新高考I卷（壓軸題）（解析版）

2023年全國統(tǒng)一高考數學試卷（新高考I卷）壓軸真題解讀壓軸真題解讀7.記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數，因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C【解后反思】充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．(2)集合法：根據p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題．8.已知，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，而，因此，則，所以.故選：B【解后反思】運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力．11.已知函數的定義域為，，則（）．A. B.C.是偶函數 D.為的極小值點【答案】ABC【解析】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調遞減，在上單調遞增，因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.【解后反思】函數極值和極值點的求解步驟(1)確定函數的定義域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況．12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（）A.直徑為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內，故C正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：ABD.【解后反思】“接”的問題處理規(guī)律(1)旋轉體的外接球：常用的解題方法是過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長方體中再去求解．①若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.②一條側棱垂直底面的三棱錐問題：可補形成直三棱柱．先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解．16.已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【答案】【解析】方法一：依題意，設，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.【解后反思】求雙曲線離心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)解方程法：若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．21.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．【思維導引】（1）全概率公式直接求解；（2）設→→構造等比數列求解；（3）求出兩點分布的期望→根據題中的結論以及等比數列的求和公式求解．【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【解后反思】求離散型隨機變量ξ的均值的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值的定義求E(ξ)．22.在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．【思維導引】（1）設→→化簡求解；（2）法一：設矩形的三個頂點，且→分別令，，且→放縮法得→設函數→利用導數求出其最小值→排除邊界值即可.法二：設直線的方程為→與拋物線方程聯立→弦長公式和放縮法→→換元法和求導→求出周長最值→再排除邊界值即可.【解析】（1）設,則，兩邊同平方化簡得，故.（2）法一：設矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設矩形周長為,由對稱性不妨設，，則.，易知則令令，解得，當時，，此時單調遞減，當，，此時單調遞增，則，故,即.當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設在上，且，依題意可設，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設,的斜率分別為和，由對稱性，不妨設，直線的方程為，則聯立得，，則則，同理，令，則，設，則，令，解得，當時，，此時單調遞減，當，，此時單調遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.【解后反思】圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關系方面的，如證明相切、垂直、過定點等；數量關系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質的前提下，要多采用直接法證明，但有時也會用到反證法．

壓軸模擬專練壓軸模擬專練1．（2023秋·安徽蕪湖聯考）“數列，都是等差數列”是“數列是等差數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數列，都是等差數列，則設數列，的公差分別為，所以為常數，所以數列是等差數列，若數列是等差數列，如是等差數列，而此時均不是等差數列，所以“數列，都是等差數列”是“數列是等差數列”的充分不必要條件故選：A.2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知圓C：，點，，則“”是“直線AB與圓C有公共點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】圓C：的圓心為,半徑R.由點，求出直線AB的方程為：.所以圓心C到直線AB的距離為.充分性：時，有，所以直線直線AB與圓C相交，有公共點，故充分性滿足；必要性：“直線AB與圓C有公共點”，則有，即“”，故必要性不滿足.所以“”是“直線AB與圓C有公共點”的充分不必要條件.故選：A.3．（2023秋·河南鄭州二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為,所以又因為，所以，對等式兩邊去括號，并移項整理得，，所以，所以，即，所以.故選：A.4．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯考模擬預測）若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意可知，，即，即，得，因為，，所以，即.故選：D5．（2023·湖南·湖南師大附中校聯考模擬預測）已知定義在上的函數滿足，且為偶函數，則下列說法一定正確的是（

）A．函數的周期為2 B．函數的圖象關于對稱C．函數為偶函數 D．函數的圖象關于對稱【答案】BC【解析】依題意，上的函數，，則，函數的周期為4，A錯誤；因為函數是偶函數，則，函數的圖象關于對稱，且，即，函數圖象關于對稱，B正確；由得，則函數為偶函數，C正確；由得，由得，因此，函數的圖象關于對稱，D錯誤.故選：BC6．（2023·云南昆明·昆明市第三中學校考模擬預測）已知函數的定義域為R，且對任意，都有，且當時，恒成立，則（

