代數方程【好題精選精練】 數學八年級 下冊重難點突破（含答案解析）

核心考點02代數方程目錄考點一：高次方程考點二：無理方程考點三：分式方程的增根考點四：由實際問題抽象出分式方程考點五：分式方程的應用考點六：含字母系數的一元一次方程考點七：二元二次方程組考點考點考向一、整式方程：1字母系數：關于x的方程中，把用字母表示的已知數m、n、a、b、c叫做字母系數.2.含字母系數的一元一次方程定義：只含有一個未知數且未知數的最高次數為1的含字母系數的方程；求解步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1；注意：系數化為1時視情況討論！3．含字母系數的一元二次方程定義：只含有一個未知數且未知數的最高次數為2的含有字母系數的方程；解法：因式分解法，開平方法；配方法，公式法；當用含字母系數的式子去乘或除方程兩邊時，要討論.4.一元整式方程：如果方程中只有一個未知數且兩邊都是關于未知數的整式；一元n次方程與一元高次方程：一元整式方程中含未知數的項的最高次數是n；其中n大于2的方程稱為一元高次方程.5.二項方程：如果一元n次方程的一邊只有含未知數的一項和非零的常數項，另一邊是零.一般形式為：.二項方程的解法：將方程變形為，當n為奇數時，；當n為偶數時，如果，；如果，那么方程沒有實數根.二、分式方程：6.可化為一元二次方程的分式方程解分式方程的基本思想：把分式方程轉化為整式方程，再求解；解分式方程的一般步驟：①方程兩邊乘以最簡公分母，去分母，化成整式方程；②解這個整式方程；③檢驗，是否有增根.三、無理方程1.無理方程：方程中含有根式，且被開方數是含有未知數的代數式；無理方程也叫根式方程.2.無理方程、有理方程、代數方程三者之關系有理方程：整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程；代數方程：有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數方程，簡稱代數方程.3.無理方程的解法（1）基本思路：解簡單的無理方程，可以通過去根號轉化為有理方程來解；（2）一般步驟：四、二元二次方程組與列方程（組）解應用題1.二元二次方程2.二元二次方程組3.二元二次方程組的解法(1)解二元二次方程組的基本思想：是消元和降次.(2)題型一：解方程組即方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組.方法：代入消元法；一般步驟：①將方程組中二元一次方程的一個未知數用另一個未知數的代數式表示；②將這個未知數所表示的代數式代入二元二次方程中，得到關于另一個未知數的一元二次方程；③解這個一元二次方程；④將求得的兩個解分別代入二元一次方程，求相應的另一個未知數的值；⑤把相應的兩組解寫出來，即是原方程組的解.(3)題型二：解方程組（其中一個方程可以分解為兩個一次因式積等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程組化為兩個分別由一個二元一次方程和一個二元二次方程所組成的方程組，然后分別求解.4.列方程（組）解應用題考點考點精講一．高次方程（共3小題）1．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）對于二項方程axn+b＝0（a≠0，b≠0），當n為偶數時，已知方程有兩個實數根，那么ab一定（）A．ab＜0 B．ab＞0 C．ab≥0 D．ab≤0【分析】根據偶數次方的非負性求解．【解答】解：∵axn+b＝0（a≠0，b≠0），∴xn＝﹣，∵n為偶數時，已知方程有兩個實數根，∴﹣＞0，∴ab＜0．故選A．【點評】本題考查高次方程的解，注意偶數次方的非負性是求解本題的關鍵．2．（2022春?上海期中）下列方程中，二項方程是（）A．x2+2x+1＝0 B．x5+x2＝0 C．x2＝1 D．+x＝1【分析】根據二項方程的定義判斷求解．【解答】解：∵x2+2x+1＝0有三項，不符合二項方程定義，∴A不合題意．∵x5+x2＝0左邊是二項式，右邊為0，不符合二項方程的定義．∴B不符合題意，∵x2＝1，可得x2﹣1＝0，符合二項方程定義．∴C符合題意．∵+x＝1是分式方程，∴D不合題意．故選：C．【點評】本題考查二項方程的定義，掌握二項方程的定義是求解本題的關鍵．3．（2022春?青浦區(qū)校級期中）在實數范圍內，方程x4﹣16＝0的實數根的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先移項得出x4＝16，再根據四次方根的定義求出方程的解即可．【解答】解：x4﹣16＝0，x4＝16，x＝＝±2，即方程x4﹣16＝0的實數根的個數是2，故選：B．【點評】本題考查了解高次方程，能求出x＝±是解此題的關鍵．二．無理方程（共4小題）4．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）下列方程中，有實數根的是（）A．x2﹣x+2＝0 B．＝ C．＝﹣1 D．x4﹣1＝0．