江蘇省蘇州市常熟市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月階段性學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)五月階段性學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C.1 D.i【答案】C【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，進(jìn)而可得其虛部.【詳解】，其虛部為.故選：C.2.設(shè)a，b，c為不同的直線，，，為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，則．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由平行的傳遞性、線面關(guān)系及線面平行的性質(zhì)依次判斷各命題即可.【詳解】對(duì)于命題①，線線平行具有傳遞性，故①正確；對(duì)于命題②，平行于同一個(gè)平面的兩條直線也可以相交或異面，故命題②不正確；對(duì)于命題③，由線面平行的性質(zhì)定理知命題③正確；對(duì)于命題④，b還可以在平面內(nèi)，故命題④不正確.所以正確的命題有2個(gè)，故選：B.3.設(shè)，是兩個(gè)不共線的非零向量，則“與共線”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用向量共線定理即可判斷.【詳解】“與共線”等價(jià)于.因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的非零向量，所以，解得：.所以“與共線”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，且其側(cè)面積是其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，由圓錐側(cè)面積公式和軸截面面積，列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，根據(jù)題意，則，所以，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求解，涉及其幾何特點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.5.下圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測(cè)試中的成績(jī)畫(huà)出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的分位數(shù)為（）A.75 B.77.5 C.78 D.78.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?所以第分位數(shù)位于之間，設(shè)為，則，解得，所以第分位數(shù)為.故選：D6.已知，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】將看成一個(gè)整體，將化簡(jiǎn)后代入即可的出答案.【詳解】令，則，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換.屬于基礎(chǔ)題.熟記二倍角公式與降次公式是解本題的關(guān)鍵.7.已知正方體中，點(diǎn)M在線段上，記平面平面，則異面直線與l所成角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線的平行關(guān)系可得出即為所求角.【詳解】由圖可知：，平面BDM，平面，所以平面BDM，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以，故即為異面直線與l所成角，易知是等邊三角形，所以．故選：C8.《九章九術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如圖，在塹堵中，，則陽(yáng)馬體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，可得到陽(yáng)馬體積的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)，并結(jié)合基本不等式，可求出陽(yáng)馬體積的最大值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，∵底面，且平面，∴，又∵，且，平面，∴平面，∴陽(yáng)馬體積為，又∵，根據(jù)基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，∴陽(yáng)馬體積為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9.下列命題正確的是（）A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形B.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C.用平面截圓柱得到的截面可能是圓、矩形、等腰梯形等D.底面是正方形，兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是正四棱柱【答案】AC【解析】【分析】利用相關(guān)幾何體的定義域特點(diǎn)一一分析判斷即可.【詳解】對(duì)A，根據(jù)棱柱的特點(diǎn)知其側(cè)棱都相等,側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；對(duì)B，根據(jù)棱臺(tái)定義知兩個(gè)面不僅要平行，還要相似，各條側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若用與圓柱上下底面平行的平面去截圓柱，則得到截面為圓，若用與圓柱軸截面平行的的平面截圓柱（也可是軸截面），則得到矩形，若此截面保證與上下底面相交，且交線相互平行，并且交線長(zhǎng)不等，此時(shí)截面為等腰梯形，C正確；對(duì)D，若這兩個(gè)是矩形的側(cè)面為相對(duì)的側(cè)面，則此時(shí)另外兩個(gè)面可以是平行四邊形，則此時(shí)不是正四棱柱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.在中，角所對(duì)的邊分別為，下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則為鈍角三角形D.