）A．函數是R上的減函數 B．函數是奇函數C．若，則的解集為 D．函數()+為偶函數【答案】ABC【解析】設，且，，則，而，又當時，恒成立，即，，函數是R上的減函數，A正確；由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函數的定義域為R，故函數是奇函數，B正確；令可得，解得，因為函數是奇函數，所以，由，可得，因為函數是R上的減函數，所以，C正確；令，易知定義域為R，因為，顯然不恒成立，所以不是偶函數，D錯誤.故選：ABC.7．（2023春·云南省玉溪第一中學校考期中）正多面體因為均勻對稱的完美性質，經常被用作裝飾材料.正多面體又叫柏拉圖多面體，因古希臘哲學家柏拉圖及其追隨者的研究而得名.最簡單的正多面體是正四面體.已知正四面體的所有棱長均為2，則下列結論正確的是（

）A．異面直線與所成角為B．點到平面的距離為C．四面體的外接球體積為D．四面體的內切球表面積為【答案】BCD【解析】

由題意，四面體為正四面體，取底面的中心為，連接并延長，交于，則為的中點，且，連接，則平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A錯；由四面體的所有棱長為，得，又，，故B正確；設四面體的外接球的球心為，半徑為，連接，則，解得，則四面體的外接球的體積為，故C正確；根據對稱性，正四面體的外接球和內切球球心均是，設正四面體內切球半徑為，則，又，，所以,則四面體的內切球表面積為.故D正確.故選：BCD8．（2023秋·江蘇常州·高三?？茧A段練習）已知圓錐的表面積等于，其側面展開圖是一個半圓，則以下結論正確的是（

）A．圓錐底面圓的半徑為2cmB．該圓錐的內接圓柱（圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面在圓錐的側面上）的側面積的最大值為C．該圓錐的內接圓柱的體積的最大值時，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為D．該圓錐的內切球的表面積為【答案】ABC【解析】設圓錐底面圓的半徑為，母線長為，依題意得，所以，根據圓錐的表面積為，解得cm,所以A正確;如圖為圓錐和內接圓柱體的軸截面，由題可知，，設由相似關系得,即，解得，則內接圓柱的側面積等于，當時側面積最大，等于，所以B正確;內接圓柱的體積等于，，令，解得，令，解得，所以在單調遞增，單調遞減,所以當時圓柱體積最大，此時圓柱的高為，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為，所以C正確;設內切圓的圓心為半徑為，因為,即所以因為圓錐的內切球的半徑等于，所以內切球的體積等于，所以D錯誤.故選:ABC.9．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知點、分別為雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線的一條漸近線上一點，且．若的面積為，則雙曲線的離心率為________．【解析】不妨設點為第一象限內一點，雙曲線的漸近線方程為，設點，其中，易知、，，，因為，則，因為，解得，即點，所以，，所以，，所以，，因此，雙曲線的離心率為.10．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，圓，過點作圓的切線交雙曲線的右支于點，點為的中點，且，則雙曲線的離心率是___________.【答案】【解析】因為點為的中點，且，可得，設直線與圓相切于點，則且，如圖所示，，可得，且，所以，所以，所以，由雙曲線的定義，可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），所以雙曲線的離心率為.

11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┕信e行數學競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進行.初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個學年派出兩名同學，且每名同學都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學才具備參與決賽的資格.高三學年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學所有輪次比賽的結果互不影響.(1)若高三學年獲得決賽資格的同學個數為，求的分布列和數學期望.(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學在兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.甲先從箱中依次抽取2道題目，答題結束后將題目一起放入箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.【解析】（1）依題意得甲獲得決賽資格的概率為，乙獲得決賽資格的概率為，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：012所以.（2）記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，則，，，，，，所以.甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.12．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學?？级＃┰谝淮螖祵W隨堂小測驗中，有單項選擇題和多項選擇題兩種．單項選擇題，每道題四個選項中僅有一個正確，選擇正確得5分，選擇錯誤得0分；多項選擇題，每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有選擇錯誤的得0分．(1)小明同學在這次測驗中，如果不知道單項選擇題的答案就隨機猜測．已知小明知道單項選擇題的正確答案的概率是，隨機猜測的概率是，問小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單項選擇題正確答案的概率．(2)小明同學在做多選題時，選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知某個多項選擇題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據自己的經驗隨機選擇，記小明做這道多項選擇題所得的分數為X，求X的分布列及數學期望．【解析】（1）記事件A為“該單項選擇題回答正確”，事件B為“小明知道該題的正確答案”，，,即小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，他知道這道單項選擇題正確答案的概率為．（2）由題意知：X所有可