【分析】根據根的判別式即可判斷選項A；方程兩邊乘x﹣1得出x＝1，即可判斷選項B；根據算術平方根的非負性即可判斷選項C；求出方程的解，即可判斷選項D．【解答】解：A．x2﹣x+2＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，所以此方程無實數根，故本選項不符合題意；B．＝，方程兩邊都乘x﹣1，得x＝1，檢驗：當x＝1時，x﹣1＝0，所以x＝1是增根，即原方程無實數根，故本選項不符合題意；C．＝﹣1，∵算術平方根是非負數，∴此方程無實數根，故本選項不符合題意；D．x4﹣1＝0，x4＝1，x＝±＝±1，即方程有實數根，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了根的判別式，解分式方程，解無理方程，解高次方程等知識點，能熟記根的判別式的內容、把分式方程轉化成整式方程、能把無理方程轉化成有理方程是解此題的關鍵．5．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）方程（x﹣2）＝0的根是x＝1．【分析】根據已知方程得出＝0或x﹣2＝0，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：∵（x﹣2）＝0，∴＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，經檢驗x＝1是原方程的根，x＝2不是原方程的根，即原方程的根是x＝1，故答案為：x＝1．【點評】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉化成有理方程是解此題的關鍵，注意：解無理方程一定要進行檢驗．6．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）解方程：+2x＝1．【分析】移項后兩邊平方得出x+1＝1﹣4x+4x2，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：+2x＝1，移項，得＝1﹣2x，兩邊平方，得x+1＝1﹣4x+4x2，解得：x1＝0，x2＝，經檢驗x＝0是原方程的解，x＝不是原方程的解，所以原方程的解是x＝0．【點評】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉化成有理方程是解此題的關鍵，注意：解無理方程一定要進行檢驗．7．（2022春?閔行區(qū)校級期末）解方程：．【分析】通過方程兩邊分別平方，把無理方程轉化為有理方程，再求解．【解答】解：移項得：＝9﹣，兩邊都平方得：x+2＝81﹣18+x﹣7，移項合并同類項得：18＝72，∴＝4，兩邊再平方得：x﹣7＝16，∴x＝23，檢驗：當x＝23時，左邊＝+＝5+4＝9＝右邊，所以x＝23是原方程的解，【點評】本題考查了解無理方程，兩邊平方轉化為有理方程是解題的關鍵．三．分式方程的增根（共2小題）8．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）方程﹣3＝有增根，則m的值為（）A． B．±3 C．﹣3 D．3【分析】根據題意可得x＝3，然后把x的值代入整式方程中進行計算即可解答．【解答】解：﹣3＝，x﹣3（x﹣3）＝m，解得：x＝，∵方程有增根，∴x＝3，把x＝3代入x＝中，3＝，解得：m＝3，故選：D．【點評】本題考查了分式方程的增根，根據題意求出x的值后代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．9．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知關于x的分式方程＝有增根，則m＝﹣10．【分析】增根是化為整式方程后產生的不適合分式方程的根．所以應先確定增根的可能值，讓最簡公分母x﹣4＝0，得到x＝4，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘x﹣4，得m＝﹣6﹣x∵原方程有增根，∴最簡公分母x﹣4＝0，解得x＝4，當x＝4時，m＝﹣10，故答案為：﹣10．【點評】本題考查了分式方程的增根．增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．四．由實際問題抽象出分式方程（共3小題）10．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）一項工程，甲單獨完成比乙單獨完成多用6天，若甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成，若設甲單獨完成此項工程需x天，則下列方程正確的是（）A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【分析】設甲單獨完成此項工程需x天，則乙單獨完成此項工程需（x﹣6）天，根據“甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成”，即可得出關于x的分式方程，此題得解．