工程流體力學答案(陳卓如)

第一章[陳書1-15]圖軸在滑動軸承中轉動，已知軸的直徑，軸承寬度，間隙。間隙中充滿動力學粘性系數(shù)的潤滑油。若已知軸旋轉時潤滑油阻力的損耗功率，試求軸承的轉速當轉速時，消耗功率為多少？（軸承運動時維持恒定轉速）【解】軸表面承受的摩擦阻力矩為：其中剪切應力：表面積：因為間隙內的流速可近似看作線性分布，而且對粘性流體，外表面上應取流速為零的條件，故徑向流速梯度：其中轉動角速度：所以：維持勻速轉動時所消耗的功率為：所以：將： 代入上式，得：當時所消耗的功率為：[陳書1-16]兩無限大平板相距平行（水平）放置，其間充滿動力學粘性系數(shù)的甘油，在兩平板間以的恒定速度水平拖動一面積為的極薄平板。如果薄平板保持在中間位置需要用多大的力？如果置于距一板10mm的位置，需多大的力？【解】平板勻速運動，受力平衡。題中給出平板“極薄”，故無需考慮平板的體積、重量及邊緣效應等。本題應求解的水平方向的拖力。水平方向，薄板所受的拖力與流體作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。作用于薄板上表面的摩擦力為：題中未給出流場的速度分布，且上下兩無限大平板的間距不大，不妨設為線性分布。設薄板到上面平板的距離為h，則有：所以：同理，作用于薄板下表面的摩擦力為：維持薄板勻速運動所需的拖力：當薄板在中間位置時，將、、和代入，得：如果薄板置于距一板（不妨設為上平板）10mm的位置，則：代入上式得：[陳書1-17]一很大的薄板放在寬水平縫隙的中間位置，板上下分別放有不同粘度的油，一種油的粘度是另一種的2倍。當以的恒定速度水平拖動平板時，每平方米受的總摩擦力為。求兩種油的粘度。因：故：整理得：將： 代入上式，得：第二章［陳書2-8］容器中盛有密度不同的兩種液體，問測壓管A及測壓管B的液面是否和容器中的液面O-O齊平？為什么？若不齊平，則A、B測壓管液面哪個高？［解］依題意，容器內液體靜止。測壓管A與上層流體連通，且上層流體和測壓管A均與大氣連通，故A測壓管的液面與液面O-O齊平。測壓管B與上下層流體連通，其根部的壓強為：其中為上層液體的厚度，為液體分界面到B管根部的垂向距離，為大氣壓因測壓管B與大氣連通，其根部的壓強又可表示為：其中h為B管內氣液界面到B管根部的垂向距離所以：由此可知：若，B測壓管的液面低于A測壓管的液面和O-O面；若，B測壓管的液面高A測壓管的液面和O-O面；若，A、B測壓管的液面和O-O面三者平齊。又因為密度為的液體穩(wěn)定在上層，故。［陳書2-12］容器中有密度為和的兩種液體，試繪出AB面上的壓強分布圖。［解］令上、下層液體的厚度分別為和，取垂直向下的方向為z軸的正方向，并將原點設在自由表面上，可寫出AB表面上壓強的表達式：整理得：［陳書2-24］直徑D=1.2m，L=2.5的油罐車，內裝密度的石油，油面高度為h=1m，以的加速度水平運動。試確定油罐車側蓋A和B上所受到的油液的作用力。［解］取x坐標水平向右，y坐標垂直紙面向內，z坐標垂直向上，原點定在油罐的中軸線上。油液受到的體積力為： 由歐拉方程積分可得：根據(jù)題意及所選的坐標系，當時，故：所以：因大氣壓的總體作用為零，故上式中可令于是：左側蓋形心的坐標：故該處的壓強：左側蓋所受油液的作用力：（取）右側蓋形心的坐標：故該處的壓強：左側蓋所受油液的作用力：（?。坳悤?-26］盛有水的圓筒形容器以角速度繞垂直軸作等速旋轉，設原靜水深為h，容器半徑為R，試求當超過多少時可露出筒底？