2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)精解：幾何中的基本模式

PAGE2022年4月7日發(fā)表評論閱讀評論想加快解幾何題的速度，就要牢記常見的幾何命題的圖形、條件和結(jié)論。我把它叫做“幾何基本模式”?！盎灸Ｊ健彪m然不是定理，雖然不能在證明過程中直接應(yīng)用，但其作用不亞于定理，至少我們可以在填空題、選擇題中加以應(yīng)用，還可以運(yùn)用它進(jìn)行問題的分析，作為推理的依據(jù)，看清解題思路，加快思維速度。幾何基本模式就是我們解題的經(jīng)驗(yàn)，模式記得越多經(jīng)驗(yàn)就越多。下面舉例一一加以說明。如圖，直線a∥直線b，AC和BC是一對同旁內(nèi)角的角平分線，那么AC⊥BC.例1

如圖平行四邊形ABCD中，四個(gè)內(nèi)角的角平分線圍成一個(gè)四邊形EFGH，請判別這個(gè)四邊形是什么特殊的四邊形.解：由本幾何模式可知，四邊形EFGH是矩形.如圖，OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，那么OD⊥OE.例2

（天津2022）已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)洗中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP=t．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．解決以上問題這要用到PO⊥PQ的結(jié)論。利用這個(gè)結(jié)論我們還可以證明CC’∥PO.例3

如圖，一張平行四邊形紙片ABCD，E,F,G,H分別在四條邊上，分別沿FG,GE,EH,HF將三角形AFG,BGE,CEH,DHF折疊，結(jié)果A和B都落在EF上的A’，C和D都落在EF上的C’，得到一個(gè)信封EHFG，若AD=10，AB=6，求EF的長。

解：由上述基本模式可知，四邊形EHFG為矩形，所以EF=GH=AD=10.?如圖，OC平分∠AOB，D、E分別在AO、CO上，DE∥OB，那么DE=OD.反之亦然。例4

如圖DB、DC分別平分△ABC的內(nèi)角，過D點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F，AB+AC=12，求△AEF的周長.解：利用這個(gè)基本模式可得：ED=EB，F(xiàn)D=FC，所以△AEF的周長=AB+AC=12.例5

如圖，已知A(-8,0)，B(12,0)，C(0,-6)，D(2,0)，E在x軸負(fù)半軸，F(xiàn)在BC上，EF被CD垂直平分，求E,F的坐標(biāo)。解：連DF，那么CD平分∠ADF，又△ACD為等腰三角形，上面是模式告訴我們：角平分線、平行線和等腰三角形三個(gè)條件中，知其二推其余。故DF∥AC，所以DF是中位線，DF=AC/2=5=DE，這樣就不難求得E(-3,0)，F(xiàn)(6,-3).?如圖，D是∠CAB的邊AC上一點(diǎn)，過D作∠CAB的平分線的垂線于F，交AB于E，那么△AFD≌△AFE。例6

如圖，△ABC的周長為8，BF、CG分別平分外角∠ABE和∠ACD，過A點(diǎn)作BF、CG的垂線，垂足為M、N，求MN的長。根據(jù)基本模式，可以延長AM、AN交直線BC于P、Q，由基本模式的結(jié)論可知△AMB≌△PMB及△ANC≌△QNC，所以M、N是AP、AQ的中點(diǎn)，所以MN=PQ/2=8÷2=4。?如圖1，△BCE是等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，A,D,B共線，那么△ABC≌△DEB。反之亦然。如圖2，正方形ABCD和正方形EFGH，那么四個(gè)直角三角形全等。反之亦然。例7

如圖，正方形ABCD中，A,B在坐標(biāo)軸上，C,D在反比例kx圖象的第一象限分支上，求證：OA=OB.解：如圖作坐標(biāo)軸的垂線，得到三個(gè)直角三角形全等。設(shè)OA=a，OB=b，那么D(a,a+b)，C(a+b,b)，所以a(a+b)=b(a+b)，a=b。定義：我們把兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的現(xiàn)象叫做“SSA”。SSA有以下兩條性質(zhì)：

