第17講基本不等式題型總結(jié)

第17講:基本不等式題型總結(jié)一．選擇題（共11小題）1．下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)2+b2≤2ab B．a(chǎn)2+b2≥﹣2ab C．a(chǎn)+b≥2|ab| D．a(chǎn)2+b2≤﹣2ab2．下列函數(shù)中最小值為4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+3．若2x+2y＝1，則x+y的取值范圍是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]4．若a，b，c＞0且a（a+b+c）+bc＝4﹣23，則2a+b+c的最小值為（）A．3?1 B．3+1 C．23?2 5．已知正實數(shù)a，b滿足2a+b＝4，則2a+2A．94+2 B．4 C．96．設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy＝1，則2x+y的最大值是（）A．62 B．2105 7．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．則當(dāng)xyz取得最大值時，2A．0 B．1 C．94 8．設(shè)a＞b＞c＞0，則2a2+1ab+1a(a?b)?A．2 B．4 C．25 9．已知實數(shù)m，n，若m≥0，n≥0，且m+n＝1，則m2A．14 B．415 C．1810．設(shè)a＞0，b＞1，若a+b＝2，則4aA．6 B．9 C．32 11．設(shè)a，b∈R，a2+2b2＝6，則a+b的最小值是（）A．﹣22 B．?533 C．﹣3二．多選題（共5小題）（多選）12．已知a＞0，b＞0，設(shè)M=a+ba2A．M有最小值，最小值為1 B．M有最大值，最大值為2 C．N沒有最小值 D．N有最大值，最大值為2（多選）13．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則（）A．a(chǎn)2+b2≥12 B．2a﹣bC．log2a+log2b≥﹣2 D．a(chǎn)（多選）14．已知a，b為正實數(shù)，且ab+2a+b＝6，則（）A．a(chǎn)b的最大值為2 B．2a+b的最小值為4 C．a(chǎn)+b的最小值為3 D．1a+1+（多選）15．已知正數(shù)a，b滿足a2+b2＝1，則（）A．a(chǎn)+b的最大值是2 B．a(chǎn)b的最大值是12C．a(chǎn)﹣b的最小值是﹣1 D．a(chǎn)b?2的最小值為（多選）16．設(shè)正實數(shù)a、b滿足a+b＝1，則（）A．a(chǎn)b有最大值12 B．1a+2bC．a(chǎn)2+b2有最小值12 D．a(chǎn)+三．填空題（共11小題）17．設(shè)a，b＞0，a+b＝5，則a+1+b+3的最大值為18．若a＞0，b＞0，a+b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是（寫出所有正確命題的編號）．①ab≤1；②a+③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤1a19．設(shè)a+b＝2，b＞0，則當(dāng)a＝時，12|a|20．已知正實數(shù)a，b滿足lg(a+b)=lg2ba+lgab21．對于c＞0，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大時，1a+222．對于c＞0，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0且使|2a+b|最大時，3a?423．已知a＞0，b＞0，則1a+ab24．已知a＞0，b＞0，c＞2且a+b＝1，則3acb+25．函數(shù)f（x）=1sinx+26．已知正實數(shù)x，y滿足4x2﹣2xy+y2＝1，則2x+y的取值范圍是；2x﹣y的取值范圍是．27．若a，b∈R，ab＞0，則a4+b四．解答題（共2小題）28．（1）求2x?13x+1（2）設(shè)x＞0，y＞0且x+y＝1，求2x29．若x，y，z為實數(shù)，且x+2y+2z＝6，求x2+y2+z2的最小值．

第17講:基本不等式題型總結(jié)參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）1．下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)2+b2≤2ab B．a(chǎn)2+b2≥﹣2ab C．a(chǎn)+b≥2|ab| D．a(chǎn)2+b2≤﹣2ab【解答】解：A．顯然當(dāng)a＜0，b＞0時，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A錯誤；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正確；C．顯然當(dāng)a＜0，b＜0時，不等式a+b≥2|ab|不成立，故C錯誤；D．顯然當(dāng)a＞0，b＞0時，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D錯誤．故選：B．2．下列函數(shù)中最小值為4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【解答】解：對于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函數(shù)的最小值為3，故選項A錯誤；對于B，因為0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+4當(dāng)且僅當(dāng)|sinx|=4|sinx|，即|sin因為|sinx|≤1，所以等號取不到，所以y＝|sinx|+4|sinx|＞對于C，因為2x＞0，所以y＝2x+22﹣x=2當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2，即x＝1時取等號，所以函數(shù)的最小值為4，故選項C正確；對于D，因為當(dāng)x=1e時，所以函數(shù)的最小值不是4，故選項D錯誤．