解：非慣性坐標系中相對靜止流體滿足歐拉方程：等速旋轉時液體所受的質量力為：，，將其代入歐拉方程，積分得：自由表面中心處r=0，（大氣壓），再令此處的z坐標為：（令筒底處z=0），代入上式，得：所以：所以：等壓面的方程：對于自由表面：，故自由表面的方程為：當筒底剛好露出時，，所以自由面方程為：自由面與筒壁相交處的垂向坐標：旋轉后的水體體積：將水視為不可壓縮流體，根據(jù)質量守恒，旋轉前后的水體體積應相等，所以：所以：［陳書2-39］在由貯水池引出的直徑D=0.5m的圓管中安裝一蝶閥，h=10m，蝶閥是一個與管道直徑相同的圓板，它能繞通過中心的水平軸回轉。為不使該閥自行轉動，問所需施加的力矩應為多大？［解］將閥門的圓心定為坐標原點，z軸垂直向上，則壓強分布為：由于靜水壓導致閥門所受的總力矩為：所以：［陳書2-43］圖示一儲水設備，在C點測得絕對壓強為，h=2m，R=1m。求半球曲面AB所受到液體的作用力。［解］建立如圖所示的坐標系，其中坐標原點取在球心，z軸垂直向上。以C為參考點，容器內任意點的壓強可表達為：作用在曲面AB上任意點處的壓強均與表面垂直，即壓力的作用線通過球心。簡單分析可知，曲面上水平方向的液體合壓力為零，液體的曲面的總作用力僅體現(xiàn)在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用線通過球心。球面的外法線方向：其中為緯度角，為經(jīng)度角。曲面AB上的垂向總液體壓力：其中：，所以：將和代入上式，得：將，h=2m，R=1m，和代入，得：第三章[陳書3-8]已知流體運動的速度場為，，，式中為常數(shù)。試求：時過點的流線方程。解：流線滿足的微分方程為：將，，，代入上式，得：（x-y平面內的二維運動）移向得：兩邊同時積分：（其中t為參數(shù)）積分結果：（此即流線方程，其中C為積分常數(shù)）將t=1,x=0,y=b代入上式，得：∴積分常數(shù)∴t=1時刻，過(0,b)點的流線方程為：整理得：陳書3-10已知二元不可壓縮流體流動的流線方程如下，問哪一個是無旋的？（1）；（2）；（3），其中A，B，C均為常數(shù)。[解法一]（1）根據(jù)流線方程當時，有令，根據(jù)流體的不可壓縮性，從而再把流線方程對x求導得到所以y是任意的，得到無旋（2）根據(jù)流線方程令，根據(jù)流體的不可壓縮性，從而再把流線方程對x求導得到所以當時，無旋當時，無旋（3）根據(jù)流線方程當時，令，再把流線方程對x求導得到根據(jù)流體的不可壓縮性，從而，不恒為0有旋[解法二]（1）由題意知：流函數(shù)得到從而無旋（2）同上流函數(shù)，無旋（3）同上流函數(shù)，有旋[陳書3-11]設有兩個流動，速度分量為：；式中為常數(shù)。試問：這兩個流動中哪個是有旋的？哪個是無旋的？哪個有角變形？哪個無角變形？解：兩個流動中均有，即均為平面二維流動狀態(tài)，因此旋轉角速度分量，角變形速度分量。(1)∴當時此流動有旋，無角變形；當時此流動無旋，無角變形。(2)∴當時此流動無旋，有角變形；當時此流動無旋，無角變形。[陳書3-13]設空間不可壓縮流體的兩個分速為：；其中均為常數(shù)。試求第三個分速度。已知當時。解：不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：，則：(1)將上式積分得：利用條件時得到∴(2)將上式積分得：利用條件時得到∴[陳書3-30]如圖所示水平放置水的分支管路，已知，，，，，。