人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象和性質(zhì)xyo人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

一般地，拋物線y=a(x-h)+k與y=ax的

相同，

不同22知識回顧：形狀位置

y=ax2y=a(x-h)+k2上加下減左加右減人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)知識回顧：拋物線y=a(x-h)2+k有如下特點(diǎn):1.當(dāng)a﹥0時(shí)，開口

，當(dāng)a﹤0時(shí)，開口

，向上向下

2.對稱軸是

；3.頂點(diǎn)坐標(biāo)是

。直線X=h(h,k)人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=2(x+3)2+5

y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6直線x=–3直線x=1直線x=2直線x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7）（2，－6）你能說出二次函數(shù)y=—x－6x＋21圖像的特征嗎？212人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)探究:如何畫出的圖象呢?我們知道,像y=a(x-h)2+k這樣的函數(shù),容易確定相應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)為(h,k),二次函數(shù)也能化成這樣的形式嗎?人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)配方

y=—(x―6)+3212你知道是怎樣配方的嗎？

人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)怎樣把函數(shù)y=3x2-6x+5的轉(zhuǎn)化成y=a(x-h）2+k的形式?函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象配方:提取二次項(xiàng)系數(shù)配方:加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半的平方化簡:去整理:前三項(xiàng)化為平方形式,后兩項(xiàng)合并同類項(xiàng)掉中括號老師提示:配方后的表達(dá)式通常稱為配方式或頂點(diǎn)式人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)歸納二次函數(shù)y=—x－6x+21圖象的畫法：(1)“化”：化成頂點(diǎn)式；(2)“定”：確定開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)“畫”：列表、描點(diǎn)、連線。212人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)函數(shù)y=3x2-6x+5的圖象特征2.根據(jù)配方式(頂點(diǎn)式)確定開口方向,對稱軸,頂點(diǎn)坐標(biāo).∵a=3>0,∴開口向上;

對稱軸:直線x=1;

頂點(diǎn)坐標(biāo):(1,2).人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)510510Oxyx………7.553.533.557.5…6543789函數(shù)y=3x2-6x+5的圖象特征人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)求次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是配方:提取二次項(xiàng)系數(shù)配方:加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半的平方整理:前三項(xiàng)化為平方形式,后兩項(xiàng)合并同類項(xiàng)這種形式的式子通常被稱為拋物線的頂點(diǎn)式.人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

1.

說出下列函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)：人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

（3）開口方向：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下。4．二次函數(shù)的性質(zhì)：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)（2）對稱軸是直線人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)如果a＞0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，如果a＜0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，（4）最值：人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)①若a＞0，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小。②若a＜0，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大。（5）增減性：人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）(6)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)①拋物線②拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其中為方程的兩實(shí)數(shù)根人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)所以當(dāng)x＝2時(shí)，。解法一（配方法）：例5當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)因?yàn)樗援?dāng)x＝2時(shí)，。因?yàn)閍＝2＞0，拋物線有最低點(diǎn)，所以y有最小值，

總結(jié)：求二次函數(shù)最值，有兩個(gè)方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)又例6已知函數(shù)，當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值y隨自變量的值的增大而減小。解法一：，

∴拋物線開口向下，

∴

對稱軸是直線x＝－3，當(dāng)

x＞－3時(shí)，y隨x的增大而減小。

人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)解法二：，∴拋物線開口向下，∴對稱軸是直線x＝－3，當(dāng)x＞－3時(shí)，y隨x的增大而減小。人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)例7已知二次函數(shù)的最大值是0，求此函數(shù)的解析式．人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)解：此函數(shù)圖象開口應(yīng)向下，且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為0．所以應(yīng)滿足以下的條件組．由②解方程得所求函數(shù)解析式為。人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)3．圖象的畫法．

步驟：1．利用配方法或公式法把化為的形式。2．確定拋物線的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)。3．在對稱軸的兩側(cè)以頂點(diǎn)為中心左右對稱描點(diǎn)畫圖。人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

的圖像，利用函數(shù)圖像回答：例3

畫出(1)x取什么值時(shí)，y＝0？(2)x取什么值時(shí)，y＞0？x取什么值時(shí)y＜0？(3)x取什么值時(shí)值或最小值？人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由圖像知：當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，

y＝0；(2)當(dāng)1＜x＜3時(shí)，

y＞0；(3)當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，

y＜0；(4)當(dāng)x＝2時(shí)，

y有最大值2。xy人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

與x軸的交點(diǎn)情況可由對應(yīng)的一元二次方程(7)拋物線的根的判別式判定：①△＞0有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸相交；②△＝0有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸相切；③△＜0沒有交點(diǎn)拋物線與x軸相離。人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)例