【解答】解：設甲單獨完成此項工程需x天，則乙單獨完成此項工程需（x﹣6）天，依題意得：+＝1，即+＝1．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．11．（2022春?青浦區(qū)校級期中）今日，上海疫情防控形勢嚴峻，某工廠計劃生產1000套防護服，由于工人加班加點，實際每天比計劃多制作20%，結果比原計劃提前2天完成任務．設原計劃每天制作x套防護服，則可列方程為（）A． B． C． D．【分析】設原計劃每天制作x套防護服，則實際每天制作為（1+20%）x，根據結果比原計劃提前2天完成任務，列出方程即可．【解答】解：設原計劃每天制作x套防護服，可列方程為：﹣＝2，故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出方程．12．（2022春?上海期中）某工人要完成1000個零件，起初機器出現故障，每分鐘比原計劃少加工4個零件，加工320個零件后，換了一臺新機器，每分鐘比原計劃多加工8個零件．已知用新機器加工零件的時間比前面用舊機器加工零件的時間少6分鐘，設原計劃每分鐘加工x個零件，則可列方程為：．【分析】根據題意可知：用新機器加工零件的時間比前面用舊機器加工零件的時間少6分鐘，即可列出相應的分式方程．【解答】解：由題意可得，，故答案為：．【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程．五．分式方程的應用（共3小題）13．（2022春?閔行區(qū)校級月考）上海市政府計劃年內改造3.6萬個分類垃圾箱房，把原有的分類垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、濕垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四類垃圾的新型環(huán)保垃圾箱房．環(huán)衛(wèi)局原定每月改造相同數量的分類垃圾箱房，為確保在年底前順利完成改造任務，環(huán)衛(wèi)局決定每月多改造500個分類垃圾箱房，提前一個月完成任務，求環(huán)衛(wèi)局每個月實際改造分類垃圾箱房的數量．【分析】設環(huán)衛(wèi)局每個月實際改造分類垃圾箱房的數量為x個，則環(huán)衛(wèi)局每個月原定改造分類垃圾箱房的數量為（x﹣500）個，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結合實際比原計劃提前一個月完成任務，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論．【解答】解：設環(huán)衛(wèi)局每個月實際改造分類垃圾箱房的數量為x個，則環(huán)衛(wèi)局每個月原定改造分類垃圾箱房的數量為（x﹣500）個，根據題意得：﹣＝1，整理得：x2﹣500x﹣18000000＝0，解得：x1＝4500，x2＝﹣4000，經檢驗，x1＝4500，x2＝﹣4000均為所列分式方程的解，x2＝﹣4000不符合題意，舍去，∴x＝4500．答：環(huán)衛(wèi)局每個月實際改造分類垃圾箱房的數量為4500個．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．14．（2022春?閔行區(qū)校級月考）若A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，且甲比乙早出發(fā)2小時，如果乙比甲每小時多行2千米，那么兩人恰好在AB中點相遇．求甲、乙兩人的速度各是每小時多少千米？【分析】設甲的速度是每小時x千米，則乙的速度是每小時（x+2）千米，由題意：甲比乙早出發(fā)2小時，兩人恰好在AB中點相遇．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設甲的速度是每小時x千米，則乙的速度是每小時（x+2）千米，根據題意，得：﹣＝2，整理，得：x2+2x﹣15＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣5，經檢驗：x1＝3，x2＝﹣5都是原方程的解，但x＝﹣5不符合題意，舍去．∴原方程的解是x＝3，則x+2＝5，答：甲的速度是每小時3千米，乙的速度是每小時5千米．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．15．（2022春?閔行區(qū)校級期末）某工程隊承擔了修建地鐵兩個站點間2400米的隧道工程任務，由于采用了新技術，現在每個月比原計劃多掘進了180米，因而比原計劃提前3個月完成任務．（1）求完成此項工程原計劃每個月掘進多少米？（2）如果每天的施工費用為2.5萬元，那么該工程隊現在完成此項工程共需多少萬元？（每個月按30天算）【分析】（1）設完成此項工程原計劃每個月掘進x米，則現在每個月掘進（x+180）米．由題意：現在每個月比原計劃多掘進了180米，因而比原計劃提前3個月完成任務．