第22講矩形菱形和正方形

第22講矩形、菱形和正方形掌握矩形、菱形和正方形的概念，以及它們與平行四邊形之間的關(guān)系．掌握矩形、菱形、正方形的判定和性質(zhì)．靈活運用特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)進行有關(guān)的計算和證明．特殊平行四邊形是中考的重點內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題、計算題、證明題的形式出現(xiàn)．直接考查特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定．以特殊平行四邊形為背景，常和折疊、平移、旋轉(zhuǎn)問題相結(jié)合．體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、對稱思想和轉(zhuǎn)化思想．A．2

3B．4C．4

3D．81．(2016·蘭州)如圖，矩形

ABCD

的對角線

AC

與

BD

相交于點

O，CE∥BD,

DE∥AC

,

AD＝2

3 ,

DE＝2，則四邊形

OCED

的面積為(

A

)【解析】連結(jié)

OE,

四邊形OCED

的面積為DC×OE2＝2

3，故選A.2．(2016·臺州)如圖，把一個菱形繞著它的對角線的交點旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)前后的兩個菱形構(gòu)成一個“星形”(陰影部分)，若菱形的一個內(nèi)角為60°，邊長為2，則該“星形”的面積是

6

3－6

．【解析】如圖，過E作EF⊥AC

于點F，∵四邊形ABCD

為菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴AO＝AB·cos∠BAO＝

3BO＝AB·sin∠BAO＝1.同理可知：A′O＝

3，D′O＝1，∴AD′＝AO－D′O＝

3－1.∵∠A′D′O＝90°－30°＝60°，∠BAO＝30°，∴∠AED′＝30°＝∠EAD′，∴D′E＝AD′＝

3－1.在

Rt△ED′F

中，2ED′＝

3－1，∠ED′F＝60°，∴EF＝ED′·sin∠ED′F＝3－

3.∴S陰影＝S

菱形ABCD＋4S△AD′E＝6

3－6.3．(2016·麗水)如圖，在菱形ABCD

中，過點B

作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為點E，F(xiàn)，延長BD

至G，使得DG＝BD，連結(jié)EG，F(xiàn)G，若ABAE＝DE，求EG的值．解：如圖，連結(jié)

AC，EF，在菱形

ABCD

中，AC⊥BD，∵BE⊥AD，AE＝DE，∴AB＝BD，又∵菱形的邊AB＝AD，∴△ABD

是等邊三角形∴∠ADB＝60°，設(shè)EF

與BD

相交于點H，AB＝4x，∵AE＝DE，∴由菱形的對稱性，CF＝DF，∴EF

是△ACD

的中位線，∴DH＝1DO＝1BD2

4＝x，在

Rt△EDH

中，EH＝

3DH＝

3x，∵DG＝BD，∴GH＝BD＋DH＝4x＋x＝5x，在

Rt△EGH

中，由勾股定理得，EG＝

EH2＋GH2＝（

3x）2＋（5x）2＝2

7x.∴EG＝27x

7AB

4x

＝

2矩形的性質(zhì)與判定1

．(2017·

預(yù)測)如圖，菱形ABCD的對角線AC

與BD交于點O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求證：四邊形OBEC是矩形．【解析】(1)由四邊形ABCD是菱形，得到一對同旁內(nèi)角互補，根據(jù)已知角之比求出相應(yīng)度數(shù)，進而求出∠DBC的度數(shù)；(2)由四邊形

ABCD是菱形，得到對角線互相垂直，即∠BOC＝90°，利用有一個角為直角的平行四邊形是矩形即可得證．1解：(1)∵四邊形ABCD

是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝2∠ABC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°，∴∠DBC

1∠ABC＝30°，則

tan∠DBC＝tan30°＝

3

(2)∵四邊形＝2

3ABCD

是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，∵BE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OBEC

是平行四邊形，則四邊形OBEC

是矩形定義：有一個角是直角的

是矩形．性質(zhì)：矩形的四個角都是

．矩形的對角線

．矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸；它的對稱中心是

．3．判定：(1)有三個角是

的四邊形是矩形．(2)對角線

的平行四邊形是矩形．答案：1.平行四邊形

2.(1)直角；(2)相等且相互平分；(3)對角線的交點3.(1)直角；(2)相等2．(2017·預(yù)測)在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，當?ABCD的面積最大時，下列結(jié)論正確的有(

B

)①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④【解析】當?ABCD

的面積最大時，四邊形ABCD

為矩形，得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，根據(jù)勾股定理求出

AC＝

32＋42＝5，①正確，②正確，④正確；③不正確；故選

B.3．如圖，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A，C重合，過點P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點E，F(xiàn)和G，H.(1)求證：△PHC≌△CFP；(2)證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關(guān)系．解：(1)∵四邊形

ABCD

為矩形，∴AB∥CD，AD∥BC.∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF＝∠PCH.∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF＝∠CPH.∠CPF＝∠PCH，在△CFP

