第三章 金融市場的現(xiàn)代數(shù)學方法

第三章

金融市場的現(xiàn)代數(shù)學分析方法金融市場的現(xiàn)代數(shù)學分析方法

資本資產定價模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）是由美國Stanford大學教授夏普等人在馬克維茨的證券投資組合理論基礎上提出的一種證券投資理論。CAPM解決了所有的人按照組合理論投資下，資產的收益與風險的問題。CAPM理論包括兩個部分：資本市場線（CML）和證券市場線（SML）。金融市場的現(xiàn)代數(shù)學分析方法一分離定理二資本市場線的導出三證券市場線四β系數(shù)五證券市場線與系統(tǒng)風險一分離定理分離定理（Separationtheorem）：投資者對風險的規(guī)避程度與該投資者風險資產組合的最優(yōu)構成是無關的。所有的投資者，無論他們的風險規(guī)避程度如何不同，都會將切點組合（風險組合）與無風險資產混合起來作為自己的最優(yōu)風險組合。因此，無需先確知投資者偏好，就可以確定風險資產最優(yōu)組合。風險厭惡較低的投資者可以多投資風險基金M，少投資無風險證券F，反之亦反。啟示：若市場是有效的，由分離定理，資產組合選擇問題可以分為兩個獨立的工作，即資本配置決策（Capitalallocationdecision）和資產選擇決策（Assetallocationdecision）。資本配置決策的含義是：考慮資金在無風險資產和風險組合之間的分配。資產選擇決策的含義是：在眾多的風險證券中選擇適當?shù)娘L險資產構成資產組合。由分離定理，基金公司可以不必考慮投資者偏好的情況下，確定最優(yōu)的風險組合。二、資本市場線的導出（CML）

假設市場中的每個投資者都是資產組合理論的有效應用者，人人都是理性的。這些投資者對每個資產回報的均值、方差以及協(xié)方差具有相同的預期，但風險規(guī)避程度不同。根據(jù)分離定理，這些投資者將選擇具有相同的結構的風險基金（風險資產組合）。投資者之間的差異僅僅體現(xiàn)在風險基金和無風險資產的投資比例上。若市場處在均衡狀態(tài)，即供給＝需求，且每一位投資者都購買相同的風險基金，則該風險基金應該是何種基金呢？（對這個問題的回答構成了CAPM的核心內容）這種風險基金就是市場組合（Marketportfolio），市場組合是與整個市場上風險證券比例一致的資產組合。對股票市場而言，就是構造一個包括所有上市公司股票，且結構相同的基金（如指數(shù)基金）。因為只有當風險基金等價于市場組合時，才能保證：（1）全體投資者購買的風險證券等于市場風險證券的總和——市場均衡；（2）每個人購買同一種風險基金——分離定理。

在均衡狀態(tài)下，資產組合（FM直線上的點）是市場組合M與無風險資產F構成的組合，因此，可以根據(jù)圖形得到

資本市場線CML是在以預期收益和標準差為坐標的圖中，表示無風險資產與風險資產構成的有效率的組合線。資本市場線上的任何一點都是表示風險資產和無風險資產相結合而得到的風險和期望收益的組合。CML的截距被視為時間的報酬；CML的斜率就是單位風險溢價。在金融世界里，任何資產組合都不可能超越CML。由于單個資產一般來說，并不是最優(yōu)的資產組合，因此，單個資產也位于該直線的下方。收益無風險收益率FM標準差三、證券市場線（SML）CML將一項有效資產組合的期望收益率與其標準差聯(lián)系起來，但它并未表明一項單獨資產的期望收益率是如何與其自身的風險相聯(lián)系。CAPM模型的最終目的是要對證券進行定價，因此，就由CML推導出SML。命題：若市場投資組合是有效的，則任一資產i的期望收益滿足證明：考慮持有權重w資產i，和權重(1-w)的市場組合m構成的一個新的資產組合，由組合計算公式有:

證券i與m的組合構成的有效邊界為im；Im不可能穿越資本市場線；當w=0時，曲線im的斜率等于資本市場線的斜率。σmrfri市場組合證券市場線（Securitymarketline）SML方程以為截距，以為斜率。因為斜率是正的，所以越高的證券，其期望回報率也越高。稱證券市場線的斜率為風險價格，而稱為證券的風險。由的定義，我們可以看到，衡量證券風險的關鍵是該證券與市場組合的協(xié)方差，而不是證券本身的方差。SMLβim

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rf四、β系數(shù)β系數(shù)是美國經(jīng)濟學家威廉·夏普提出的風險衡量指標。用它反映資產組合波動性與市場波動性關系（在一般情況下，將某個具有一定權威性的股指（市場組合）作為測量股票β值的基準）。如果β值為1.1，即表明該股票波動性要比市場大盤高10％，說明該股票的風險大于市場整體的風險，當然它的收益也應該大于市場收益，因此是進攻型證券。反之則是防守型股票。無風險證券的β值等于零，市場組合相對于自身的β值為1。β系數(shù)略的計打算實街例：在實怖際操妄作中篇，人抵們如窯要計孝算某咽資產諷組合期的預勉期收旅益率石，那僅么，禍應首融先獲鬼得以猴下三宗個數(shù)燦據(jù)：勿無風岔險利對率，復市場劈燕資產烤組合靈預期測收益懇率，劑以及β值。假定墳某證子券的印無風鞋險利述率是3%，市舟場資看產組湯合預憲期收倍益率睡是8%，β值為1.娃1，則侄該證參券的斗預期疊收益拌率為靠多少??？答軍案是啞：可見太，β值可能替代滾方差迫作為炭測定鐵風險醬的指愛標五、亡證券唇市場昆線與杜系統(tǒng)排風險命題1:總風珠險＝敗系統(tǒng)解風險告＋非案系統(tǒng)凳風險設某皇種資森產i的收亡益為設則由(1蹲)(桂2)得到由貝慘塔的串意義鏟可知除，它殼定義則資產鞭風險詢與市遭場整布體風霞險的煌相關駐關系候，也雀就是奮貝塔謊定義性了系塑統(tǒng)風糖險對談資產電的影銀響。命題2：組勉合的褲貝塔玩值是勾組合家中各職個資閑產貝轟塔值竭的加遞權平盈均。命題3：系瓣統(tǒng)風替險無拋法通儉過分叛散化辨來消嫂除。因此鑄，我與們可冷以得悔出結書論：共正如橫下圖棚所示妹，組迫合風渡險隨胃股票估品種短的增溜加而班降低藥，但艇不能幼降低描到零庸，因姻為還頓有系沸統(tǒng)風繭險。經(jīng)典CA暈PM模型而在資貝本市腫場中來的應澡用主午要體蠢現(xiàn)在忌資產文估值巨和資妹產配絨置兩蒼個方則面。CA吸PM提供波了消匪極投休資策頃