若，則直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理與余弦定理，可判斷AC選項(xiàng)；根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角形的性質(zhì)，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)三角恒等變換和正弦定理，可判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，在中，大邊對(duì)大角，由可得，利用正弦定理，可得；故A正確；B選項(xiàng)，在中，若，則或，所以或；故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，若，則，所以角為鈍角，即為鈍角三角形；故C正確；D選項(xiàng)，若，則，所以，則，又為三角形內(nèi)角，所以，則.故選：ACD.11.有下列說(shuō)法其中正確的說(shuō)法為（）A.若，則B.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得C.兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向D.若分別表示的面積，則【答案】CD【解析】【分析】利用向量的傳遞性和向量的線性運(yùn)算及向量共線的充要條件可判斷A、B、C項(xiàng)，運(yùn)用三角形重心向量的表示和性質(zhì)，結(jié)合三角形面積的求法可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，且，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，且，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向，C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，整理得如圖所示：故,所以三點(diǎn)共線；故，,所以，故，故D項(xiàng)正確.故選：CD.12.在正四棱柱中，已知，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.異面直線與的距離為B.直線與平面所成的角的余弦值為C.若該正四棱柱的各頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為D.以A為球心，半徑為2的球面與該正四棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求異面直線與的距離和直線與平面所成的角的余弦值，由此判斷A，B，再確定正四棱柱的外接球的球心和半徑求球的表面積判斷C，確定以A為球心，半徑為2的球面與正四棱柱表面的交線，求其長(zhǎng)度判斷D.【詳解】由已知兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故，，設(shè)向量，，則，取，可得，所以滿足條件的一個(gè)向量，所以向量在向量上的投影向量的模為，A正確；設(shè)平面的法向量為，，則，又，所以，令，則，所以為平面一個(gè)法向量，又，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，所以，B錯(cuò)誤；由正四棱柱的性質(zhì)可得其外接球的球心為的中點(diǎn)，為外接球一條直徑，因?yàn)?，所以正四棱柱的外接球的半徑為，其表面積為，C正確；如圖，以A為球心，半徑為2的球面與該正四棱柱表面的交線由四段圓弧組成，由已知，，所以，所以圓弧的長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以，所以圓弧的長(zhǎng)為，又圓弧的長(zhǎng)為，圓弧的長(zhǎng)為，所以以A為球心，半徑為2的球面與該正四棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】【點(diǎn)睛】三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某工廠甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了同種產(chǎn)品，數(shù)量分別為90件，60件，30件，為了解它們產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，采用層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從乙車(chē)間的產(chǎn)品中抽取了2件，應(yīng)從甲車(chē)間的產(chǎn)品中抽取______件.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣中樣本容量關(guān)系,即可求得從甲車(chē)間的產(chǎn)品中抽取數(shù)量.【詳解】根據(jù)分層抽樣為等概率抽樣,所以乙車(chē)間每個(gè)樣本被抽中的概率等于甲車(chē)間每個(gè)樣本被抽中的概率設(shè)從甲車(chē)間抽取樣本為件所以,解得所以從甲車(chē)間抽取樣本件故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的特征及樣本數(shù)量的求法,屬于基礎(chǔ)題.14.如圖所示的是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的的直觀圖（圖中虛線分別與軸，軸平行），則原圖形的面積是_____．【答案】40【解析】【分析】根據(jù)題意，分析原圖形三角形的高和底邊的邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，原圖形如圖，根據(jù)直觀圖畫(huà)法規(guī)則知,的底邊OB的長(zhǎng)為5，高為16，其面積.故答案為：4015.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，，，要使該三角形有兩解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理直接判斷.【詳解】要使三角形有兩解，由正弦定理，只需，即，解得：.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：16.每年的農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱(chēng)棕籺，俗稱(chēng)“粽子”，古稱(chēng)“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣?愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，該六面體由正四面體和，則其中正四面體的內(nèi)切球半徑為_(kāi)__________；若該六面體內(nèi)有一球，則該球半徑的最大值為_(kāi)__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用等體積法求出內(nèi)切圓的半徑，要使該球體積取最大值時(shí)，即球與六個(gè)面都相切，由對(duì)稱(chēng)性，可知球心即為的中心，設(shè)球心為，且該球與相切，過(guò)球心作，利用等面積法求出即可；【詳解】解：在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，如圖取的中點(diǎn)，連接，作在面內(nèi)的射影，則，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，由等體積法可得，解得；當(dāng)該六面體內(nèi)有一球，且該球體積取最大值時(shí)，即球與六個(gè)面都相切，由對(duì)稱(chēng)性，可知球心即為的中心，設(shè)球心為，且該球與相切，過(guò)球心作，則就是球半徑，，即，解得球半徑，故答案分別為：，四、解答題：本題共6小題，共70分．