\f(2,5)，X的分布列為X012Peq\f(1,15)eq\f(8,15)eq\f(2,5)EX＝0×eq\f(1,15)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,3).思維升華(1)①計(jì)算平均數(shù)eq\x\to(x)，eq\x\to(y).②計(jì)算eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.③計(jì)算eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)).(2)將結(jié)果代入公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up6(－))2)，求eq\o(b,\s\up6(^)).(3)利用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，求eq\o(a,\s\up6(^)).(4)寫出線性回歸方程．2．利用相關(guān)系數(shù)公式r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)))，可計(jì)算兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)，并利用其大小判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性，進(jìn)行回歸分析．3．非線性回歸分析問題的處理方法(1)描點(diǎn)，選模．畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與已經(jīng)學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合最好的函數(shù)．(2)解模．先對(duì)變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈儞Q，再利用線性回歸模型來解模．(3)比較檢驗(yàn)．通過回歸分析比較所建模型的優(yōu)劣．對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化1(1)(2022·陜西西安模擬)打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，穩(wěn)步實(shí)施鄉(xiāng)村振興，離不開農(nóng)村基層黨組織的堅(jiān)強(qiáng)戰(zhàn)斗堡壘作用的發(fā)揮．某村村黨支部書記為改良鹽堿地土壤，從省城請(qǐng)來專家進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并從某農(nóng)業(yè)大學(xué)引進(jìn)富硒草莓．功夫不負(fù)有心人，富硒草莓種植成功，村里建起了草苺采摘園，到了年底，種植草莓的收入連同合作社的其他經(jīng)營(yíng)項(xiàng)目一起，成了貧困戶的主要經(jīng)濟(jì)來源．該村對(duì)近幾年草莓的采摘價(jià)格和采摘人數(shù)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)草莓的采摘價(jià)格X(元/斤)和采摘人數(shù)Y(千人)的關(guān)系如下表：草莓采摘價(jià)格X(元/斤)2025303540采摘人數(shù)Y(千人)5852453228①已知X與Y之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，試用最小二乘法求出Y關(guān)于X的線性回歸方程Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))；②該村根據(jù)2022年草莓的產(chǎn)量，估計(jì)約34千人采摘，那么2022年草莓的采摘價(jià)格應(yīng)定為多少元/斤？(結(jié)果保留整數(shù))參考公式：線性回歸方程Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝－400，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝250.解①由表中數(shù)據(jù)得：eq\x\to(x)＝eq\f(20＋25＋30＋35＋40,5)＝30，eq\x\to(y)＝eq\f(58＋52＋45＋32＋28,5)＝43，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(－400,250)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝43－(－1.6)×30＝91，∴Y關(guān)于X的線性回歸方程為YX＋91.②令y＝34，x＋91＝34，解得x≈36(元/斤)，∴2022年草莓的價(jià)格應(yīng)定為36元/斤．(2)(2022·陜西渭南模擬)近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)約車服務(wù)在我國(guó)各城市迅猛發(fā)展，為人們出行提供了便利，但也給城市交通管理帶來了一些困難．為了解網(wǎng)約車在某省的發(fā)展情況，調(diào)查機(jī)構(gòu)從該省抽取了5個(gè)城市，分別收集和分析了網(wǎng)約車的A，B兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)xi，yi(i＝1，2，3，4，5)，數(shù)據(jù)如下表所示：城市1城市2城市3城市4城市5A指標(biāo)數(shù)X35679B指標(biāo)數(shù)Y56789①由表中數(shù)據(jù)可知，Y與X具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)利用相關(guān)系數(shù)r加以說明；(精確到0.01)②建立Y關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)A指標(biāo)數(shù)為8時(shí)，B指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值．相關(guān)系數(shù)r參考值：當(dāng)0.3＜|r，線性相關(guān)程度一般；當(dāng)|r，線性相關(guān)程度較高．參考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，線性回歸方程Y＝eq\o(b,\s\up6(^))X＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝14，eq\r(2)≈1.414.解①由表得eq\x\to(x)＝eq\f(3＋5＋6＋7＋9,5)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(5＋6＋7＋8＋9,5)＝7，∴eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝20，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝10，r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(14,\r(10×20))≈，∴該A指標(biāo)X與B指標(biāo)Y具有較高的線性相關(guān)程度．②eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(14,20)，則eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝7－6×，∴Y關(guān)于X的線性回歸方程為YX，將x＝8代入，得y×，故預(yù)測(cè)當(dāng)A指標(biāo)數(shù)為8時(shí)，B指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值為8.4.(3)(2022·河北承德模擬)某制造企業(yè)從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽查了1000件，經(jīng)檢驗(yàn)，其中一等品有800件，二等品有150件，次品有50件．若銷售1件該產(chǎn)品，可獲得利潤(rùn)165元．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該制造企業(yè)在2021年12月至2022年5月的產(chǎn)量Y(萬(wàn)件)與月份編號(hào)X(記2021年12月，2022年1月，…編號(hào)分別為1，2，…)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝b·xa(a>0，b>0)，相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下：eq\i\su(i＝1,6,)lnxi，eq\i\su(i＝1,6,)lnyi，eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi)2，eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi·lnyi，e≈2.7.根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求Y關(guān)于X的回歸方程，并估計(jì)該制造企業(yè)2022年8月份的利潤(rùn)為多少萬(wàn)元．(結(jié)果精確到0.01)附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回歸直線V＝eq\o(β,\s\up6(^))U＋eq\o(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).解因?yàn)閥＝b·xa(a>0，b>0)，所以lny＝ln(b·xa)＝lnb＋alnx.令v＝lny，u＝lnx，則v＝lnb＋au.因?yàn)閑q\i\su(i＝1,6,)lnxi＝eq\i\su(i＝1,6,u)i，eq\i\su(i＝1,6,)lnyi＝eq\i\su(i＝1,6,v)i，eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi)2＝eq\i\su(i＝1,6,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，eq\i\su(i＝1,6,)(lnxi·lnyi)＝eq\i\su(i＝1,6,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ui·vi))，所以eq\o(u,\s\up6(－))，eq\o(v,\s\up6(－))，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)（uivi）－6\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－6\o(u,\s\up6(－))2)＝eq\f(－1.87－6××（－0.45）,9.46－6×2)＝eq\f(1,2)因?yàn)閘nb＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))＝－0.45－eq\f(1,2)×＝－1，所以b＝eq\f(1,e)，所以回歸方程為Y＝eq\f(\r(X),e).當(dāng)x＝9時(shí)，y＝eq\f(3,e)≈，×165＝183.15萬(wàn)元．考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b