和△PHC

中，∵PC＝CP，∴△CFP≌△PHC(ASA)∠PCF＝∠CPH，(2)∵四邊形ABCD

為矩形，∴∠D＝∠B＝90°.又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四邊形PEDH

和四邊形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，∴∠CPF＝∠CAB.在

Rt△AGP

中，∠AGP＝90°，PG＝AG·tan∠CAB.在

Rt△CFP

中，∠CFP＝90°，CF＝PF·tan∠CPF.S

矩形

DEPH＝DE·EP＝CF·EP＝

PF·EP·tan∠CPF；S

矩形PGBF

＝

PG·PF＝AG·PF·tan∠CAB＝EP·PF·tan∠CAB.∵tan∠CPF＝tan∠CAB，∴S

矩形DEPH＝S

矩形PGBF證明一個四邊形是矩形的方法：(1)先證明它是平行四邊形，再證明它有一個角是直角；(2)先證明它是平行四邊形，再證明它的對角線相等；(3)證明有三個內(nèi)角為90°.證明線段或角相等時常用到矩形的性質(zhì)．菱形的性質(zhì)與判定4．(2017·預(yù)測)如圖，在?ABCD中，BC＝2AB＝4，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．求證：△ABE≌△CDF；當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積．解：(1)∵?ABCD，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA.又∵BE＝21EC＝1BC，AF＝DF＝

AD，∴BE＝DF.∴△ABE≌△CDF2(2)∵四邊形AECF

為菱形，∴AE＝EC.又∵點E

是邊BC

的中點，∴BE＝EC，即

BE＝AE.又

BC＝2AB＝4，∴AB

1BC＝BE，∴AB＝BE＝AE，即＝2△ABE

為等邊三角形，?ABCD

的

BC

邊上的高為

2×sin60°＝

3，∴菱形

AECF

的面積為

2

3定義：一組鄰邊相等的

叫做菱形．性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都

．(2)菱形的對角線

，并且每一條對角線平分一組對角．3．判定：(1)對角線互相垂直的

是菱形．(2)四條邊都相等的

是菱形．答案：1.平行四邊形

2.(1)相等；(2)相互垂直3．(1)平行四邊形；(2)四邊形5．(原創(chuàng)題)如圖，在邊長為2

的菱形ABCD

中，∠A＝60°，點M

是AD邊的中點，連結(jié)MC，將菱形ABCD

翻折，使點A

落在線段CM

上的點E處，折痕交

AB

于點

N，則線段

EC

的長為

．7－1【解析】如圖，過點M

作MF⊥DC

于點F，∵在邊長為2

的菱形ABCD中，∠A＝60°，M

為AD

中點，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°1∴∠FMD＝30°，∴FD＝1MD＝

，∴FM＝DM×cos30°＝

3，∴MC2

2

2＝

FM2＋CF2＝

7，∴EC＝MC－ME＝

7－1.6．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為菱形ABCD四邊的中點，AB＝6

cm，∠ABC＝60°.(1)試判斷四邊形EFGH的類型，并證明你的結(jié)論；

(2)求四邊形EFGH的面積．解：(1)如圖，連結(jié)AC，BD，相交于點O，∵E，F(xiàn)，G，H

分別是菱形四邊上的中點，∴EH＝211BD＝FG，EH∥BD∥FG，EF＝

AC＝HG，∴2四邊形EHGF

是平行四邊形，∵菱形ABCD

中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四邊形

EFGH

是矩形

(2)∵四邊形

ABCD

是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AO

1AB＝3，∴AC＝2＝6，在

Rt△AOB

中，由勾股定理得

OB＝

AB2－OA2＝3

3，∴BD＝21

16 3，∵EH＝2BD，EF＝

AC，∴EH＝3

3，EF＝3，∴矩形EFGH

的面積＝EF·FG＝9

3

cm2在證明一個四邊形是菱形時，要注意判別的條件是平行四邊形還是任意四邊形：若是任意四邊形，則需證四條邊都相等；若是平行四邊形，則需利用對角線互相垂直或一組鄰邊相等來證明．正方形的性質(zhì)與判定7．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點G，連結(jié)AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長．解析：(1)

根據(jù)正方形和折疊對稱的性質(zhì)，應(yīng)用HL

即可證明△ABG≌△AFG；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到BG＝FG，設(shè)BG＝FG＝x，將GC和EG用x的代數(shù)式表示，從而在Rt△CEG中應(yīng)用勾股定理列方程求解即可．解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.由折疊的性質(zhì)可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°，AB＝AF.∴∠AFG＝∠B.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)(2)∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.設(shè)BG＝FG＝x，則GC＝6－x，∵E為CD的中點，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝x＋3，在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴BG＝2定義：一組鄰邊相等的

叫做正方形；有一個角是直角的

叫做正方形．性質(zhì)：正方形的四條邊都

，四個角都是

．正方形的對角線

，且互相

；每條對角線平分一組對角．正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸；正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心．3．判定：(1)一組鄰邊相等并且有一個角是直角的

是正方形．(2)一組鄰邊相等的

是正方形．(3)對角線互相垂直的

是正方形．(4)有一個角是直角的

是正方形．(5)對角線相等的

是正方形．答案：1.矩形；菱形2.(1)相等；直角；(2)相等；垂直平分3.(1)平行四邊形；(2)矩形；(3)矩形；(4)菱形；(5)菱形8．(2017·預(yù)測)關(guān)于?ABCD的敘述，正確的是(

C

)A．若AB⊥BC，則?ABCD是菱形B．若AC⊥BD，則?ABCD是正方形

C．若AC＝BD，則?ABCD是矩形

D．若AB＝AD，則?ABCD是正方形9．(2017·預(yù)測)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點，且CE＝BF.連結(jié)DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連結(jié)FG，F(xiàn)C.請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是

FG＝CE

，位置關(guān)系是

FG∥CE

；如圖2，若點E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長線上的點，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；如圖3，若點E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長線上的點，其它條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．解：(1)FG＝CE，F(xiàn)G∥CE

(2)過點

G

作

GH⊥CB

的延長線于點

H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠EGH＝90°，∴∠∠GHE＝∠ECD，DEC＝∠EGH，