求，，，，。解：根據(jù)質量守恒定理有： (1)其中將以及條件帶入(1)式得到：，則，。第四章［陳書4－8］測量流速的皮托管如圖所示，設被測流體的密度為，測壓管內液體密度為，測壓管內液面的高度差為h。假定所有流體為理想流體，皮托管直徑很小。試證明所測流速［證明］沿管壁存在流線，因此可沿管壁列出理想流體的Bernoulli方程： （1）其中點1取在皮托管頭部（總壓孔），而點2取在皮托管環(huán)向測壓孔（靜壓孔）處。 因流體在點1處滯止，故： 又因皮托管直徑很小，可以忽略其對流場的干擾，故點2處的流速為來流的速度，即：將以上條件代入Bernoulli方程（1），得： （2）再次利用皮托管直徑很小的條件，得：從測壓管的結果可知：將以上條件代入（2）式得：證畢。［陳書4－13］水流過圖示管路，已知，，，。不計損失，求。［解］因不及損失，故可用理想流體的Bernoulli方程： （1）題中未給出流速沿管道斷面的分布，再考慮到理想流體的條件，可認為流速沿管道斷面不變。此外，對于一般的管道流動，可假定水是不可壓縮的，于是根據(jù)質量守恒可得： （2）其中和分別為管道在1和2斷面處的截面積：， （3） 方程（1）可改寫為： （4）根據(jù)題意：， （5）將（5）代入（4），得： （6）再由（2）和（3）式可得：所以： （7）將（7）式代入（6）得：整理得： （8）將，，，代入（8）式，得：［陳書4－19］圖示兩小孔出流裝置，試證明不計流動損失時有關系式。（此題陳書的標注有誤）［證明］因不計損失，可視流體為理想流體，則位于深度處的小孔出流速度為：同樣，位于深度處的小孔出流速度為： 流出小孔后流體做平拋運動，位于深度處的小孔出流的下落時間為： 故其射的程為：同理，位于深度處的小孔出流的射程為：根據(jù)題意：所以：于是：第六章［陳書4－8］測量流速的皮托管如圖所示，設被測流體的密度為，測壓管內液體密度為，測壓管內液面的高度差為h。假定所有流體為理想流體，皮托管直徑很小。試證明所測流速［證明］沿管壁存在流線，因此可沿管壁列出理想流體的Bernoulli方程： （1）其中點1取在皮托管頭部（總壓孔），而點2取在皮托管環(huán)向測壓孔（靜壓孔）處。 因流體在點1處滯止，故： 又因皮托管直徑很小，可以忽略其對流場的干擾，故點2處的流速為來流的速度，即：將以上條件代入Bernoulli方程（1），得： （2）再次利用皮托管直徑很小的條件，得：從測壓管的結果可知：將以上條件代入（2）式得：證畢。［陳書4－13］水流過圖示管路，已知，，，。不計損失，求。［解］因不及損失，故可用理想流體的Bernoulli方程： （1）題中未給出流速沿管道斷面的分布，再考慮到理想流體的條件，可認為流速沿管道斷面不變。此外，對于一般的管道流動，可假定水是不可壓縮的，于是根據(jù)質量守恒可得： （2）其中和分別為管道在1和2斷面處的截面積：， （3） 方程（1）可改寫為： （4）根據(jù)題意：， （5）將（5）代入（4），得： （6）再由（2）和（3）式可得：所以： （7）將（7）式代入（6）得：整理得： （8）將，，，代入（8）式，得：［陳書4－19］圖示兩小孔出流裝置，試證明不計流動損失時有關系式。（此題陳書的標注有誤）［證明］因不計損失，可視流體為理想流體，則位于深度處的小孔出流速度為：同樣，位于深度處的小孔出流速度為： 流出小孔后流體做平拋運動，位于深度處的小孔出流的下落時間為： 故其射的程為：同理，位于深度處的小孔出流的射程為：根據(jù)題意：所以：于是：第六章[陳書6-7]二維勢流的速度勢為式中是極角，為常數(shù)，試計算：沿圓周的環(huán)量；沿圓周的環(huán)量。