列出分式方程，解方程即可；（2）由每天的施工費用×天數，列式計算即可．【解答】解：（1）設完成此項工程原計劃每個月掘進x米，則現在每個月掘進（x+180）米．根據題意，得：﹣＝3，整理，得：x2+180x﹣144000＝0．解得：x1＝﹣480，x2＝300．經檢驗：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合題意，舍去．答：完成此項工程原計劃每個月掘進300米．（2）×2.5×30＝375（萬元）．答：該工程隊現在完成此項工程共需375萬元．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．六．含字母系數的一元一次方程（共1小題）16．（2018春?浦東新區(qū)期末）如果是方程mx2+y2＝xy的一個解，那么m＝﹣．【分析】依據方程的解概念，將方程的解代入方程進行計算，即可得到m的值．【解答】解：把方程的解代入方程mx2+y2＝xy，可得4m+1＝﹣2，∴4m＝﹣3，解得m＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查了二元一次方程的解，方程的解就是滿足方程的未知數的值，把解代入方程即可．七．二元二次方程組（共4小題）17．（2022春?長寧區(qū)校級期中）將方程組：轉化成兩個二元二次方程組分別是和．【分析】方程組中，方程x2﹣5xy+6y2＝0的左邊可因式分解，根據：兩個因式的積為0，則其中至少有一個因式為0，將原方程組轉化為兩個二元二次方程組．【解答】解：由方程x2﹣5xy+6y2＝0得（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，即x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，所以，原方程組可化為，，故答案為：，．【點評】本題考查了二元二次方程組的定義．關鍵是將方程組中的某個方程左邊因式分解，使其積為0，可將較復雜的高次方程組轉化為簡單的高次方程組．18．（2021春?閔行區(qū)期中）已知二元二次方程組有一組解是，寫出一個符合上述條件的二元二次方程組為．【分析】分別列兩個方程代入x，y的值就可以．【解答】解：把x，y的值代入符合要求；故答案為：．【點評】考察二元一次方程組定義，方程組得解，解題關鍵x，y都能使兩個方程左右值相等．19．（2022春?上海期中）解方程組：．【分析】由第一個方程可得y＝，然后再代入到第二個方程中，進行計算求出一元二次方程的解，從而求出y的值，即可解答．【解答】解：，由①得：2y＝4﹣x，y＝③，把③代入②得：x2﹣2x?＝0，x2﹣x（4﹣x）＝0，x2﹣4x+x2＝0，2x2﹣4x＝0，x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x＝2，把x＝0代入③得：y＝2，把x＝2代入③得：y＝1，∴原方程組的解為：或．【點評】本題考查了解二元二次方程組，把二元二次方程轉化為一元二次方程是解題的關鍵．20．（2022春?靜安區(qū)校級期中）解方程組：【分析】把原方程組轉化為兩個二元一次方程組，再利用加減消原法求解即可．【解答】解：原方程組可化為或，②﹣①，得5y＝2，解得y＝，把y＝代入①，得x＝，所以；③﹣④，得4y＝2，解得y＝，把y＝代入③，得x＝，所以綜上所述，或．【點評】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2023春·八年級單元測試）以下方程是無理方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】無理方程就是根號下含有未知數的方程．【詳解】解：根據無理方程的概念可知：選項D為無理方程，故選：D．【點睛】本題考查無理方程的概念，解題的關鍵是正確理解無理方程的概念，本題屬于基礎題型．2．（2023春·八年級單元測試）已知方程：①，②，③，④．這四個方程中，分式方程的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】利用分式方程的定義判斷即可．【詳解】解：①，是分式方程；②，是分式方程；③，是分式方程；④，不是分式方程，則分式方程的個數是3．故選：B．【點睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關鍵．3．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）若關于x的分式方程無解，則k的值為（

）A． B．－1 C．1 D．【答案】D【分析】先令分母為零求增根，在把分式方程化為整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出答案．【詳解】解：分式方程無解解得原方程化為：把代入得解得故選：D．【點睛】本題考查分式方程的增根，掌握增根產生的原因并求出增根，把分式方程轉化為整式方程是解題的關鍵．4．（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學附屬大境初級中學校考期中）下列命題正確的是（