已知拋物線①k取何值時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在y軸上；③k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在x軸上；④k取何值時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

，所以k＝－4，所以當(dāng)k＝－4時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在y軸上。

，所以k＝－7，所以當(dāng)k＝－7時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②拋物線頂點(diǎn)在y軸上，則頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，即解：①拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，則當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，所以人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

，所以當(dāng)k＝2或k＝－6時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在x軸上。③拋物線頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即③拋物線頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即，整理得，解得：④由②、③知，當(dāng)k＝－4或k＝2或k＝－6時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)拋物線位置與系數(shù)a，b，c的關(guān)系：⑴a決定拋物線的開口方向：

a＞0開口向上a＜0開口向下⑵a，b決定拋物線對稱軸的位置:

(對稱軸是直線x=－—)

①

a，b同號＜＝＞對稱軸在y軸左側(cè)；②

b=0＜＝＞對稱軸是y軸；③a，b異號＜＝＞對稱軸在y軸右側(cè)

2ab【左同右異】人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)拋物線y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小決定拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，c)，①c＝0拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c＞0與y軸交于正半軸；圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方；

③c＜0與y軸交于負(fù)半軸。圖象與y軸交點(diǎn)在x軸下方。人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)例3：指出拋物線:的開口方向，求出它的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。并畫出草圖。

對于y=ax2+bx+c我們可以確定它的開口方向，求出它的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（有交點(diǎn)時(shí)），這樣就可以畫出它的大致圖象。∵a=-1＜0,∴開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2.5，9/4），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），與x軸交點(diǎn)為（1,0)、(4,0），人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)

求下列二次函數(shù)圖像的開口、頂點(diǎn)、對稱軸請畫出草圖:小試牛刀3－9－6人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)-1例2、已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如下圖所示，x=為該圖象的對稱軸，根據(jù)圖象信息你能得到關(guān)于系數(shù)a，b，c的一些什么結(jié)論？

y

1..x13人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)3.已知如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，判斷以下各式的值是正值還是負(fù)值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)分析：已知的是幾何關(guān)系(圖形的位置、形狀)，需要求出的是數(shù)量關(guān)系，所以應(yīng)發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用．人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)解：(1)因?yàn)閽佄锞€開口向下，所以a＜0；判斷a的符號人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)(2)因?yàn)閷ΨQ軸在y軸右側(cè)，所以，而a＜0，故b＞0；判斷b的符號人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)(3)因?yàn)閤＝0時(shí)，y＝c，即圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，c)，而圖中這一點(diǎn)在y軸正半軸，即c＞0；判斷c的符號人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)(4)因?yàn)轫旤c(diǎn)在第一象限，其縱坐標(biāo)，且a＜0，所以，故。判斷b2－4ac的符號人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)

，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因?yàn)轫旤c(diǎn)橫坐標(biāo)小于1，即判斷2a＋b的符號人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)(6)因?yàn)閳D象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判斷a＋b＋c的符號人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)(7)因?yàn)閳D象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判斷a－b＋c的符號人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)1.拋物線y=2x2+8x-11的頂點(diǎn)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.不論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線y=a(x+k)2+k(a≠0)的頂點(diǎn)都在（）A.直線y=x上B.直線y=-x上C.x軸上D.y軸上3.若二次函數(shù)y=ax2+4x+a-1的最小值是2,則a的值是（）A4B.-1C.3D.4或-1CBA人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)4.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象如下,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),則下列各式中不成立的是（）

A.b2-4ac>0B.<0

C.a+b+c=0D.>01xyo-15.若把拋物線y=x2-2x+1向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,得拋物線y=x2+bx+c,則（）

A.b=2c=6B.b=-6,c=6C.b=-8c=6D.b=-8,c=18

B

B-2ab4a4ac-b2人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)6.若一次函數(shù)y=ax+b

的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2+bx-3的大致圖象是()7.在同一直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=ax+c的大致圖象可能是（）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)１.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符號確定由a,b和c的符號確定向上向下在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而增大.

在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而減小.

根據(jù)圖形填表：人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)（五）、學(xué)習(xí)回顧：拋物線

開口方向

對稱軸

頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax2(a>0)y=ax2+k(a>0)y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2+k(a>0)y=ax2+bx+c(a>0)填寫表格：人教版26.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)