解：（1）則沿圓周的速度環(huán)量易知此二維勢流除在原點處均有勢，而圓周不含原點。故沿圓周的速度環(huán)量[陳書6-8]距離的兩平板表面間的速度分布為，式中是兩平面間處的速度。試求流函數(shù)的表達式，并繪制流線。解：因為所以，所以，則，其中常數(shù)C的取值對流動圖形無影響，可認為是0所以[陳書6-9]已知某平面流場速度勢函數(shù)為，式中為常數(shù)。試求流函數(shù)。解：因為所以又因為所以，即由于常數(shù)C的取值不影響流動情況，故可取為零。則第七章[陳書7-6]煙囪直徑，煙量，煙氣密度，周圍大氣密度，煙囪內壓強損失，為煙囪內煙氣流動的速度，為煙囪高度。為保證煙囪底部斷面1處的負壓不小于水柱，煙囪的高度應大于（或小于）多少？［解］此題用Bernoulli方程求解。對1、2斷面列出總流的伯努利方程： （1）由質量守恒可知：再假定動能修正系數(shù)：式（1）可簡化為： （2） （3）斷面1處的負壓：，移項可得：而斷面2處的壓強為當?shù)氐拇髿鈮?，即：其中和分別為斷面1、2處的大氣壓將以上各式代入（3）式得： （4）而：，代入（4）式得： （5）依題意，能量損失：代入（5）式：移項得： （6）令為水的密度，負壓可用高的水柱表示為：代入（6）得：將流速：代入上式，得： （7）將：、、、、、和代入（7）式得：因為：，所以：【陳書7-10】將一平板伸入水的自由射流內，垂直于射流的軸線。該平板截去射流流量的一部分，引起射流剩余部分偏轉角度。已知射流流速，全部流量，截去流量。求偏角及平板受力。解：用動量積分定理求解題中指明流體為水，但并未特別提及其力學性質。為解體，不妨忽略粘性，并假定流體不可壓縮。選取如圖所示的控制體及坐標系進入控制體的動量通量在x方向的分量：（為流體密度）進入控制體的動量通量在y方向的分量：流出控制體的動量通量在x方向的分量：流出控制體的動量通量在y方向的分量：因忽略粘性，平板和水之間無摩擦力（切向力），所以平板對水的作用力只有沿x方向的分量，令其為又因為大氣壓沿控制體周界積分等于零，所以由動量積分定理有：（1）（2）可以找到一條從0-0斷面到1-1斷面的流線，對于該流線可以列出Bernoulli方程：因為故因射流速度較大，可忽略重力，可得同理可得將以上關系代入（1）式和（2）式，得（3）（4）由（4）式得到，（5）又因流體不可壓，所以代入（5）式得到，所以，再由（3）式求得：【7-11】如圖所示，水由水箱1經(jīng)圓滑無阻力的空口水平射出，沖擊到一平板上，平板封蓋著另一水箱2的孔口，兩水箱孔口中心線重合，水位高分別為和，孔口徑。求保證平板壓在2箱孔口上時與的關系。（不計平板的重量及摩擦力）解：因不計摩擦力，可以視為理想流體，則小孔處流速：射在平板上的流體沿板的四周流出。選取如圖所示的控制體，作用在控制體上的外力為大氣壓和平板的作用力。大氣壓的積分效果為零，又由于忽略摩擦，平板的作用力只能沿x方向，設其為假設容器足夠大，流動定常，則x方向的動量積分方程：故水流作用于平板上的力為：平板右側受到的靜水壓為為保證平板壓在孔口上，須有，即有，可得：[陳書7-13變]如圖，一帶有傾斜平板的小車逆著來自無窮遠處的射流以速度v勻速移動。已知射流斷面積為A，體積流量為Q，流體為理想不可壓縮的，不計地面的摩擦力和重力。（1）若，求分流流量和與入射總流量的關系；（2）若，求推動小車所需的功率。