故選：C．3．若2x+2y＝1，則x+y的取值范圍是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]【解答】解：∵1＝2x+2y≥2?（2x2y）12變形為2x+y≤14，即x+y≤﹣2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝則x+y的取值范圍是（﹣∞，﹣2]．故選：D．4．若a，b，c＞0且a（a+b+c）+bc＝4﹣23，則2a+b+c的最小值為（）A．3?1 B．3+1 C．23?2 【解答】解：a（a+b+c）+bc＝a（a+b）+ac+bc＝a（a+b）+c（a+b）＝（a+c）（a+b）＝4﹣23．2a+b+c＝（a+b）+（a+c）≥2(a+b)(a+c)=24?23=所以，2a+b+c的最小值為23?故選：C．5．已知正實數(shù)a，b滿足2a+b＝4，則2a+2A．94+2 B．4 C．9【解答】解：∵正實數(shù)a，b滿足2a+b＝4，∴2a+4+b＝8，∴2＝（42a+4+2b）×（2a=18（6≥18（6+24b2a+4×2(2a+4)b）=故選：D．6．設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy＝1，則2x+y的最大值是（）A．62 B．2105 【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1∴（2x+y）2﹣3xy＝1令t＝2x+y則y＝t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x＝1即6x2﹣3tx+t2﹣1＝0∴Δ＝9t2﹣24（t2﹣1）＝﹣15t2+24≥0解得?∴2x+y的最大值是210故選：B．7．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．則當(dāng)xyz取得最大值時，2A．0 B．1 C．94 【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實數(shù)，∴xyz=xyx2∴(xyz)max=∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴2x+1∴2x故選：B．8．設(shè)a＞b＞c＞0，則2a2+1ab+1a(a?b)?A．2 B．4 C．25 【解答】解：2=(a?5c)=(a?5c)≥0+2+2＝4當(dāng)且僅當(dāng)a﹣5c＝0，ab＝1，a（a﹣b）＝1時等號成立如取a=2，b=22，故選：B．9．已知實數(shù)m，n，若m≥0，n≥0，且m+n＝1，則m2A．14 B．415 C．18【解答】解：∵m≥0，n≥0，且m+n＝1，∴n＝1﹣m，（0≤m≤1）．∴f（m）=＝m﹣2+4m+2+則f′（m）=(6?m)(3m?2)令f′（m）＝0，0≤m≤1，解得m=2當(dāng)0≤m＜23時，f′（m）＜0；當(dāng)23＜m≤1時，∴當(dāng)m=23時，f（m）取得極小值即最小值，故選：A．10．設(shè)a＞0，b＞1，若a+b＝2，則4aA．6 B．9 C．32 【解答】解：因為a＞0，b＞1，a+b＝2，所以a+（b﹣1）＝1，所以4a+1b?1=（4＝4+1+4(b?1)a+當(dāng)且僅當(dāng)a＝2（b﹣1），即a=23，b所以4a故選：B．11．設(shè)a，b∈R，a2+2b2＝6，則a+b的最小值是（）A．﹣22 B．?533 C．﹣3【解答】解：因為a，b∈R，a2+2b2＝6故可設(shè)a=6cosθb=3sinθ則：a+b=6再根據(jù)三角函數(shù)最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故選：C．二．多選題（共5小題）（多選）12．已知a＞0，b＞0，設(shè)M=a+ba2A．M有最小值，最小值為1 B．M有最大值，最大值為2 C．N沒有最小值 D．N有最大值，最大值為2【解答】解：M2=a2+b2+2aba故M≤2，即M的最大值為2，A錯誤，BN=aba2+b2=1故選：BC．（多選）13．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則（）A．a(chǎn)2+b2≥12 B．2a﹣bC．log2a+log2b≥﹣2 D．a(chǎn)【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，則a2+b②利用分析法：要證2a?b＞12，只需證明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜③log2a+log④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要證a+b≤2成立，只需對關(guān)系式進(jìn)行平方，整理得a+b+2ab≤2，即2ab≤1，故ab故選：ABD．（多選）14．已知a，b為正實數(shù)，且ab+2a+b＝6，則（）A．a(chǎn)b的最大值為2 B．2a+b的最小值為4 C．a(chǎn)+b的最小值為3 D．1a+1+【解答】解：因為6＝ab+2a+b≥ab+22ab，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b解得ab≤2，即ab≤2，故ab的最大值為2，由6＝ab+2a+b得b=6?2a所以2a+b＝2a+6?2aa+1=2（a+1）+8a+1?4≥22(a+1)?8a+1a+b＝a+8a+1?2=a+1+8a+1?3≥42?3，當(dāng)且僅當(dāng)a+11a+1+1b+2≥21a+1?1b+2=21故選：ABD．（多選）15．已知正數(shù)a，b滿足a2+b2＝1，則（）A．a(chǎn)+b的最大值是2 B．a(chǎn)b的最大值是12C．a(chǎn)﹣b的最小值是﹣1 D．