17.已知復(fù)數(shù)，．（1）若的實(shí)部與的模相等，求a的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，求的值．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，解方程可求出a的值；（2）根據(jù)純虛數(shù)的定義由條件列方程求，再求，利用模的公式求結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】依題意，，因?yàn)榈膶?shí)部與的模相等，所以，整理得，解得或，所以或．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，，所以且，所以，故，，，所以，所以，18.如圖，在中，，，，在該三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓，圓心O在邊BC上，半圓與AC，AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于另一點(diǎn)N，將繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.（1）求該旋轉(zhuǎn)體中間空心球的表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得圓O半徑，進(jìn)而求得該旋轉(zhuǎn)體中間空心球的表面積的大?。唬?）所得旋轉(zhuǎn)體即一個(gè)圓錐里面挖去一個(gè)內(nèi)切球，進(jìn)而求得其體積.【小問(wèn)1詳解】連接，則為圓O半徑，則，又中，，，，則，,則，則，該旋轉(zhuǎn)體中間空心球的表面積為.【小問(wèn)2詳解】，，，，將陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，里面挖去一個(gè)內(nèi)切球，所求體積.19.在中，角所對(duì)邊分別為，若.（1）求角A；（2）設(shè)，為內(nèi)一點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，________，求的面積.在下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問(wèn)題.①O為的重心，；②O為的外心，；③O為的內(nèi)心，.注：①如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分；②若選擇的序號(hào)條件無(wú)法構(gòu)成三角形，需說(shuō)明理由，且不用重新選擇其它序號(hào)作答.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，化簡(jiǎn)得到，得到答案.（2）選擇條件①②③時(shí)分別計(jì)算，根據(jù)重心得到，根據(jù)得到，根據(jù)余弦定理得到，解得，計(jì)算面積即可.【小問(wèn)1詳解】，故，即，，故，所以，又，所以，故.【小問(wèn)2詳解】若選條件①：因?yàn)镺為的重心，且，所以，又，故，即，由余弦定理得，即，解得：，此時(shí)存在，為正三角形.所以.若選條件②：設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理得，所以.若O為的外心，則AO為外接圓半徑，所以，條件②與此矛盾，此時(shí)不存在，故不選②.若選條件③：因?yàn)镺為的內(nèi)心，所以，由，得因?yàn)?，所以，即，由余弦定理可得，即，所以，即，因?yàn)?，所以，此時(shí)存在，為正三角形.所以.20.四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求PC與平面PAD所成的角的正切值；（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明，結(jié)合線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）先證明平面，由線面角的定義證明是與平面所成角的平面角，推導(dǎo)出，，由此能求出與平面所成角的正切值；（3）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)二面角平面角定義證明是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】四邊形為菱形，，，為等邊三角形，，在中，是中點(diǎn)，，平面，平面，，，平面，平面，平面，斜線在平面內(nèi)的射影為，即是與平面所成角的平面角，平面，平面，，在中，，在中，，平面，平面，，在中，，與平面所成角的正切值為．【小問(wèn)3詳解】在平面中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，平面，平面，，，平面，平面，又平面，是二面角的平面角，在中，，，，在中，，，，在中，，由余弦定理得，二面角的正弦值為．21.如圖，在斜三棱柱中，，側(cè)面為菱形，且，點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，，平面平面．（1）若，，求三棱錐的體積；（2）設(shè)平面與平面ABC的交線為l，求證：l⊥平面．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而根據(jù)錐體的體積公式運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)線面平行的判定定理證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵，則，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，由題意可得：為等邊三角形，則，可得，則為直角三角形，即三棱錐的高為，故三棱錐的體積.【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，則，，又∵為的中點(diǎn)，則，，∴，，則為平行四邊形，可得，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，由（1）可得：平面，故平面.22.如圖，在我校即將投入使用的新校門(mén)旁修建了一條專(zhuān)門(mén)用于跑步的紅色跑道，這條跑道一共由三個(gè)部分組成，其中第一部分為曲線段ABCD，該曲線段可近似看作函數(shù)，的圖象，圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)為.第二部分是長(zhǎng)為1千米的直線段DE，軸.跑道的最后一部分是