解：（1）令上面出流的速度和斷面積為：，，有：令下面出流的速度和斷面積為：，，有：令入流斷面的速度為：，有：選取一條從入流斷面到上面出流斷面的流線列出理想流體的伯努利方程：因和均為大氣壓，重力忽略，所以：同理可得：選取如圖所示的坐標系及控制體。進入控制體的動量通量在x方向的分量為：進入控制體的動量通量在y方向的分量為：從1斷面處流出控制體的動量通量在x方向的分量為：從2斷面處流出控制體的動量通量在x方向的分量為：因流體為理想流體，故x方向平板的反作用力為零，所以：即：考慮到：，有：由質量守恒有：所以：，（2）將坐標系固定在小車上，選取與（1）中相同的控制體。因流體為理想流體，故x方向平板的反作用力為零，僅需考慮y方向平板的受力。進入控制體的動量通量在y方向的分量為：流出控制體的動量通量在y方向的分量為零。所以沿y方向平板的反作用力為：該力在小車前進方向的分量為：所以推動小車所需的功率為：［陳書7-18］油在如圖所示的管中流動，其密度，流量，管徑d=25cm，兩彎頭之間的距離，下部彎頭出口處壓強。求油流對上部彎頭作用力矩的大小和方向（不計損失）。［解］將積分形式的動量方程對上部彎頭的中心取矩，得：因流動定常，所以： 其中總力矩包含兩部分：1）外部支承對管道的力矩；2）進口和出口處壓強產(chǎn)生的力矩。 所以： 因為進口處通量的力臂為零，故僅有出口處的通量部分對力矩有貢獻，為： （逆時針方向） 進口處合壓力對上部彎頭的力臂為零，故只需考慮出口壓強對力矩的貢獻： （順時針方向） 所以： 考慮到力矩方向： 油流對上部彎頭的力矩等于外部支撐對管道的作用力矩（方向相反）。［陳書7-21］一個灑水裝置的旋轉半徑R=200mm，噴嘴直徑d=8mm，噴射方向角，兩個噴嘴的流量均為。若已知摩擦阻力矩，求轉速n。若在噴水時不讓其旋轉，應施加多大力矩？［解］此題用積分形式的動量矩方程求解：系統(tǒng)所受的總力矩為：所以： 題意隱含灑水裝置等速旋轉，故其角加速度為零，控制體內流體的動量矩守恒，即： 由此可得：并令灑水裝置的角速度為，則從噴口流出的水的絕對速度為： 其中為水流從噴嘴流出的相對速度；為牽連速度，方向垂直于旋轉臂（考慮水流的反推作用可知其方向與噴出水流沿圓周切線分量的方向相反），大小等于。假定懸臂軸線的角度為0（總可以通過選擇適當?shù)淖鴺讼颠_到），水平向右的方向為x軸正向，垂直向上的方向為y軸正向（如圖），則相對速度和牽連速度可分解為：其中A為噴嘴截面積。因為速度在徑向的分量對力矩無貢獻，而它在垂直于旋轉臂方向的分量為大?。河谑牵?所以： 代入已知條件，得： 轉速： 若不轉動，則以上各式中角速度為零，可得：第八章［陳書8-9］一個圓球放在流速為1.6m/s的水中，受的阻力為4.4N。另一個直徑為其兩倍的圓球置于一風洞中，求在動力相似條件下風速的大小及球所受的阻力。已知，。［解］：此題涉及繞流物體的粘性阻力，應選取雷諾數(shù)為主要的相似準則，于是：從上式可得：由題意知：，，，將以上條件代入，得風速：轉化阻力采用牛頓數(shù)相等的原則，即：由上式可得：由題意：，所以：［陳書8-10］需測定飛行器上所用流線型桿子的阻力，桿子厚度為30mm，飛行器速度為150km/h，當用桿子模型在水槽中測定其粘性阻力時，已知水流速度為2m/s，。問模型厚度應為多少？［解］：此題涉及繞流物體的粘性阻力，應選取雷諾數(shù)為主要的相似準則，于是：從上式可得：由題意知：，，將以上條件代入，得模型厚度：［陳書8-11］為了得到水管中蝶閥的特性曲線，利用空氣來進行模型實驗。