1.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形可能全等，可能不全等。（所以不能利用“SSA”判定兩個(gè)三角形全等）

2.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形如果不全等，那么它們的面積相差一個(gè)等腰三角形。例8

如圖，已知△ABC和△A’B’C’中，使AB=A’B’=8cm，AC=A’C’=5cm，∠B=∠B’=30°,如果△ABC和△A’B’C’不全等，求它們的面積之差是多少平方厘米。解：由上面性質(zhì)2可知，如果把這兩個(gè)三角形重疊起來，就相差一個(gè)等腰三角形（如圖）。

其中A與A’重合，B與B’重合，設(shè)C’落在BC上，作高AD，那么由幾何性質(zhì)知AD=4，CD=3，S△ACC’=12，此即為問題的解。例9

如圖四邊形ABCD中，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，求證：BD=CD。圖中的兩個(gè)三角形有三對元素相等，但卻不全等，這是因?yàn)椤斑呥吔恰钡木壒省Ｓ谑强梢杂酶钛a(bǔ)法，添出如下圖的輔助線。

方法1、補(bǔ)上一個(gè)等腰三角形；方法2、割去一個(gè)等腰三角形；方法3、補(bǔ)上且割去半個(gè)等腰三角形。①如圖在正三角形ABC中，D、E分別在BC、AC上，BD=CE，BE,AD交于F，那么圖中有2對全等三角形和4對相似三角形（不全等）,且有∠AFE=60°。②如圖在正三角形ABC中，D、E、F分別在BC、AB、AC上，∠EDF=60°，那么圖中的兩個(gè)小三角形相似。③如圖D在正三角形ABC外，∠BDC=120°，那么AD=BD+CD，且AD平分∠BDC。例10

如圖，正三角形ABC中，D、E分別在BC、AC上，AE=CD=6，AD=9，求E到AD的距離。例10圖例11圖例12圖分析：先證△ABD≌△BCE，后證△APE∽△BAE，還有∠APE=60°，再由AE2=EP×EB算出EP的長，即可知道EH的長。例11

如圖在正三角形ABC中，D、E、F分別在BC、AB、AC上，沿EF折疊，A落在D，如果BD=3，CD=5，求AE的長。解：由上面的幾何模式②可知△BED∽△CDF，設(shè)AE=x，CF=y，那么，解之x=。例12

如圖菱形ABCD中，AB=AC，點(diǎn)E,F在AB,BC上，AE=BF，AF,CE交于G，GD和AC交于H，則下列結(jié)論中成立的有

個(gè)。①△ABF≌△CAE；②∠AGD=60°；③DG=AG+GC；④AD2=DH×DG；⑤△ABF≌△DAH。由以上所列模式，不難證明5個(gè)結(jié)論均成立。有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正三角形能組成一對全等三角形。例13

邊長為4的正三角形ABC如圖放置在直角坐標(biāo)系中，又正三角形BDE的頂點(diǎn)D在直線AC上移動(dòng)，E在BD下方，那么E點(diǎn)經(jīng)過的路徑的解析式是

。解：根據(jù)基本模式知直線CE與x軸的夾角始終為60°，故解析式是y=。作直角三角形ABC斜邊AB上的高CD，得到的兩個(gè)△ACD和△BCD與原三角形相似，我們稱這個(gè)幾何基本圖形為母子三角形。我們還可以得出母子三角形的另外幾條結(jié)論：有兩對銳角相等，有4對銳角互余，CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，CB2=AB×BD.例14

