電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)

關(guān)于電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)第1頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三本章所研究的問(wèn)題是電磁波的輻射。方法和穩(wěn)恒場(chǎng)情況一樣，當(dāng)考慮由電荷、電流分布激發(fā)電磁場(chǎng)的問(wèn)題時(shí)，引入勢(shì)的概念來(lái)描述電磁場(chǎng)比較方便。本章首先把勢(shì)的概念推廣到一般變化電磁場(chǎng)情況，然后通過(guò)勢(shì)來(lái)解輻射問(wèn)題。第2頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三本章主要內(nèi)容電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)推遲勢(shì)電偶極輻射電磁波的干涉和衍射電磁場(chǎng)的動(dòng)量第3頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三§5.1電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)VectorandScalarPotentialofElectromagnetic第4頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三1、用勢(shì)描述電磁場(chǎng)

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，討論真空中的電磁場(chǎng)：第5頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三針對(duì)磁場(chǎng)引入的物理意義可由下式看出：即在任一時(shí)刻，矢量沿任一閉合回路L的線積分等于該時(shí)刻通過(guò)以L為邊線的曲面S的磁通量。

第6頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)于電場(chǎng)不能像靜電場(chǎng)那樣直接引入電勢(shì)。由Faraday電磁感應(yīng)定律可得：

是標(biāo)勢(shì)不是靜電勢(shì)第7頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三即

電磁場(chǎng)和勢(shì)之間的關(guān)系如下注意：

a)

當(dāng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即時(shí),且這時(shí)就直接歸結(jié)為電勢(shì)；第8頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三

b)

絕對(duì)不要把中的標(biāo)勢(shì)與電勢(shì)混為一談。因?yàn)樵诜欠€(wěn)恒情況下，不再是保守力場(chǎng)，不存在勢(shì)能的概念，這就是說(shuō)現(xiàn)在的，在數(shù)值上不等于把單位正電荷從空間一點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所做的功。為了區(qū)別于靜電場(chǎng)的電勢(shì)，把這里的稱(chēng)為標(biāo)勢(shì)（Scalarpotential)。

c)

在時(shí)變場(chǎng)中，磁場(chǎng)和電場(chǎng)是相互作用著的整體，必須把矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)作為一個(gè)整體來(lái)描述電磁場(chǎng)。第9頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三2、規(guī)范變換和規(guī)范不變性

雖然和，以及和是描述電磁場(chǎng)的兩種等價(jià)的方式，但由于、和、

之間是微分方程的關(guān)系，所以它們之間的關(guān)系不是一一對(duì)應(yīng)的，這是因?yàn)槭竸?shì)可以加上一個(gè)任意標(biāo)量函數(shù)的梯度，結(jié)果不影響，而這個(gè)任意標(biāo)量函數(shù)的梯度在中對(duì)要發(fā)生影響，但將中的

與此融合也作相應(yīng)的變換，則仍可使保持不變。第10頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三

設(shè)為任意的標(biāo)量函數(shù)，即，作下述變換式：于是我們得到了一組新的，很容易證明：第11頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三由此可見(jiàn)，和描述同一電磁場(chǎng)。第12頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三

a)庫(kù)侖規(guī)范(Coulombgauge)

庫(kù)侖規(guī)范條件為，即規(guī)定是一個(gè)有旋無(wú)源場(chǎng)（橫場(chǎng)）。這個(gè)規(guī)范的特點(diǎn)是的縱場(chǎng)部分完全由描述（即具有無(wú)旋性)，橫場(chǎng)部分由描述（即具有無(wú)源性）。由可見(jiàn)，項(xiàng)對(duì)應(yīng)庫(kù)侖場(chǎng)，對(duì)應(yīng)著感應(yīng)第13頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三場(chǎng)。

b)洛侖茲規(guī)范(Lorentzgauge)

洛侖茲規(guī)范條件為，即規(guī)定是一個(gè)有旋有源場(chǎng)（即包含橫場(chǎng)和縱場(chǎng)兩部分），這個(gè)規(guī)范的特點(diǎn)是把勢(shì)的基本方程化為特別簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)形式。第14頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三3、達(dá)朗貝爾(d’Alembert)方程

從Maxwell’sequations及出發(fā)推導(dǎo)矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)所滿足的方程，得到：第15頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三

a)采用庫(kù)侖規(guī)范上述方程化為此時(shí)，標(biāo)勢(shì)所滿足的方程與靜電場(chǎng)相同。

b)采用洛侖茲規(guī)范()

第16頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三上述方程化為這就是所謂達(dá)朗貝爾（d’Alembert

）方程。第17頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三4、舉例討論

試求單色平面電磁波的勢(shì)Solution:

單色平面電磁波在沒(méi)有電荷，電流分布的自由空間中傳播，因而勢(shì)方程（達(dá)朗貝爾方程在Lorentz規(guī)范條件下）變?yōu)椴▌?dòng)方程：其解的形式為：第18頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三由Lorentz規(guī)范條件，即得這表明，只要給定了，就可以確定單色平面電磁波，這是因?yàn)椋旱?9頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三0（對(duì)于單色平面波而言）第20頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三如果取，即只取具有橫向分量，那么有從而得到：因此有：第21頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三其中：如果采用庫(kù)侖規(guī)范條件，勢(shì)方程在自由空間中變?yōu)榈?2頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三當(dāng)全空間沒(méi)有電荷分布時(shí)，庫(kù)侖場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)，則只有其解的形式為由庫(kù)侖規(guī)范條件得到即保證了只有橫向分量，即，從而得到第23頁(yè)，講稿共25頁(yè)，2023年5月2日，星期三通過(guò)例子可看到：庫(kù)侖規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是：它的標(biāo)勢(shì)描述庫(kù)侖作用，可直接由電荷分布求出，它的矢勢(shì)只有