a(chǎn)b?2的最小值為【解答】解：對于A：正數(shù)a，b滿足a2+b2＝1，所以（a+b）2≤2（a2+b2），整理得a+b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故A對于B：由于a2+b2≥2ab，所以ab≤12，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故對于C：設(shè)點P（cosθ，sinθ），令a＝cosθ，b＝sinθ（0＜θ＜π2），則y＝a﹣b＝cosθ﹣sinθ因為0＜θ＜π2，所以π4＜θ+π對于D：設(shè)直線的方程為y﹣2＝kx，利用圓心（0，0）到直線的kx﹣y+2＝0的距離d=21+k2所以ab?2的最小值為?33故選：ABD．（多選）16．設(shè)正實數(shù)a、b滿足a+b＝1，則（）A．a(chǎn)b有最大值12 B．1a+2bC．a(chǎn)2+b2有最小值12 D．a(chǎn)+【解答】解：因為正實數(shù)a、b滿足a+b＝1．對于A選項，由基本不等式可得ab≤a+b2=1對于B選項，由基本不等式可得1a+2b=1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時，等號成立，對于C選項，a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時，等號成立，對于D選項，∵(a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時，等號成立，故選：ACD．三．填空題（共11小題）17．設(shè)a，b＞0，a+b＝5，則a+1+b+3的最大值為32【解答】解：由題意，（a+1+b+3）2≤（1+1）（a+1+∴a+1+b+3的最大值為3故答案為：32．18．若a＞0，b＞0，a+b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是①，③，⑤（寫出所有正確命題的編號）．①ab≤1；②a+③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤1a【解答】解：對于命題①ab≤1：由2=a+b≥2ab?ab≤1，命題對于命題②a+b≤2：令a＝1，對于命題③a2+b2≥2：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥2，命題③正確；對于命題④a3+b3≥3：令a＝1，b＝1時候不成立，所以命題④錯誤；對于命題⑤1a+1b≥2所以答案為①，③，⑤．19．設(shè)a+b＝2，b＞0，則當(dāng)a＝﹣2時，12|a|【解答】解：法一：∵a+b＝2，b＞0，∴12|a|+|a|設(shè)f（a）=12|a|+利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得，當(dāng)a＜0時，f（a）=?1f′（a）=12a2?2(a?2)2=?(3a?2)(a+2)2a故函數(shù)在（﹣∞，﹣2）上是減函數(shù)，在（﹣2，0）上是增函數(shù)，∴當(dāng)a＝﹣2時，12|a|+|a|同樣地，當(dāng)0＜a＜2時，得到當(dāng)a=23時，12|a|綜合，則當(dāng)a＝﹣2時，12|a|法二：因為a+b＝2，b＞0，要取得最小值，則a＜0，則12|a|≥a當(dāng)且僅當(dāng)b4|a|=|a|b，a＜0時取等號，此時因為a+b＝2，所以a＝﹣2，b＝4，故答案為：﹣2．20．已知正實數(shù)a，b滿足lg(a+b)=lg2ba+lgab，則1【解答】解：因為lg(a+b)=lg2b則有a+b＝2，所以1=1當(dāng)且僅當(dāng)a+b=2b4a=所以12a+1故答案為：1+521．對于c＞0，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大時，1a+2【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c＝0，∴c由柯西不等式得，[(a?b4)2+(3b4)2][22+(23)2故當(dāng)|2a+b|最大時，有a?b∴a=12b，c∴1當(dāng)b＝﹣2時，取得最小值為﹣1．故答案為：﹣122．對于c＞0，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0且使|2a+b|最大時，3a?4【解答】解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，∴c由柯西不等式得，[(a?b4)2+1516b2][故當(dāng)|2a+b|最大時，有a?b∴a=∴3a當(dāng)b=1故答案為：﹣223．已知a＞0，b＞0，則1a+ab2+【解答】解：法一：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b≥2當(dāng)且僅當(dāng)1a=ab2且b=2∴1a+ab法二：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b當(dāng)且僅當(dāng)1a=ab2=∴1a+ab故答案為：22．24．已知a＞0，b＞0，c＞2且a+b＝1，則3acb+【解答】解：3acb+cab+6c?2=c因為a+b＝1，所以（a+b）2＝1，所以3acb+cab+6c?2=c?3a2+(a+b)2ab+6當(dāng)且僅當(dāng)a=13，b=2故填：24．25．函數(shù)f（x）=1sinx+8cosx【解答】解：f′(x)=?cosx由f′（x）＝0可得cosx＝2sinx即tanx=1又因為0＜x＜1根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可知，當(dāng)tanx=12時，函數(shù)取得最小值，此時sinx=15故f（x）min＝55．故答案為：55．26．已知正實數(shù)x，y滿足4x2﹣2xy+y2＝1，則2x+y的取值范圍是（1，2]；2x﹣y的取值范圍是（﹣1，1）．【解答】解：令t＝2x+y，則y＝﹣2x+t，t＞0，代入4x2﹣2xy+y