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4．點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG丄CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接DF．求四邊形ADEF的周長.由已知，DB=2，CD=，由上面的模式，∠GBA=∠DCB，BD2=DE×DC，所以DE=，又易證△ABG≌△BCD，故AG=DB=AD=2，由△AFG∽△CFB，所以，.所以四邊形ADEF的周長=.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，延長BA至E，BD是高，那么①∠DBC=∠BAC；②∠EAC=2∠C。反之亦然。一個(gè)內(nèi)角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，黃金三角形一定可以分割成2個(gè)黃金三角形。腰與底邊之比成黃金比。請參見文章《36°之美》。如圖等腰直角三角形ABC中，AB=AC，①若M是BC的中點(diǎn)，D在AB上，E在AC上，∠DME=Rt∠，那么△ADM≌△CEM，從而AD=CE，MD=ME，四邊形ADME的面積等于△ABC面積的一半……反之亦然。②D、E分別在BC上，∠DAE=45°，那么BD2+EC2=DE2，△ABE∽△ACD。反之亦然。例15

如圖，B是雙曲線第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，作BC⊥x軸，BA⊥y軸，交直線y=-x+1于D、E，求證：∠DOE=45°.

解法1：∵CM=1-b=CD，AN=1-a=AE，BE=DB=a+b-1，∴DE2=MD2+EN2，將△OEN繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得證。解法2：得△MOE∽△DNO，∠ODN=∠MOE，∠DOE=∠OMN=45°.2022年4月16日發(fā)表評論閱讀評論如圖，在正方形ABCD中，EF⊥GH，那么EF=GH，反之亦然例16

如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為7的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)，AP=3，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，求FG的長。解：連BP，作FM⊥AB于M，由上模式，因?yàn)锽P⊥EF，所以△ABP≌△MFE，所以ME=AP=3，設(shè)GF=CF=MB=x，那么EP=EB=3+x，AE=4-x，由△AEP中的勾股定理得，(3+x)2=(4?x)2+32，解得x=。注：連結(jié)PF利用兩個(gè)直角三角形的公共斜邊，解法更為簡單。如圖，正方形ABCD中，E,F分別在DC,BC上，∠EAF=45°，那么有以下一些結(jié)論：（1）BE+DF=EF；（2）△CEF的周長=2AB；（3）將△ABE和△ADF分別沿AE,AF折疊，B,D會(huì)落在EF上的同一點(diǎn)。反之也然。例17

如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為7的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，問△DPH的周長是否變化？若不變，請求出周長；若變化，請說明理由。解：連BP,BH，作BQ⊥PH于Q，易證△APB≌△QPB，△QBH≌△CBH，這樣就得到本模式，所以△DPH的周長不變化，周長為2AB=14.例18

如圖，直角梯形ABCD中，∠C=∠D=90°，BC=CD=4，AD=3，E在CD上，∠ABE=45°，求CE的長。解：補(bǔ)全圖形為正方形FBCD，則為本模式，設(shè)CE=x，那么DE=4-x，AE=1+x，由32+(4?x)2=(1+x)2，解得x=2.6.如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于O，AE⊥BD于E，那么下列論斷中①AB=AO；②∠AOB=60°；③E是BO的中點(diǎn)；④AB:BC:AC=1::2；⑤∠ADB=30°；⑥AO:AD=1:.已知其一必知其余。例19

如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于O，AE⊥BD于E，E是BO的中點(diǎn)，∠BCD的平分線交EA延長線于F，交AD于G，已知AB=6，求FG的長。

解：由基本模式得知，△AOB為正三角形，易證∠ACF=∠AFC=15°，∴AF=AC=2AB=12，∠FGA=45°，作FH⊥DA交延長線于H，那么∠FAH=60°，∴，∴.這是兩個(gè)全等的正三角形拼成的菱形，若菱形ABCD滿足下列條件之一，則必滿足其余。①AB=AC，②對角線之比為1:，③高AE平分BC，④在BC上任取一點(diǎn)M，作∠MAN=60°交CD于N，則△AMN是正三角形。例20

菱形ABCD中，BD=AC，BD,AC交于O，BO,DO的中點(diǎn)分別為E,F，M,N是BC,DC上的動(dòng)點(diǎn)，若EF=6，求四邊形EFNM周長的最小值。解：由基本模式得∠DBC=30°，作軸對稱點(diǎn)E’和F’，那么E’F’=2BE+MN=6+3=9，所以四邊形EFNM的周長的最小值為9+6=15.如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對于下列結(jié)論中：①∠C=60°；②BD⊥DC；③BD平分∠ABC；④BC=2AB；⑤AB=AD；⑥周長=5AD。已知兩個(gè)便知其余。例21