）A． B．與是同類二次根式C．是分式方程的增根 D．一元二次方程可能沒有實根，可能有一個實根，可能有兩個實根【答案】B【分析】根據二次根式、分式增根以及一元二次方程的知識，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A，當，時，，選項錯誤，不符合題意；B、，，被開方數相同，是同類二次根式選項正確，符合題意；C、將轉化為整式方程為化簡可得：不是方程的根，∴也不是的增根，選項錯誤，不符合題意；D、一元二次方程可能沒有實根，可能有兩個相等的實根，可能有兩個不相等的實根，說法錯誤，不符合題意；故選：B【點睛】本題考查了二次根式運算、同類二次根式、分式增根以及一元二次方程的知識，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識．二、填空題5．（2023春·八年級單元測試）方程組的解是______．【答案】【分析】由得出，代入得到方程，求出方程的解，，將的值分別代入求出即可．【詳解】，由得：，把代入得：，即，，解得：，，代入得：，，故答案為：，．【點睛】本題考查了高次方程和解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是把方程組轉化成解一元二次方程，題型較好，難度適中．6．（2023春·八年級單元測試）把方程化為兩個二元一次方程，它們是_____和_____．【答案】

【分析】先把方程左邊分解得到，則原方程可轉化為或．【詳解】解：∵，∴，∴或．故答案為：；．【點睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法，解題的關鍵是通常利用換元法或因式分解法把高次方程化為一元二次方程求解．7．（2023春·八年級單元測試）解關于的方程有增根，則的值為___________【答案】##【分析】根據分式方程增根的產生，即使其最簡公分母為0，但適合其轉化為的整式方程進行求解．【詳解】解：根據題意，得該分式方程的增根是，該分式方程轉化為整式方程，得，把代入，得．故答案為：．【點睛】此題考查了分式方程的增根，即適合分式方程轉化為整式方程，但卻使分式方程的最簡公分母為0．8．（2023春·八年級單元測試）下列方程：，，，無實數根的方程有________個．【答案】3【分析】根據二次根式有意義的條件判斷；移項后得出方程，根據算術平方根的非負性即可判斷；兩邊平方，求出方程的解，再進行檢驗即可判斷；【詳解】解：，由二次根式有意義條件得：，解得：不等式組無解，∴此方程無實數根；，移項得：，∵不論x為何值，的值不能為負數，∴此方程無實數根；，方程兩邊平方，得，解得：x=1，經檢驗x=1不是原方程的解，∴此方程無實數根；故答案為：3．【點睛】本題考查了解無理方等知識點，能把無理方程轉化成有理方程是解此題的關鍵．三、解答題9．（2023春·八年級單元測試）小李家離某書店12千米，他從家中出發(fā)步行到該書店，由于返回時步行速度比去時步行速度每小時慢了1千米，結果返回時多用了一小時，求小李去書店時的步行速度【答案】小李去書店時的速度為4千米/小時．【分析】設小李去書店時的速度為每小時x千米，根據他從家中出發(fā)步行到該書店，由于返回時步行速度比去時步行速度每小時慢了1千米，結果返回時多用了1小時列方程求解即可．【詳解】解：設小李去書店時的速度為每小時x千米，根據題意得整理得解得，（不合題意舍去）經檢驗是原方程的根且符合題意答：小李去書店時的速度為4千米/小時．【點睛】本題考查了分式方程的應用，設出速度，以時間作為等量關系列方程求解．10．（2023春·八年級單元測試）解方程組：【答案】方程組的解為：或．【分析】先把方程①變形可得或，再把原方程組化為兩個二元一次方程組，再解兩個二元一次方程組即可．【詳解】解：，由①得：，∴或，∴原方程組化為：或，由可得：，由可得：，∴方程組的解為：或．【點睛】本題考查的是二元二次方程組的解法，掌握“把二元二次方程組化為二元一次方程組的方法解題”是解本題的關鍵．11．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）外出佩戴口罩可以有效防控新冠病毒，某藥店用元購進若干包醫(yī)用外科口罩很快售完，該店又用元錢購進第二批同種口罩，而且數量比第一批多，第二批每包的進價比第一批每包的進價多元，請解答下列問題：(1)求購進的第一批醫(yī)用口罩有多少包？(2)政府采取限價措施，要求在這兩批醫(yī)用口罩的銷售中售價保持不變，而且售完這兩批口罩的總利潤不高于元，那么藥店銷售該口罩每包的最高售價是多少元？【答案】(1)購進的第一批醫(yī)用口罩有包(2)該藥店銷售該醫(yī)用口罩每包最高售價為元【分析】（1）設購進的第一批醫(yī)用口罩有包，根據題意列出方程求解即可；（2）設該醫(yī)用口罩每包的售價為元，根據利潤不高于3500元，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設購進的第一批醫(yī)用口罩有包，根據題意得：解得：經檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：購進的第一批醫(yī)用口罩有包．