數(shù)學(xué)高二-江蘇省南師大二附中、大橋中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

南師大二附中、大橋中學(xué)高二聯(lián)考調(diào)研卷數(shù)學(xué)一?單選題：1.設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再結(jié)合，可求出，從而可求出【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以解得，所以，故選：D2.若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（）A. B. C.或 D.2【答案】A【解析】【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以故選：A.3.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為（）A.-21 B.21 C.36 D.-36【答案】A【解析】【分析】求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，然后求展開式中的系數(shù)即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：.所以令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A.4.在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，所以.故選：A.5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B6.已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.7.某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表，若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中的值為（）年份20162017201820192020年份代號(hào)x01234年銷量y10153035A.22 B.20 C.30 D.32.5【答案】B【解析】【分析】先求出、，再利用回歸直線過進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，，因?yàn)閥關(guān)于x的回歸直線方程為，所以，解得.故選：B.8.已知矩形為平面外一點(diǎn)，且平面，分別為上的點(diǎn)，，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理求出，求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故，?故選：B二?多選題：9.下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量是，則C.兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件，利用方向向量?法向量的定義與性質(zhì)，結(jié)合空間向量的平行和垂直，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：對(duì)于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對(duì)于，兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故正確；對(duì)于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故錯(cuò)誤；對(duì)于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故錯(cuò)誤．故選：．10.下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是（）A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)【答案】AC【解析】【分析】考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項(xiàng).【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC.11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】令，可求，可求，利用二項(xiàng)式定理將展開即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以令，可得，令，可得，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋哉归_式的通項(xiàng)公式為，所以，，所以選項(xiàng)C、D正確.故選：ACD.12.在棱長為1的正方體中，O為正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.點(diǎn)B到平面的距離為 D.直線BO與直線的夾角為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，可判斷A;連接BD,交AC于E,連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理，可判斷B;利用等體積法，求得點(diǎn)B到平面的距離，判斷C;采用作平行線的方法，求出直線BO與直線的夾角，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖，連接,則交于點(diǎn)O,正方體中，平面平面,故,而平面,故平面,故平面，而平面,故，即，故A正確；對(duì)于B，連接BD,交AC于E,連接,則,故四邊形是平行四邊形，故平面不在平面ACD1,故平面，故B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)B到平面距離為d,因?yàn)?故，解得，故C正確；對(duì)于D,連接,則即為直線BO與直線的夾角或其補(bǔ)角，在中，,所以,則,故D錯(cuò)誤，故選：ABC三?填空題：13.設(shè)，且，若能被13整除，則a＝___．【答案】12【解析】【分析】將化為，求出被13整除的余數(shù)，再結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】因?yàn)椋幢?3整除的余數(shù)為1，而，且，若能被13整除，則，故，故答案：1214.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．【答案】##0.3【解析】【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：15.若，則___________，___________.【答案】①.②.【解析】【分析】令即可求出，再寫出、展開式通項(xiàng)，即可求出；【詳解】解：因?yàn)?，令，則；因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，展開式的通項(xiàng)為，所以；故答案為：；16.長方體的底面是邊長為1的正方形，若在側(cè)棱上至少存在一點(diǎn)，使得，則側(cè)棱的長的最小值為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)，利用勾股定理建立方程，則方程有解即可求解.【詳解】設(shè)又因?yàn)?，所以即化簡得，即關(guān)于的方程有解，當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以側(cè)棱的長的最小值為2，故答案為:2.四?解答題：17.已知空間中的三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)或（2）【解析】【分析】(1）寫出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，求解k即可．(2）求出直線PM的單位方向向量為，然后利用空間點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以?），，因?yàn)?，所以，整理得，解得或，所以的值為?(2)設(shè)直線的單位方向向量為，則由于，所以，所以點(diǎn)N到直線PM的距離【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，利用向量垂直的數(shù)量積為0，向量表示的點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵,考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.18.籃球運(yùn)動(dòng)員比賽投籃，命中得1分，不中得0分，已知運(yùn)動(dòng)員甲投籃命中率的概率為．（1）若投籃1次得分記為，求方差的最大值；（2）當(dāng)（1）中取最大值時(shí)，求運(yùn)動(dòng)員甲投5次籃得分為4分的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意服從兩點(diǎn)分布，寫出方差的式子轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.（2）由（1）知，投5次藍(lán)得分為，則，再利用二項(xiàng)分布公式求出即可.【詳解】解：（1）依題意，的分布列為01當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.（2）由（1）可知，投5次藍(lán)得分為，則那么則運(yùn)動(dòng)員甲投5次籃得分為4分概率為．19.佩戴頭盔是一項(xiàng)對(duì)家庭與社會(huì)負(fù)責(zé)的表現(xiàn)，某市對(duì)此不斷進(jìn)行安全教育．下表是該市某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年度2018201920202021年度序號(hào)x1234不戴頭盔人數(shù)y11501000900750（1）請利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù)y與年度序號(hào)x之間的回歸直線方程；（2）并估算該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)．參考公式：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得、，進(jìn)而得到、，求出回歸直線方程；（2）令，代入（1）所求的回歸直線方程求解．【小問1詳解】解：由表中數(shù)據(jù)知，，，，所以，所以，故所求回歸直線方程為，【小問2詳解】解：令，則人，則預(yù)計(jì)該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)為人．20.若的展開式中只有第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，（1）求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)；（2）設(shè)，求．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先求出n=18，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求系數(shù)最大的項(xiàng)（2）用賦值法求.【詳解】（1）∵的展開式中只有第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴展開式有19項(xiàng)，∴n=18.設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則，所以r為偶數(shù),且最大,即r=8或10.即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第9項(xiàng)和第11項(xiàng)的系數(shù)最大所以，.（2）令x=1,則，令x=-1,則∴兩式相加得:∴.21.如圖，已知圖形ABCDEF，內(nèi)部連有線段.（列出過程，用數(shù)字作答）（1）由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有多少條？（2）由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有多少條？（3）求出圖中總計(jì)有多少個(gè)矩形？【答案】（1）20（2）111（3）102【解析】【分析】利用分類加法原理和分步乘法原理即可求解.【小問1詳解】由題意得A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線需要移動(dòng)6次,向右移動(dòng)3次,向上移動(dòng)3次,所以A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有條.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)G、H、P的位置如圖所示：則點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線可分為4種情況：①沿著A→E→C，共有條最近路線；②沿著A→G→C，共有條最近路線；③沿著A→H→C，共有條最近路線；④沿著A→P→C，共有條最近路線；故由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有條；【小問3詳解】由題意，要組成矩形則應(yīng)從豎線中選出兩條、橫線中選出兩條，可分為兩種情況：①矩形的邊不在CD上，共有個(gè)矩形；②矩形的一條邊在CD上，共有個(gè)矩形；故圖中共有個(gè)矩形.22.如下圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先證明出，，利用線面垂直的判定定理直接證明；（2）取的中點(diǎn)，連接.判斷出直線OE與EM所