模型蝶閥直徑，當，空氣（）流量時，實驗測得如下數(shù)據(jù)：模型中壓強降；氣流作用在閥門上的力是；繞閥門旋轉軸氣流的作用力矩是。設實驗在自模區(qū)進行，且實際蝶閥，水流量，角相同。試確定實物中的壓強降、作用力及作用力矩。［解］涉及壓強降，應考慮歐拉數(shù)相等，即：由上式可得：由題意：取重力加速度：所以：，或：轉化作用力采用牛頓數(shù)相等的原則，即：由上式可得：力矩：所以：［陳書8-12］在深水中進行火箭的模擬實驗，模型大小與實物之比為1/1.5。若火箭在空氣中的速度為500km/h，問欲測定其粘性阻力，模型在水中的實驗速度為多少（已知）？［解］：此題涉及繞流物體的粘性阻力，應選取雷諾數(shù)為主要的相似準則，于是：由上式可得：第九章[陳書9-11]具有，的油液流過直徑為2.54cm的圓管，平均流速為0.3m/s。試計算30m長度管子上的壓強降，并計算管內距內壁0.6cm處的流速。［解］管內流動的雷諾數(shù)：將、、和d=2.54cm代入，得：因為，所以流動為層流，沿程阻力損失系數(shù)：沿程阻力損失：表示成壓強降的形式：代入數(shù)據(jù)，得：因為是層流運動，流速滿足拋物面分布，且其分布為：將、、d=2.54cm和l=30m代入，得：［陳書9-12］某種具有，的油，流過長為12.2m，直徑為1.26cm的水平管子。試計算保持管內為層流的最大平均流速，并計算維持這一流動所需要的壓強降。若油從這一管子流入直徑為0.63cm，長也為12.2m的管子，問流過后一根管子時的壓強降為多少？［解］管內流動的雷諾數(shù)：管內保持層流時，雷諾數(shù)低于下臨界雷諾數(shù)，即：所以：將、、和d=1.26cm代入，得：壓強降：流入后一根管子時，流量不變，直徑減小，用上標“~”表示后一種情況，則有：所以：此時流動進入湍流光滑區(qū)，且，可用布拉修斯公式求解沿程阻力損失系數(shù)，即：壓強降：此時，平均流速：所以：[陳書9-13]的水流經(jīng)過直徑d=7.62cm的鋼管（），每分鐘流量為。求在915m長度上的壓降。當水溫下降至時，情況又如何？已知時水的運動學粘性系數(shù)，密度，時水的運動學粘性系數(shù)，密度。［解］流量：平均流速：兩個與粗糙度有關的雷諾數(shù)：時：雷諾數(shù)：因，流動處于湍流過渡區(qū)，阻力系數(shù)用Colebrook公式計算，即代入數(shù)值后解得：所以壓強降：時：雷諾數(shù)：因，流動處于湍流光滑管區(qū)，又因，阻力系數(shù)可用布拉修斯公式計算，即代入數(shù)值后解得：所以壓強降：［陳書9-22］水從水箱沿著高度及直徑的鉛垂管路流入大氣，不計管路的進口和出口損失，沿程阻力損失系數(shù)取為，試求：管路起始斷面A的壓強與箱內所維持的水位h之間的關系式，并求當h為若干時，此斷面絕對壓強等于一個大氣壓。流量和管長的關系，并指出在怎樣的水位h時流量將不隨而變化。［解］令出口斷面為B，可對A和B斷面寫出總流的Bernoulli方程： （1）因不計進出口損失，故可認為管內流速分布沿軸線不變，即：， （2）于是（1）式簡化為： （3）對于圓管流動，沿程阻力損失可表示為： （4）由題意： （5）將（4）和（5）式代入（3），得： （6）（1）當斷面A處的絕對壓強為一個大氣壓時，有：代入（6）式，得： （7）令水箱內水表面為C斷面，假定從C到A斷面無損失，可列出流線的Bernoulli方程：