三個(gè)全等的正三角形拼成等腰梯形叫做正梯形，（1）正梯形有哪些性質(zhì)？（寫出6條）（2）寫出3條正梯形的判定方法；（3）如圖是4個(gè)全等的等腰梯形拼成的平行四邊形，運(yùn)用你寫出的正梯形的判定方法求證：這樣的等腰梯形是正梯形；（4）若AD=12，求梯形的對角線是長。解：（1）即為本模式的6個(gè)結(jié)論，當(dāng)然還有更多的結(jié)論可以得出。（2）6條結(jié)論中已知2條即可判斷正梯形。如果一個(gè)等腰梯形的腰長等于較小的底邊，一個(gè)內(nèi)角等于120°，那么這個(gè)梯形是正梯形。（3）由圖形結(jié)構(gòu)可以看出，這個(gè)梯形滿足“一個(gè)等腰梯形的腰長等于較小的底邊，一個(gè)內(nèi)角等于120°”，所以它是正梯形。（4）∵AD=12，∴GH=4，∴BH=4.如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E在BC上。以下5個(gè)結(jié)論：①AB+DC=AD；②E為BC中點(diǎn)；③AE平分∠BAD；④DE平分∠ADC；⑤∠AED=90°.已知其中2條性質(zhì)，必知其余。例22

梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E是BC中點(diǎn)，AE平分∠BAD，AD=13，BC=12，求AE的長。解：連DE，由本模式得∠AED=90°，DE平分∠ADC，AB+DC=AD。所以△ABE∽△ECD，那么,∴a=4，b=9.四種基本模式有如下關(guān)系：DE∥BC→△ADE∽△ABC→∠ACE=∠B→△ACE∽△ABC→，即對“兩個(gè)公共”的基本模式特別說明：有公共角和公共邊的兩個(gè)相似三角形叫做“兩個(gè)公共”。兩個(gè)公共具有兩條重要性質(zhì)：①公共邊是同一直線兩邊的比例中項(xiàng)；②公共角所對的兩邊之比是相似比。例23

如圖，正三角形ABC中，D、E分別在BC、AC上，AE=CD=6，AD=9，求E到AD的距離。解：由正三角形模式知△AEP∽△AEB，再由本模式得AE2=EP×EB，求出PE=4，又由正三角形模式知∠APE=60°，故EH=2.例24

如圖Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，D在CB延長線上，∠DAB=∠C，DB=4，BC=5，求AB的長.BC解：由“兩個(gè)公共”模式得AD2=DB×DC，故AD=6，再由“兩個(gè)公共”模式的第二個(gè)結(jié)論得AB:AC=AD:DC=6:9=2:3，由勾股定理可求AB的長是。例24-2

如圖，AB是直徑，BC,AD是弦，BD平分∠ABC，AC與BD交于E，AE=6，AB=8，求tan∠CEB。解：由∠DAE=∠CBE=∠DBA得△ADE∽△BDA，所以tan∠CEB=tan∠AED=.如圖，△ABC是正三角形，D,E分別在CB,BC的延長線上，∠DAE=120°，那么圖中有3對三角形相似，并有如下等式成立：①AD2=DB×DE；②AE2=EC×ED；③BC2=DB×CE；例25

如圖，△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，一塊含有60度的三角板的60°頂點(diǎn)與A重合，若三角板位于△ABC內(nèi)部的三角形是正三角形，求這個(gè)正三角形的邊長。（本題解答留給讀者）如圖，△ABC中∠ABC=Rt∠，過B點(diǎn)任作直線DE，AD⊥DE，CE⊥DE，那么△ADB∽△BEC。

例26

如圖，一塊含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，30°的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)mx圖象上，B在反比例函數(shù)2x圖象上，求m的值。解：過A,B作x軸垂線，則得本模式，由相似三角形的性質(zhì)可求m。（具體計(jì)