（2）解：設該醫(yī)用口罩每包的售價為元，由題意得：第一次進價為元每包，第二次進價為元每包，購進的第二批醫(yī)用口罩為包，根據題意得：，解得：答：該藥店銷售該醫(yī)用口罩每包最高售價為元．【點睛】此題主要考查分式方程和一元一次不等式解應用題，理解題意，找出實際問題中的等量關系和不等關系是解題關鍵．12．（2023春·八年級單元測試）若關于x的方程無解，求實數的值．【答案】或或【分析】方程去分母轉化為整式方程，求出的表達式，根據分式方程無解可得或或的表達式中分母為0，再代入的表達式中即可求出的值．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，得：，解得：，當時，此方程無解，原分式方程也無解，解得：，當時，原分式方程無解，，或，當時，，解得：，當時，，解得：，綜上，的值為或或．【點睛】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解的特點，并能分情況進行討論是解題的關鍵．13．（2023春·八年級單元測試）用換元法解方程：x2﹣x﹣=4．【答案】【分析】方程的兩個部分是倒數關系，所以可設，可用換元法轉化為關于y的分式方程，先求y，再求x，最后檢驗一下結果．【詳解】設，則原方程變形為，即，解得，當y=-2時，，因為，所以此方程無實數根，當y=6時，，解方程得：，檢驗：把分別代入原方程的分母，分母都不等于0，所以原方程的根是：．【點睛】換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應注意總結能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．14．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M才實驗中學校考期中）在中，，，射線上有一點分別為點P關于直線的對稱點，連接(1)如圖1，當點P在線段上時，則______，______．(2)如圖2，當點P在線段的延長線上時．根據題意補全圖形，并探究是否存在點P，使得，若存在，直接寫出滿足條件時的長度；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)補全圖形見解析，5【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質得出，根據軸對稱的性質可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后結合圖形即可即可；（2）先根據軸對稱圖形的特點補全圖形；再根據軸對稱的性質可得PB=BM，PC=CN，設，則或，，利用和線段的和差列出方程求解即可．【詳解】（1）解：，，，，分別為點關于直線，的對稱點，，，，，．故答案為，．（2）解：補全圖形如圖所示．存在點P，使得．設，則或，，或，或5．經檢驗或5為方程的解，∵線段不可能為負．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的特點、角度的計算、分式方程的應用等知識點，理解題意、熟練掌握運用軸對稱圖形的性質是解題關鍵．15．（2022春·上海長寧·八年級?？计谥校┙夥匠蹋海敬鸢浮俊痉治觥坑^察可得最簡公分母是，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．【詳解】解：方程兩邊同時乘以，得，整理，得，∴，．經檢驗是增根，是原方程的解，∴原方程的解為．【點睛】本題主要考查了解可以化為一元二次方程的分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程和一元二次方程的步驟和方法．16．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學?？计谀┙夥匠探M：．【答案】【分析】將方程轉化為或，再次聯立方程，得到兩個方程組，然后逐一求解，即可解決問題．【詳解】解：，由得：或原方程組化為或；解得：，原方程組的解是．【點睛】本題考查了二元高次方程的求解問題；解題的一般策略是降次轉化，化高次方程組為低次方程組，然后求解．17．（2023春·八年級單元測試）解方程：【答案】無解【分析】通過去去分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最簡公分母進行檢驗即可解答．【詳解】解：兩邊同乘得：，去括號得：，移項合并得：，解得：．檢驗：經檢驗是方程的增根，原方程無解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關鍵．求出解后的檢驗是本題的易錯點．18．（2023春·八年級單元測試）解方程：．【答案】【分析】移項得出＝1+，兩邊平方得出3x﹣5＝1+x+2+2，整理后得出2＝2